第4章 珠算除法

第4章珠算除法4.1商的定位法4.2商除法4.3歸除法4.4省除法4.5實(shí)踐訓(xùn)練計(jì)算技術(shù)與點(diǎn)鈔在珠算除法中，隨著乘數(shù)與商數(shù)的乘積在被除數(shù)中減去，被除數(shù)逐漸從算盤(pán)上消失，最后只有商數(shù)（有時(shí)還有余數(shù)）。商的位數(shù)不像在筆算中那么容易看出。所以珠算除法得出商以后，必須定位，才能確定位數(shù)。商的定位方法有很多，公式定位法、移檔定位法、固定個(gè)位檔定位法。本書(shū)主要介紹公式定位法和固定個(gè)位檔定位法。商的定位法4.1計(jì)算技術(shù)與點(diǎn)鈔4.1.1公式定位法其中，M代表被除數(shù)的位數(shù)N代表除數(shù)的位數(shù)或商的位數(shù)=M－N①M(fèi)－N＋1②商的定位法4.1計(jì)算技術(shù)與點(diǎn)鈔4.1.1公式定位法“頭小位相減”：當(dāng)被除數(shù)首位數(shù)字（指有效數(shù)字，下同）小于除數(shù)首位數(shù)字時(shí)，用公式M－N來(lái)給商數(shù)定位。定位規(guī)律“頭大差加一”：當(dāng)被除數(shù)的首位數(shù)字大于除數(shù)的首位數(shù)字時(shí)，用公式M－N＋1來(lái)給商定位。當(dāng)被除數(shù)的首位數(shù)字與除數(shù)的首位數(shù)字相同時(shí)，則比較第二位，照此類(lèi)推，依此來(lái)確定商的定位所使用的公式。如果比到除數(shù)最后一位時(shí)仍然相等，則使用公式M－N＋1來(lái)給商定位。商的定位法4.1計(jì)算技術(shù)與點(diǎn)鈔商的定位法4.1【例4—1】103.8÷6=17.3被除數(shù)首位數(shù)1，小于除數(shù)首位數(shù)6，用公式①定位,即3－1=＋2（位），商數(shù)是正二位數(shù)?！纠?—2】10.8÷900=0.012被除數(shù)首位數(shù)1，小于除數(shù)首位數(shù)6，用公式①定位,即3－1=＋2（位），商數(shù)是正二位數(shù)。定位定位【例4—3】63.78÷0.3=212.6定位被除數(shù)首位數(shù)6，大于除數(shù)首位數(shù)3，用公式②定位。即2－0＋1=＋3（位），商數(shù)是正三位數(shù)。計(jì)算技術(shù)與點(diǎn)鈔商的定位法4.1【例4—4】0.06÷300=0.0002被除數(shù)首位數(shù)6，大于除數(shù)首位數(shù)3，用公式②定位。即（－1）－3＋1=－3（位），商數(shù)是負(fù)三位數(shù)?！纠?—5】0.242÷2.2=0.11被除數(shù)首位數(shù)和除數(shù)的首位數(shù)都是2，而被除數(shù)的第二位數(shù)4大于除數(shù)的第二位數(shù)2，故采用公式②定位，即0－1＋1=0（位），商數(shù)是零位數(shù)。定位定位計(jì)算技術(shù)與點(diǎn)鈔商的定位法4.1【例4—7】45,090÷450=100.2被除數(shù)首位數(shù)和除數(shù)的首位數(shù)都是4，第二位數(shù)都為5，第三位數(shù)都為0，而被除數(shù)的第四位數(shù)為9，除數(shù)沒(méi)有第四位數(shù)，故采用公式②定位，即5－3＋1=＋3（位），商數(shù)是正三位數(shù)。定位【例4—6】54,725÷55=995定位被除數(shù)首位數(shù)和除數(shù)的首位數(shù)都是5，而被除數(shù)的第二位數(shù)4小于除數(shù)的第二位數(shù)5，故采用公式①定位，即5－2=＋3（位），商數(shù)是正三位數(shù)。計(jì)算技術(shù)與點(diǎn)鈔4.1.2固定個(gè)位檔定位法在算盤(pán)梁上選定好個(gè)位，然后標(biāo)上定位標(biāo)記（小數(shù)點(diǎn)和分節(jié)號(hào)）。步驟不隔位除法用公式①（商的位數(shù)=M－N）上盤(pán)，即被除數(shù)位數(shù)M，除數(shù)位數(shù)N，M－N是幾就從幾位檔起布被除數(shù)，運(yùn)算后照抄盤(pán)上各檔算珠所表示的數(shù)和梁上所標(biāo)的分節(jié)和小數(shù)點(diǎn)寫(xiě)數(shù)，即為所求商數(shù)及位數(shù)。隔位除法用公式②（商的位數(shù)=M－N＋1）上盤(pán)。商的定位法4.1省一除法（定身除法）用公式②上盤(pán)。計(jì)算技術(shù)與點(diǎn)鈔商除法4.2商除法4.2根據(jù)立商位置的不同

商除法隔位商除法不隔位商除法商除法是一種古老的求商法，它根據(jù)筆算除法的原理，結(jié)合珠算的特點(diǎn)，容易掌握，運(yùn)算方便，是現(xiàn)時(shí)珠算除法中使用較為普遍的一種。計(jì)算技術(shù)與點(diǎn)鈔4.2.1商除法的運(yùn)算步驟（1）置數(shù)。將被除數(shù)置于算盤(pán)右邊適當(dāng)?shù)奈恢蒙希龜?shù)默記。步驟（2）立商位置。立商法則是：夠除隔位商，不夠除挨位商。被除數(shù)與除數(shù)同位數(shù)相比，大于等于除數(shù)（夠除），隔位立商，即在被除數(shù)首位數(shù)的前二檔置商，而當(dāng)被除數(shù)同位比除數(shù)小（不夠除），則挨位置商，即在被除數(shù)首位數(shù)的前一檔置商。商除法4.2計(jì)算技術(shù)與點(diǎn)鈔步驟商除法4.2（3）估商。從被除數(shù)的首位或前兩位與除數(shù)首位的比較中看被除數(shù)含幾倍除數(shù)就進(jìn)商數(shù)幾，這一比較方法用乘法大九九口訣進(jìn)行，但要遵循“寧小勿大”的估商原則。（4）減乘積。將被除數(shù)置于算盤(pán)右邊適當(dāng)?shù)奈恢蒙?，除?shù)默記。商與除數(shù)首位數(shù)相乘的積，其十位數(shù)從商的右一檔減起，個(gè)位從右二檔減起，除數(shù)位次第右移一檔，其減積檔次也右移一檔，除數(shù)是第幾位，與商的乘積的十位數(shù)就從商的右邊第幾檔減去，上次減積的個(gè)位就是本次減積的十位，依次運(yùn)算下去。減積過(guò)程中注意“指不離檔”，以免發(fā)生錯(cuò)檔。計(jì)算技術(shù)與點(diǎn)鈔4.2.2一位數(shù)除法商除法4.2除數(shù)是一位數(shù)的除法，叫一位數(shù)除法。它是多位數(shù)除法的基礎(chǔ)。運(yùn)算時(shí)，將商與除數(shù)的乘積依次從高位到低位輪減，減積時(shí)，如遇到積的十位為0，要占一位，以免錯(cuò)檔?！纠?—8】43,068÷3=14,356①置數(shù)：將被除數(shù)的首位從算盤(pán)左邊第三檔開(kāi)始置入，除數(shù)默記。計(jì)算技術(shù)與點(diǎn)鈔商除法4.2②估商：用被除數(shù)的首位數(shù)4與除數(shù)3進(jìn)行比較，商數(shù)為1?！纠?—8】

③立商：夠除隔位商，不夠除挨位商。本次為夠除。④減乘積：從被除數(shù)當(dāng)中減去除數(shù)3與商數(shù)1的乘積?！叭?3”，乘積的十位從商數(shù)的右一檔開(kāi)始撥減（如圖4—3所示）。左手指在商數(shù)處，右手食指指在個(gè)位，本次減乘積的個(gè)位是下一次減乘積十位。計(jì)算技術(shù)與點(diǎn)鈔商除法4.2【例4—8】

⑤繼續(xù)運(yùn)算：用新的被除數(shù)13,068與除數(shù)3估商，商數(shù)為4，三四12，盤(pán)面如下：計(jì)算技術(shù)與點(diǎn)鈔商除法4.2【例4—8】

計(jì)算技術(shù)與點(diǎn)鈔商除法4.2【例4—8】

⑥定位：M－N＋1=5－1＋1=＋5（位）。⑦書(shū)寫(xiě)答案：14,356。計(jì)算技術(shù)與點(diǎn)鈔商除法4.2【例4—9】659.88÷0.006=109,980①置數(shù)：將被除數(shù)的首位從算盤(pán)左邊第三檔開(kāi)始置入，除數(shù)默記。②估商：用被除數(shù)的首位數(shù)6與除數(shù)6進(jìn)行比較，商數(shù)為1。③立商：夠除隔位商，不夠除挨位商。本次為夠除。計(jì)算技術(shù)與點(diǎn)鈔商除法4.2④減乘積：從被除數(shù)當(dāng)中減去除數(shù)6與商數(shù)1的乘積。“六一06”，乘積的十位從商數(shù)的右一檔開(kāi)始撥減。左手指在商數(shù)處，右手食指指在個(gè)位，本次減乘積的個(gè)位是下一次減乘積十位。⑤繼續(xù)運(yùn)算：用新的被除數(shù)59.88與除數(shù)6估商，商數(shù)為9，“六九54”?！纠?—9】

計(jì)算技術(shù)與點(diǎn)鈔商除法4.2【例4—9】

⑥定位：M－N＋1=3－（－2）＋1=＋6（位）。⑦書(shū)寫(xiě)答案：109,980。計(jì)算技術(shù)與點(diǎn)鈔4.2.3多位數(shù)除法商除法4.2除數(shù)是兩位或兩位以上的除法，叫做多位數(shù)除法。與一位數(shù)除法相同之處

與一位數(shù)除法不同之處

原理相同，也需要置數(shù)、估商、置商、減積、定位五個(gè)計(jì)算步驟。在估商時(shí)，不能只看除數(shù)的首位，還要顧及到后面幾位。在減積時(shí)，要把商與除數(shù)各位數(shù)字相乘的積，依次從被除數(shù)中減去。計(jì)算技術(shù)與點(diǎn)鈔商除法4.2【例4—10】1,296÷24=54①置數(shù)：將被除數(shù)的首位從算盤(pán)左邊第三檔開(kāi)始置入，除數(shù)默記。②估商：用被除數(shù)的首位數(shù)及次首位數(shù)12與除數(shù)2進(jìn)行比較，商數(shù)為5。③立商：夠除隔位商，不夠除挨位商。本次為不夠除，為挨位商。計(jì)算技術(shù)與點(diǎn)鈔商除法4.2④減乘積：從被除數(shù)當(dāng)中減去除數(shù)24與商數(shù)5的乘積?！岸?0”，“四五20”，首次乘積的十位從商數(shù)的右一檔開(kāi)始撥減。左手指在商數(shù)處，右手食指指在個(gè)位，本次減乘積的個(gè)位是下一次減乘積十位。余數(shù)9小于除數(shù)24，說(shuō)明商數(shù)5是正確?！纠?—10】

計(jì)算技術(shù)與點(diǎn)鈔商除法4.2【例4—10】

⑤繼續(xù)運(yùn)算：用新的被除數(shù)96與除數(shù)24估商，商數(shù)為4，“二四08”，“四四16”；本次為夠除情況，為隔位商。⑥定位：M－N=4－2=＋2（位）。⑦書(shū)寫(xiě)答案：54。計(jì)算技術(shù)與點(diǎn)鈔商除法4.2【例4—11】3.0514÷0.0803=38①置數(shù)：將被除數(shù)的首位從算盤(pán)左邊第三檔開(kāi)始置入，除數(shù)默記。②估商：用被除數(shù)的首位數(shù)及次首位數(shù)30與除數(shù)8進(jìn)行比較，商數(shù)為3。③立商：夠除隔位商，不夠除挨位商。本次為不夠除，為挨位商。計(jì)算技術(shù)與點(diǎn)鈔商除法4.2④減乘積：從被除數(shù)當(dāng)中減去除數(shù)803與商數(shù)3的乘積?！鞍巳?4”，“零三00”，“三三09”，首次乘積的十位從商數(shù)的右一檔開(kāi)始撥減。左手指在商數(shù)處，右手食指指在個(gè)位，本次減乘積的個(gè)位是下一次減乘積十位。余數(shù)64小于除數(shù)803，說(shuō)明商數(shù)3是正確?！纠?—11】

計(jì)算技術(shù)與點(diǎn)鈔商除法4.2【例4—11】

⑤繼續(xù)運(yùn)算：用新的被除數(shù)0.6424與除數(shù)803估商，商數(shù)為8，“八八64”，“八零00”，“八三24”，本次為不夠除情況，為挨位商。⑥定位：M－N=1－（－1）=＋2（位）。⑦書(shū)寫(xiě)答案：38。計(jì)算技術(shù)與點(diǎn)鈔商除法4.2【例4—12】4.6305÷0.516=8.97①置數(shù)：將被除數(shù)的首位從算盤(pán)左邊第三檔開(kāi)始置入，除數(shù)默記。②估商：用被除數(shù)的首位數(shù)及次首位數(shù)46與除數(shù)5進(jìn)行比較，商數(shù)為8。③立商：夠除隔位商，不夠除挨位商。本次為不夠除，為挨位商。計(jì)算技術(shù)與點(diǎn)鈔商除法4.2④減乘積：從被除數(shù)當(dāng)中減去除數(shù)516與商數(shù)8的乘積?！拔灏?0”，“一八08”，“六八48”，首次乘積的十位從商數(shù)的右一檔開(kāi)始撥減。左手指指在商數(shù)處，右手食指指在個(gè)位，本次減乘積的個(gè)位是下一次減乘積十位。余數(shù)502小于除數(shù)516，說(shuō)明商數(shù)8是正確。【例4—12】

計(jì)算技術(shù)與點(diǎn)鈔商除法4.2【例4—12】

⑤繼續(xù)運(yùn)算：用新的被除數(shù)5025與除數(shù)516估商，商數(shù)為9，“五九45”，“一九09”，“六九54”，本次為不夠除情況，為挨位商。計(jì)算技術(shù)與點(diǎn)鈔商除法4.2【例4—12】

⑥定位：M－N=＋1位－0位=＋1（位）。⑦書(shū)寫(xiě)答案：8.97（保留兩位小數(shù)）。計(jì)算技術(shù)與點(diǎn)鈔4.2.4多位數(shù)除法的補(bǔ)商與退商商除法4.21）補(bǔ)商當(dāng)從被除數(shù)當(dāng)中減去商數(shù)與除數(shù)的乘積之后，余數(shù)仍然比除數(shù)大，則為商數(shù)偏小，此時(shí)需要“補(bǔ)商”。步驟（1）在原商數(shù)上補(bǔ)加1。（2）退后一檔減去除數(shù)。（3）如果余數(shù)仍大于或等于除數(shù)時(shí)，就再補(bǔ)商一次。直至余數(shù)小于除數(shù)為止。補(bǔ)商的方法可以概括為：“原商補(bǔ)加1，隔位減除數(shù)”。

計(jì)算技術(shù)與點(diǎn)鈔商除法4.2【例4—13】5.4168÷0.74①先用被除數(shù)前兩位數(shù)54與除數(shù)7進(jìn)行試商，商數(shù)為6，并從被除數(shù)當(dāng)中減去商數(shù)6與除數(shù)74的乘積②余數(shù)97大于除數(shù)74，說(shuō)明商數(shù)偏小，需要補(bǔ)商。計(jì)算技術(shù)與點(diǎn)鈔商除法4.2【例4—13】

補(bǔ)商后的余數(shù)23比除數(shù)74要小，說(shuō)明商數(shù)正確。計(jì)算技術(shù)與點(diǎn)鈔商除法4.22）退商在被除數(shù)中減去估商與除數(shù)的乘積時(shí)發(fā)現(xiàn)不夠減，這說(shuō)明估商偏大了，應(yīng)予退商。步驟（1）在原商數(shù)上減1。（2）同時(shí)在余數(shù)中，隔位加上已與商乘減過(guò)的除數(shù)。（3）再用調(diào)整過(guò)的新商數(shù)去乘減除數(shù)里未除過(guò)的數(shù)。退商的方法可以概括為：“原商減去1，隔位加除數(shù)”。計(jì)算技術(shù)與點(diǎn)鈔商除法4.2【例4—14】44,928÷752①先用被除數(shù)前兩位數(shù)44與除數(shù)7進(jìn)行試商，商數(shù)為6，并從被除數(shù)當(dāng)中減去商數(shù)6與除數(shù)752的乘積。當(dāng)從被除數(shù)中減去商數(shù)6與除數(shù)5的乘積時(shí)，發(fā)現(xiàn)不夠減，說(shuō)明商數(shù)偏大，需要退商。計(jì)算技術(shù)與點(diǎn)鈔商除法4.2【例4—13】

②在原商數(shù)上減1。③退后一檔加上已乘減過(guò)的除數(shù)7。計(jì)算技術(shù)與點(diǎn)鈔商除法4.2【例4—13】

④用新的商數(shù)5與未乘減過(guò)的除數(shù)52相乘，并從余數(shù)當(dāng)中減去，注意手指不要離開(kāi)個(gè)位檔，本次減乘積的個(gè)位是下一次減乘積的十位。退商后余數(shù)732比除數(shù)要小，說(shuō)明商數(shù)正確。計(jì)算技術(shù)與點(diǎn)鈔歸除法4.3歸除法也是比較古老的算法之一，屬于以口訣求商的基本除法。歸除法的口訣有傳統(tǒng)口訣和改良口訣之分。傳統(tǒng)口訣包括九歸口訣、撞歸歌和起一回原歌（即退商口訣）。歸除法分為“歸”和“除”兩個(gè)步驟。一位數(shù)除法叫“歸”，除數(shù)是幾就叫歸幾；多位數(shù)除法叫“歸除”，即先歸后除，如除數(shù)486，就叫“四歸八六除”。計(jì)算技術(shù)與點(diǎn)鈔歸除法4.3一歸：逢一進(jìn)1，逢二進(jìn)2，逢三進(jìn)3，逢四進(jìn)4，逢五進(jìn)5，逢六進(jìn)6，逢七進(jìn)7，逢八進(jìn)8，逢九進(jìn)9。二歸：二一改作5，逢二進(jìn)1，逢四進(jìn)2，逢六進(jìn)3，逢八進(jìn)4。三歸：三一3余1，三二6余2，逢三進(jìn)1，逢六進(jìn)2，逢九進(jìn)3。4.3.1傳統(tǒng)九歸口訣傳統(tǒng)九歸口訣如下：四歸：四一2余2，四二改作5，四三7余2，逢四進(jìn)1，逢八進(jìn)2。五歸：五一改作2，五二改作4，五三改作6，五四改作8，逢五進(jìn)1。計(jì)算技術(shù)與點(diǎn)鈔歸除法4.3六歸：六一下加4，六二3余2，六三改作5，六四6余4，六五8余2，逢六進(jìn)1逢雙六進(jìn)2。七歸：七一下加3，七二下加6，七三4余2，七四5余5，七五7余1，七六8余4，逢七進(jìn)1，逢雙七進(jìn)2。八歸：八一下加2，八二下加4，八三下加6，八四改作5，八五6余2，八六7余4，八七8余6，逢八進(jìn)1。傳統(tǒng)九歸口訣如下：九歸：九一下加1，九二下加2，九三下加3，九四下加4，九五下加5，九六下加6，九七下加7，九八下加8，逢九進(jìn)1。計(jì)算技術(shù)與點(diǎn)鈔歸除法4.3二歸：二一6去2，二一7去4，二一8去6，二一9去8。三歸：三一4去2，三一5去5，三一6去8，三二7去1，三二8去4，三二9去7。四歸：四一3去2，四一4去6，四二6去4，四二7去8，四三8去2，四三9去6。4.3.2改良九歸口訣改良九歸口訣如下：五歸：五一3去5，五二5去5，五三7去5，五四9去5。六歸：六一2去2，六一3去8，六二4去4，六三6去6，六四7去2，六四8去6，六五9去3。計(jì)算技術(shù)與點(diǎn)鈔歸除法4.3七歸：七一2去4，七二3去1，七二4去8，七三5去5，七四6去2，七五8去6，六五9去3。八歸：八一2去6，八二3去4，八三4去2，八四6去8，八五7去6，八六8去4，八七9去2。九歸：九一2去8，九二3去7，九三4去6，九四5去5，九五6去4，九六7去3，九七8去2，九八9去1。改良九歸口訣如下：在該口訣中，每句口訣五個(gè)字，第一個(gè)字表示除數(shù)，第二個(gè)字表示被除數(shù)，第三個(gè)字表示商數(shù)，第四個(gè)字“去”表示減去的意思，第五個(gè)字表示要減去的數(shù)。計(jì)算技術(shù)與點(diǎn)鈔省除法4.41）計(jì)算方法與步驟

確定截取公式：被除數(shù)和除數(shù)按截取公式確定截取有效數(shù)字，舍去的第一位數(shù)字按四舍五入處理。截取有效數(shù)字=被除數(shù)位數(shù)－除數(shù)位數(shù)＋要求保留的小數(shù)位數(shù)＋2確定壓尾檔：按照已截好的數(shù)字，把被除數(shù)撥在算盤(pán)上，并在末數(shù)的右一檔撥上、下珠靠梁作為壓尾檔的標(biāo)記。運(yùn)算：每位商數(shù)乘除數(shù)的積數(shù)，從被除數(shù)右面相應(yīng)的檔次上依次減去，當(dāng)減到壓尾檔時(shí)，按“四舍五入”處理。如果大于或等于除數(shù)前兩位數(shù)字的一半時(shí)，商的末位數(shù)加1，小于一半時(shí)舍去不計(jì)。計(jì)算技術(shù)與點(diǎn)鈔省除法4.42）定位

可采用算前的固