信號與系統(tǒng)-離散系統(tǒng)的Z域分析

離散系統(tǒng)的z域分析

Z變換與拉氏變換相對應(yīng)，是離散時間傅立葉變換的推廣。Z變換的基本思想、許多性質(zhì)及其分析方法都與拉氏變換有相似之處。當(dāng)然，Z變換與拉氏變換也存在著一些重要的差異。引言求解差分方程的工具，類似于拉普拉斯變換；z變換的歷史可是追溯到18世紀(jì)；20世紀(jì)50~60年代抽樣數(shù)據(jù)控制系統(tǒng)和數(shù)字計算機的研究和實踐，推動了z變換的發(fā)展；70年代引入大學(xué)課程；今后主要應(yīng)用于DSP分析與設(shè)計，如語音信號處理等問題。本章主要討論：z變換的定義、收斂域、性質(zhì)、與傅氏變換和拉氏變換的關(guān)系；z逆變換；利用z變換解差分方程；利用z平面零極點的分布研究系統(tǒng)的特性。z變換的導(dǎo)出抽樣信號的拉氏變換→離散信號的z變換對取拉氏變換引入復(fù)變量Z變換的定義與收斂域?qū)變換式的理解級數(shù)的系數(shù)是若x(k)為因果序列，則單邊、雙邊z變換相等，否則不等。X(z)=Z[x(k)],x(k)=Z-1[X(z)]；x(k)←→X(z)稱為序列x(k)的雙邊z變換稱為序列x(k)的單邊z變換收斂域z變換定義為一無窮冪級數(shù)之和，顯然只有當(dāng)該冪級數(shù)收斂，即時，其z變換才存在。上式稱為絕對可和條件，它是序列x(k)的z變換存在的充分必要條件。收斂域的定義：對于序列x(k)，滿足所有z值組成的集合稱為z變換X(z)的收斂域。ROC:Regionofconvergence

不同x(k)的z變換，由于收斂域不同，可能對應(yīng)于相同的z變換，故在確定z變換時，必須指明收斂域。

對單邊z變換，其收斂域比較簡單，一定是某個圓以外的區(qū)域。兩種判定法1．比值判定法若有一個正項級數(shù)，則：

<1：收斂

=1：可能收斂也可能發(fā)散

>1：發(fā)散即令正項級數(shù)的一般項的n次根的極限等于，則<1：收斂=1：可能收斂也可能發(fā)散

>1：發(fā)散2．根值判定法求序列Z變換的方法級數(shù)求和法例常用序列Z變換單位階躍序列ROC：指數(shù)序列單位序列單位延時序列ROC：全平面ROC：斜變序列已知

兩邊同時乘以z-1

，可得（用間接方法求）兩邊對求導(dǎo)式Z變換的幾個定理ROC：一般情況下，取二者的重疊部分某些線性組合中某些零點與極點相抵消，則收斂域可能擴大。線性定理(表現(xiàn)為疊加性和均勻性）則例零極點相消，收斂域擴大為整個z平面例解：變換右移位性質(zhì)移序定理j為正整數(shù)則ROC：證明根據(jù)單邊z變換的定義，可得左移位性質(zhì)j為正整數(shù)證明根據(jù)單邊z變換的定義，可得例:解：證明：z域尺度變換則例解:方程兩邊取z變換帶入邊界條件某離散系統(tǒng)差分方程為：整理為乘k定理共求導(dǎo)m次例：求f(k)=kε(k)的z變換F(z).

解：初值定理證明把x（z）足夠大時的動態(tài)特性與x（k）的初值聯(lián)系起來推理x(1)＝？終值定理注意：當(dāng)收斂，才可用終值定理。例：解：例：求f(0)，f(1)，f()。解：例題無無有，1有，0終值卷積定理收斂域：一般情況下，取二者的重疊部分即描述：兩序列在時域中的卷積的z變換等效于在z域中兩序列z變換的乘積。則證明時域卷積定理因為

所以逆z變換部分分式展開法冪級數(shù)展開法留數(shù)法(刪去)冪級數(shù)展開法z變換式一般是z的有理函數(shù)，可直接用長除法進(jìn)行反變換

。是一個z的冪級數(shù)，級數(shù)的系數(shù)就是序列x(k)。

例將F(z)以z的降冪排列,然后進(jìn)行長除運算。部分分式展開法式中m<n（1）X(z)均為單極點可展開為：例已知象函數(shù)其收斂域分別為：z>2解部分分式展開為

(2)X(z)有一個重極點p1

和單極點則逆變換為例求的逆變換Z變換與拉氏變換的關(guān)系Z變換與拉氏變換相互關(guān)系示意圖差分方程z變換解法描述離散時間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為差分方程。求解差分方程是分析離散時間系統(tǒng)的一個重要途徑。求解線性時不變離散系統(tǒng)的差分方程有兩種方法：時域方法，煩瑣z變換方法差分方程經(jīng)z變換→代數(shù)方程；可以將時域卷積→頻域（z域）乘積；部分分式分解后將求解過程變?yōu)椴楸恚磺蠼膺^程自動包含了初始狀態(tài)（相當(dāng)于0-的條件）。應(yīng)用z變換求解差分方程步驟(1)對差分方程進(jìn)行z變換（移位性質(zhì)）(2)由z變換方程求出響應(yīng)Y(z)(3)求Y(z)的反變換，得到y(tǒng)(k)單邊z變換將系統(tǒng)的初始條件自然地包含于其代數(shù)方程中，可求得零輸入、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)。差分方程的變換解取單邊z變換得例：若某系統(tǒng)的差分方程為

y(k)–y(k–1)–2y(k–2)=f(k)+2f(k–2)已知y(–1)=2，y(–2)=–1/2，f(k)=(k)。求系統(tǒng)的yzi(k)、yzs(k)、y(k)。

解方程取z變換Y(z)-[z-1Y(z)+y(-1)]-2[z-2Y(z)+y(-1)z-1+y(-2)]=F(z)+2z-2F(z)離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)定義：H(z)

求法1、h(k)H(z)

2、零狀態(tài)下差分方程H(z)3、模擬框圖H(z)系統(tǒng)函數(shù)H(z)的應(yīng)用2）求系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)yzs(k):1）求系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)h(k):3）求系統(tǒng)差分方程:4）系統(tǒng)零極點分析5）判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性例：某系統(tǒng)，已知當(dāng)輸入f(k)=(–1/2)k(k)時，其零狀態(tài)響應(yīng)求系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)h(k)和描述系統(tǒng)的差分方程。解h(k)=[3(1/2)k–2(–1/3)k](k)系統(tǒng)函數(shù)的零、極點分析例：極點：零點：

極點決定系統(tǒng)的固有頻率或自然頻率。零極點圖：例：（2）在z平面上，畫出H(z)的零極點圖：極點用×表示，零點用○表示。系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析定義:若一個系統(tǒng)對于有界激勵信號產(chǎn)生有界的響應(yīng)，則該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。穩(wěn)定性準(zhǔn)則（充要條件）其中：M為有限正數(shù)即：系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)絕對可和，則系統(tǒng)穩(wěn)定。穩(wěn)定性判斷極點判斷：（1）H(z)極點全部位于z平面單位圓內(nèi)：