雙重積分與平面上的面積

8.5雙重積分與平面上的面積8.8雙重積分與平面上的面積學(xué)習(xí)目標(biāo)計(jì)算雙重積分。利用雙重積分求區(qū)域的面積。P.8-33第八章多變數(shù)函數(shù)雙重積分在8.2節(jié)已學(xué)到在多變數(shù)函數(shù)中將其他變數(shù)固定，只針對(duì)一個(gè)特定變數(shù)微分有其特殊意義，類似程序也可用來(lái)進(jìn)行對(duì)多變數(shù)函數(shù)的積分。比方說(shuō)下面的偏導(dǎo)數(shù) 如果固定y，針對(duì)x積分可得到 這個(gè)程序稱為對(duì)x的偏積分

(partialintegrationwithrespecttox)。P.8-33第八章多變數(shù)函數(shù)雙重積分注意因?yàn)檫@個(gè)積分把y視為固定值，所以「積分常數(shù)」C(y)為y的函數(shù)。同樣的，如果是下面的偏導(dǎo)數(shù) 如果把x當(dāng)成常數(shù)，針對(duì)y積分可得到 因?yàn)檫@個(gè)積分把x視為固定值，這裡的「積分常數(shù)」C(x)為x的函數(shù)。P.8-33第八章多變數(shù)函數(shù)雙重積分要計(jì)算兩變數(shù)或多變數(shù)函數(shù)的定積分時(shí)，可以固定其他變數(shù)，然後使用單變數(shù)函數(shù)的微積分基本定理，如下： 如同單變數(shù)函數(shù)的定積分，這裡也是可以忽略積分常數(shù)。P.8-33~8-34第八章多變數(shù)函數(shù)範(fàn)例

1計(jì)算偏積分

計(jì)算下列偏積分。P.8-34第八章多變數(shù)函數(shù)範(fàn)例

1計(jì)算偏積分（解）

P.8-34第八章多變數(shù)函數(shù)檢查站1計(jì)算下列偏積分。P.8-34第八章多變數(shù)函數(shù)雙重積分範(fàn)例1(a)定積分的結(jié)果是x的函數(shù)，它本身還可以積分，這種「積分的積分」稱為雙重積分

(doubleintegral)。兩變數(shù)函數(shù)的雙重積分有兩種，即P.8-34第八章多變數(shù)函數(shù)範(fàn)例

2計(jì)算雙重積分計(jì)算P.8-34第八章多變數(shù)函數(shù)範(fàn)例2

計(jì)算雙重積分（解）P.8-35第八章多變數(shù)函數(shù)檢查站2計(jì)算雙重積分。P.8-35第八章多變數(shù)函數(shù)利用雙重積分求面積雙重積分的最簡(jiǎn)單的應(yīng)用就是求平面上區(qū)域的面積。例如區(qū)域R的範(fàn)圍為 運(yùn)用6.5節(jié)的技巧，R的面積為P.8-35第八章多變數(shù)函數(shù)利用雙重積分求面積相同的面積可以用雙重積分 來(lái)表示，因?yàn)?圖8.19是可以用雙重積分計(jì)算面積的兩種平面區(qū)域的基本型態(tài)。P.8-35第八章多變數(shù)函數(shù)學(xué)習(xí)提示注意在圖8.19中的水平與垂直方向的長(zhǎng)方格表明積分的順序，積分的「外層」變數(shù)相對(duì)於長(zhǎng)方格的寬。並且注意雙重積分外層的積分上下限為常數(shù)，而內(nèi)部界限則可能為外層變數(shù)的函數(shù)。P.8-35第八章多變數(shù)函數(shù)利用雙重積分求面積P.8-36圖8.19第八章多變數(shù)函數(shù)範(fàn)例3

用雙重積分求面積用雙重積分求圖8.20的矩形區(qū)域面積。P.8-36圖8.20第八章多變數(shù)函數(shù)範(fàn)例3

用雙重積分求面積

（解）因?yàn)閤的上下限為1≤x≤5，y的上下限為2≤y≤4，所以區(qū)域面積為P.8-36第八章多變數(shù)函數(shù)範(fàn)例3

用雙重積分求面積

（解）已知該矩形區(qū)域的面積為兩單位乘四單位，可確認(rèn)上述結(jié)果是正確的。P.8-36第八章多變數(shù)函數(shù)檢查站3利用先對(duì)x積分再對(duì)y積分的雙重積分，求範(fàn)例3的區(qū)域面積。P.8-36第八章多變數(shù)函數(shù)範(fàn)例

4用雙重積分求面積用雙重積分求曲線y＝x2和y＝x3

所圍成區(qū)域的面積。P.8-36第八章多變數(shù)函數(shù)範(fàn)例

4用雙重積分求面積

（解）如圖8.21所示，這兩條曲線相交於x＝0和x＝1兩處。把x當(dāng)成外層變數(shù)，x的界限為0≤x≤1，y的界限為x3≤y≤x2，所以本區(qū)域面積為P.8-36~3-37第八章多變數(shù)函數(shù)範(fàn)例

4用雙重積分求面積

（解）P.8-37圖8.21第八章多變數(shù)函數(shù)利用雙重積分求面積在設(shè)立雙重積分時(shí)，最困難的部分就是決定正確的積分界限，可以先畫(huà)出區(qū)域R，然後從圖形判定x與y的界限。P.8-37第八章多變數(shù)函數(shù)檢查站4用雙重積分求曲線y＝2x和y＝x2所圍成區(qū)域的面積。P.8-37第八章多變數(shù)函數(shù)範(fàn)例

5改變積分順序?qū)﹄p重積分 a.畫(huà)出積分代表面積的區(qū)域R。 b.將x改為外層變數(shù)再重寫(xiě)這個(gè)積分。 c.證明這兩種積分順序會(huì)得到相同的結(jié)果。P.8-37第八章多變數(shù)函數(shù)範(fàn)例

5改變積分順序

（解）a.從積分上下限得知 y2≤x≤4

變數(shù)x的上下限 意即區(qū)域R左邊界限是拋物線x＝y(tǒng)2，右邊界限為直線x＝4。 此外，因 0≤y≤2

常數(shù)y的上下限可以得知此區(qū)域在x軸上方，如圖8.22所示。P.8-37第八章多變數(shù)函數(shù)範(fàn)例

5改變積分順序

（解）P.8-37圖8.22第八章多變數(shù)函數(shù)範(fàn)例

5改變積分順序

（解）b.如圖8.37所示，若要變換積分順序讓x成為外層變數(shù)，那x必須有常數(shù)界限0≤x≤4，從方程式x＝y(tǒng)2

得到y(tǒng)的界限為0≤y≤√

x

，所以x為外層變數(shù)時(shí)，原積分可重寫(xiě)為P.8-37第八章多變數(shù)函數(shù)範(fàn)例

5改變積分順序

（解）P.8-37圖8.23第八章多變數(shù)函數(shù)範(fàn)例

5改變積分順序

（解）c.兩個(gè)雙重積分的值相同。P.8-37第八章多變數(shù)函數(shù)檢查站5對(duì)雙重積分 a.畫(huà)出積分代表面積的區(qū)域R。 b.將x改為外層變數(shù)再重寫(xiě)這個(gè)積分。 c.證明這兩種積分順序會(huì)得到相同的結(jié)果。P.8-38第八章多變數(shù)函數(shù)學(xué)習(xí)提示不需要確定積分順序的雙重積分或區(qū)域的面積時(shí)，可以使用下面的符號(hào) 其中dA＝dxdy或是dA＝dydx。P.8-38第八章多變數(shù)函數(shù)範(fàn)例

6用雙重積分求面積用符號(hào) 表示的雙重積分來(lái)計(jì)算區(qū)域R的面積，其中R是由y＝x和y＝x2

－x所圍成的。P.8-38第八章多變數(shù)函數(shù)範(fàn)例

6用雙重積分求面積

（解）首先畫(huà)出區(qū)域R的圖形，如圖8.46所示。從圖形可看出寬度為dx的垂直長(zhǎng)方格要比水平長(zhǎng)方格方便。所以用x為外層變數(shù)來(lái)積分，其常數(shù)界限為0≤x≤2。y的界限為x2－x≤y≤x，區(qū)域面積為P.8-38第八章多變數(shù)函數(shù)範(fàn)例

6用雙重積分求面積

（解）P.8-38第八章多變數(shù)函數(shù)範(fàn)例

6用雙重積分求面積

（解）P.8-38圖8.24第八章多變數(shù)函數(shù)範(fàn)例

6用雙重積分求面積

（解）在作本節(jié)習(xí)題時(shí)，請(qǐng)留意雙重積分的主要用途會(huì)在8.9節(jié)說(shuō)明。本節(jié)用計(jì)算平面上區(qū)域的面積來(lái)介紹雙重積分，目的在於多多練習(xí)如何決定積分上下限。在