數(shù)學(xué)必修三必修四知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

第一章算法初步算法知識(shí)構(gòu)造：根本概念算法根本構(gòu)造表示方法應(yīng)用自然語言程序框圖根本算法語句順序構(gòu)造條件構(gòu)造循環(huán)構(gòu)造輾轉(zhuǎn)相除法和更相減損數(shù)秦九韶算法進(jìn)位制賦值語句條件語句循環(huán)語句輸入、輸出語句算法的定義：

通常指可以用計(jì)算機(jī)來解決的某一類問題的程序或步驟，這些程序或步驟必須是明確和有效的，而且能夠在有限步之內(nèi)完成。算法最重要的特征：算法的根本特點(diǎn)1、有限性一個(gè)算法應(yīng)包括有限的操作步驟，能在執(zhí)行有窮的操作步驟之后完畢。2、確定性算法的計(jì)算規(guī)那么及相應(yīng)的計(jì)算步驟必須是唯一確定的，既不能模糊其詞，也不能有二義性。3、有序性算法中的每一個(gè)步驟都是有順序的,前一步是后一步的前提,只有執(zhí)行完前一步后,才能執(zhí)行后一步,有著很強(qiáng)邏輯性的步驟序列。用程序框、流程線及文字說明來表示算法的圖形稱為程序框圖，它使算法步驟顯得直觀、清晰、簡明.終端框(起止框)

輸入、輸出框

處理框(執(zhí)行框)

判斷框

流程線○連接點(diǎn)二、程序框圖程序框圖又稱流程圖，是一種用規(guī)定的圖形，指向線及文字說明來準(zhǔn)確、直觀地表示算法的圖形。程序框名稱功能終端框（起止框）表示一個(gè)算法的起始和結(jié)束輸入、輸出框表示算法的輸入和輸出的信息處理框（執(zhí)行框）賦值、計(jì)算判斷框判斷一個(gè)條件是否成立，用“是”、“否”或“Y”、“N”標(biāo)明二、程序框圖1、順序構(gòu)造2、條件構(gòu)造3、循環(huán)構(gòu)造步驟n步驟n+1滿足條件？步驟A步驟B是否滿足條件？步驟A是否循環(huán)體滿足條件?否是循環(huán)體滿足條件?是否先做后判，否去循環(huán)先判后做，是去循環(huán)二、程序框圖1、順序構(gòu)造設(shè)計(jì)一算法,求和1+2+3+…+100，并畫出程序框圖。算法：第一步：取n=100；第二步：計(jì)算；第三步：輸出結(jié)果。開始結(jié)束輸入n=100s=(n+1)n/2輸出s二、程序框圖2、條件構(gòu)造算法：第一步：輸入x;第二步：如果x≥0；那么輸出x；否那么輸出－x。設(shè)計(jì)一個(gè)算法，求數(shù)x的絕對(duì)值，并畫出程序框圖。YN結(jié)束x≥0輸入x開始輸出x輸出-x算法分析：實(shí)數(shù)X的絕對(duì)值二、程序框圖3、循環(huán)構(gòu)造AP是否否是AP（A）AP否是（C）是否AP（B）（D）直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)的程序框圖是當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)的程序框圖是直到型循環(huán)構(gòu)造當(dāng)型循環(huán)構(gòu)造AD設(shè)計(jì)一個(gè)計(jì)算1+2+3+……+100的值的算法，并畫出程序框圖。算法：第一步：令i=1,s=0;第二步：s=s+i第三步：i=i+1；第四步：直到i＞100時(shí),輸出S，完畢算法，否那么返回第二步。程序框圖如下：i>100?i=1開始輸出s結(jié)束否是s=0i=i+1s=s+i否是循環(huán)體條件循環(huán)構(gòu)造直到型循環(huán)構(gòu)造設(shè)計(jì)一個(gè)計(jì)算1+2+3+……+100的值的算法，并畫出程序框圖。算法：第一步：令i=1,s=0;第二步：假設(shè)i<=100成立，那么執(zhí)行第三步；否那么，輸出s，完畢算法；第三步：s=s+i；第四步：i=i+1,返回第二步。i<=100?i=1開始輸出s結(jié)束否是s=0i=i+1s=s+i當(dāng)型循環(huán)構(gòu)造程序框圖如下：循環(huán)體條件是否語句一般格式主要功能說明1.輸入語句2.輸出語句3.賦值語句INPUT“提示內(nèi)容〞;變量PRINT“提示內(nèi)容〞;表達(dá)式變量＝表達(dá)式可對(duì)程序中的變量賦值可輸出表達(dá)式的值，計(jì)算可對(duì)程序中的變量賦值，計(jì)算〔1〕提示內(nèi)容和它后面的“；〞可以省略〔2〕一個(gè)語句可以給多個(gè)變量賦值，中間用“，〞分隔〔3〕無計(jì)算功能〔1〕表達(dá)式可以是變量，計(jì)算公式，或系統(tǒng)信息〔2〕一個(gè)語句可以輸入多個(gè)表達(dá)式，中間用“，〞分隔〔3〕有計(jì)算功能〔1〕“=〞的右側(cè)必須是表達(dá)式，左側(cè)必須是變量〔2〕一個(gè)語句只能給一個(gè)變量賦〔3〕有計(jì)算功能三．五種根本算法語句〔4〕條件語句IF-THEN-ELSE格式

IF-THEN格式

IF條件THEN語句1ELSE語句2ENDIF滿足條件？語句1語句2是否IF條件THEN語句ENDIF滿足條件？語句是否〔5〕循環(huán)語句①WHILE語句②UNTIL語句WHILE條件循環(huán)體WEND滿足條件？循環(huán)體是否DO循環(huán)體LOOPUNTIL條件滿足條件？循環(huán)體是否成立AP不成立AP成立不成立While〔當(dāng)型〕循環(huán)Until〔直到型〕循環(huán)兩種循環(huán)構(gòu)造有什么差異？先執(zhí)行循環(huán)體，然后再檢查條件是否成立，如果不成立就重復(fù)執(zhí)行循環(huán)體，直到條件成立退出循環(huán)。先判斷指定的條件是否為真，假設(shè)條件為真，執(zhí)行循環(huán)條件，條件為假時(shí)退出循環(huán)。先執(zhí)行后判斷先判斷后執(zhí)行編寫程序,求和1+2+3+…+n。開始結(jié)束輸入ns=(n+1)n/2輸出sINPUTns=(n+1)n/2*PRINT“S=〞;S程序語句：輸入語句賦值語句輸出語句順序構(gòu)造：END變量=表達(dá)式練：編寫一程序，求實(shí)數(shù)X的絕對(duì)值。條件構(gòu)造：開始輸入XX≥0輸出X輸出－X結(jié)束YNIFX>=0THENPRINTXELSEPRINT-XENDIF程序:INPUTXEND條件語句：i=1S=0WHILE

i<=100S=S+ii=i+1WENDPRINTSEND當(dāng)型循環(huán)語句當(dāng)型循環(huán)語句練：設(shè)計(jì)一算法,求和1+2+3+…+100。循環(huán)體條件是否WHILE條件循環(huán)體WEND開始

結(jié)束

輸出S是否程序框圖：程序語句：當(dāng)型循環(huán)構(gòu)造i=1S=0DOS=S+ii=i+1LOOPUNTIL

i>100PRINTSEND開場(chǎng)完畢

輸出S直到型循環(huán)語句直到型循環(huán)語句否是否是循環(huán)體條件DO循環(huán)體LOOPUNTIL條件直到型循環(huán)構(gòu)造一、輾轉(zhuǎn)相除法〔歐幾里得算法〕1、定義：所謂輾轉(zhuǎn)相除法，就是對(duì)于給定的兩個(gè)數(shù)，用較大的數(shù)除以較小的數(shù)。假設(shè)余數(shù)不為零，那么將余數(shù)和較小的數(shù)構(gòu)成新的一對(duì)數(shù)，繼續(xù)上面的除法，直到大數(shù)被小數(shù)除盡，那么這時(shí)較小的數(shù)就是原來兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。(1)、算法步驟：第一步：輸入兩個(gè)正整數(shù)m,n(m>n).第二步：計(jì)算m除以n所得的余數(shù)r.第三步：m=n,n=r.第四步：假設(shè)r＝0,那么m,n的最大公約數(shù)等于m；否那么轉(zhuǎn)到第二步.第五步：輸出最大公約數(shù)m.以求8251和6105的最大公約數(shù)的過程為例步驟：8251=6105×1+21466105=2146×2+18132146=1813×1+3331813=333×5+148333=148×2+37148=37×4+0顯然37是148和37的最大公約數(shù)，也就是8251和6105的最大公約數(shù)更相減損術(shù)

可半者半之，不可半者，副置分母、子之?dāng)?shù)，以少減多，更相減損，求其等也，以等數(shù)約之。第一步：任意給定兩個(gè)正整數(shù)；判斷他們是否都是偶數(shù)。假設(shè)是，那么用2約簡；假設(shè)不是那么執(zhí)行第二步。第二步：以較大的數(shù)減較小的數(shù)，接著把所得的差與較小的數(shù)比較，并以大數(shù)減小數(shù)。繼續(xù)這個(gè)操作，直到所得的減數(shù)和差相等為止，那么這個(gè)等數(shù)就是所求的最大公約數(shù)。〔1〕、?九章算術(shù)?中的更相減損術(shù)：1、背景介紹：〔2〕、現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的更相減損術(shù)：2、定義：

所謂更相減損術(shù)，就是對(duì)于給定的兩個(gè)數(shù)，用較大的數(shù)減去較小的數(shù)，然后將差和較小的數(shù)構(gòu)成新的一對(duì)數(shù)，再用較大的數(shù)減去較小的數(shù)，反復(fù)執(zhí)行此步驟直到差數(shù)和較小的數(shù)相等，此時(shí)相等的兩數(shù)便為原來兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。例:用更相減損術(shù)求98與63的最大公約數(shù).解：由于63不是偶數(shù)，把98和63以大數(shù)減小數(shù)，并輾轉(zhuǎn)相減98－63＝35

63－35＝28

35－28＝7

28－7＝2121－7＝2114－7＝7所以，98和63的最大公約數(shù)等于73、方法：比較輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的區(qū)別〔1〕都是求最大公約數(shù)的方法，計(jì)算上輾轉(zhuǎn)相除法以除法為主，更相減損術(shù)以減法為主，計(jì)算次數(shù)上輾轉(zhuǎn)相除法計(jì)算次數(shù)相對(duì)較少，特別當(dāng)兩個(gè)數(shù)字大小區(qū)別較大時(shí)計(jì)算次數(shù)的區(qū)別較明顯?！?〕從結(jié)果表達(dá)形式來看，輾轉(zhuǎn)相除法表達(dá)結(jié)果是以相除余數(shù)為0那么得到，而更相減損術(shù)那么以減數(shù)與差相等而得到。1、用更相減損術(shù)求兩個(gè)正數(shù)84與72的最大公約數(shù)．

練習(xí)：思路分析：先約簡，再求21與18的最大公約數(shù),然后乘以兩次約簡的質(zhì)因數(shù)4。2、求324、243、135這三個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。思路分析：求三個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)可以先求出兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)，第三個(gè)數(shù)與前兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)的最大公約數(shù)即為所求。?數(shù)書九章?——秦九韶算法設(shè)是一個(gè)n次的多項(xiàng)式對(duì)該多項(xiàng)式按下面的方式進(jìn)展改寫：要求多項(xiàng)式的值，應(yīng)該先算最內(nèi)層的一次多項(xiàng)式的值，即然后，由內(nèi)到外逐層計(jì)算一次多項(xiàng)式的值，即這種將求一個(gè)n次多項(xiàng)式f(x)的值轉(zhuǎn)化成求n個(gè)一次多項(xiàng)式的值的方法，稱為秦九韶算法。思考：在求多項(xiàng)式的值上，這是怎樣的一個(gè)轉(zhuǎn)化？

通過一次式的反復(fù)計(jì)算，逐步得出高次多項(xiàng)式的值，對(duì)于一個(gè)n次多項(xiàng)式，只需做n次乘法和n次加法即可。秦九韶算法的特點(diǎn)：在秦九韶算法中反復(fù)執(zhí)行的步驟，可用循環(huán)構(gòu)造來實(shí)現(xiàn)。例:用秦九韶算法求多項(xiàng)式 f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7當(dāng)x=5時(shí)的值.解法一:首先將原多項(xiàng)式改寫成如下形式: f(x)=((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7v0=2v1=v0x-5=2×5-5=5v2=v1x-4=5×5-4=21v3=v2x+3=21×5+3=108v4=v3x-6=108×5-6=534v5=v4x+7=534×5+7=2677所以,當(dāng)x=5時(shí),多項(xiàng)式的值是2677.然后由內(nèi)向外逐層計(jì)算一次多項(xiàng)式的值,即2-5-43-67x=5105252110510854053426702677所以,當(dāng)x=5時(shí),多項(xiàng)式的值是2677.原多項(xiàng)式的系數(shù)多項(xiàng)式的值.例.用秦九韶算法求多項(xiàng)式 f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7當(dāng)x=5時(shí)的值.解法二:列表2一、進(jìn)位制進(jìn)位制是人們?yōu)榱擞?jì)數(shù)和運(yùn)算方便而約定的記數(shù)系統(tǒng)。進(jìn)位制是一種記數(shù)方式，用有限的數(shù)字在不同的位置表示不同的數(shù)值。可使用數(shù)字符號(hào)的個(gè)數(shù)稱為基數(shù)，基數(shù)為n，即可稱n進(jìn)位制，簡稱n進(jìn)制?！皾M幾進(jìn)一〞就是幾進(jìn)制，幾進(jìn)制的基數(shù)就是幾.基數(shù)：二進(jìn)制、七進(jìn)制、八進(jìn)制、十二進(jìn)制、六十進(jìn)制等二進(jìn)制只有0和1兩個(gè)數(shù)字，七進(jìn)制用0~6七個(gè)數(shù)字十六進(jìn)制有0~9十個(gè)數(shù)字及ABCDEF六個(gè)字母.式中1處在百位，第一個(gè)3所在十位，第二個(gè)3所在個(gè)位，5和9分別處在十分位和百分位。十進(jìn)制數(shù)是逢十進(jìn)一的。我們最常用最熟悉的就是十進(jìn)制數(shù)，它的數(shù)值局部是十個(gè)不同的數(shù)字符號(hào)0，1，2，3，4，5，6，7，8，9來表示的。十進(jìn)制：例如133.59，它可用一個(gè)多項(xiàng)式來表示：133.59=1*102+3*101+3*100+5*10-1+9*10-2

為了區(qū)分不同的進(jìn)位制，常在數(shù)的右下角標(biāo)明基數(shù)，十進(jìn)制一般不標(biāo)注基數(shù).(10)七進(jìn)制的13，寫成13(7)；二進(jìn)制的10，寫成10(2)一般地，若k是一個(gè)大于1的整數(shù)，那么以k為基數(shù)的k進(jìn)制可以表示為一串?dāng)?shù)字連寫在一起的形式：二進(jìn)制與十進(jìn)制的轉(zhuǎn)換1、二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)例1：將二進(jìn)制數(shù)110011(2)化成十進(jìn)制數(shù)。解：根據(jù)進(jìn)位制的定義可知所以，110011〔2〕=51．把其他進(jìn)位制的數(shù)化為十進(jìn)制數(shù)的公式是什么？方法：除2取余法，即用2連續(xù)去除89或所得的商，然后取余數(shù)。例、把89化為二進(jìn)制數(shù)解：根據(jù)“逢二進(jìn)一〞的原那么，有89＝2×44＋1＝2×

(2×22＋0)+1＝2×(2×(2×11＋0)+0)+1＝2×(2×(2×

(2×5＋1)+0)+0)+15＝2×2＋1＝2×〔2×〔2×〔2×〔22＋1〕＋1〕＋0〕＋0〕＋189＝1×26＋0×25＋1×24＋1×23＋0×22＋0×21＋1×20所以：89=1011001〔2〕＝2×〔2×〔2×〔23＋2＋1〕＋0〕＋0〕＋1＝2×〔2×〔24＋22＋2＋0〕＋0〕＋1＝2×〔25＋23+22＋0＋0〕＋1＝26＋24+23＋0＋0＋2089＝2×44＋144＝2×22＋022＝2×11＋011＝2×

5＋1＝2×(2×(2×(2×

(2×2＋1)+1)+0)+0)+1所以89＝2×〔2×〔2×〔2×〔2×2＋1〕＋1〕＋0〕＋0〕＋1十進(jìn)制轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制注意：1.最后一步商為0，2.將上式各步所得的余數(shù)從下到上排列，得到：89=1011001〔2〕另解〔除2取余法的另一直觀寫法〕：522212010余數(shù)11224489222201101練習(xí)將下面的十進(jìn)制數(shù)化為二進(jìn)制數(shù)？（1）10（2）20例：把89化為五進(jìn)制數(shù)。解：根據(jù)除k取余法以5作為除數(shù)，相應(yīng)的除法算式為：所以，89=324〔5〕895175350423余數(shù)除k取余法：十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化為k進(jìn)制數(shù)的方法

用k連續(xù)去除該十進(jìn)制數(shù)或所得的商，直到商為零為止，然后把每次所得的余數(shù)倒著排成一個(gè)數(shù)，就是相應(yīng)的k進(jìn)制數(shù)?？碱}剖析

。［點(diǎn)評(píng)］本小題考察程序框圖中的循環(huán)構(gòu)造，主要是根據(jù)框圖，找到規(guī)律。解：由程序知s=2×1+2×2+┄+2×50=2550故選（C）

例、（2007海南、寧夏）如果執(zhí)行下面的程序框圖，那么輸出的s=（）。A2450B2500C2550D2652輸出ｓ結(jié)束開始否是ｓ＝０s＝s＋2kk＝１k＝k＋1k≤50？考題剖析

。［點(diǎn)評(píng)］此題考察條件構(gòu)造的程序框圖，求解時(shí)，對(duì)字母比較難理解，可以取一些特殊的數(shù)值，代進(jìn)去，方便理解。解:由程序框圖可知第一個(gè)判斷框作用是比較x與b的大小,故第二個(gè)判斷框的作用應(yīng)該是比較x與c的大小。應(yīng)選〔A〕例、（2008海南、寧夏）右面的程序框圖，如果輸入三個(gè)實(shí)數(shù)a，b，c，要求輸出這三個(gè)數(shù)中最大的數(shù)，那么在空白的判斷框中，應(yīng)該填入下面四個(gè)選項(xiàng)中的（）。Ac>xBx>cCc>bDb>c結(jié)束輸出xx＝c否是x＝bb>x?輸入a，b，c開始x＝a是否〔2021安徽理數(shù)〕如下圖，程序框圖〔算法流程圖〕的輸出值________?！窘馕觥砍绦蜻\(yùn)行如下:輸出12

．例、如圖給出了一個(gè)算法流程圖，該算法流程圖的功能是〔〕A.求a，b，c三數(shù)的最大數(shù)B.求a，b，c三數(shù)的最小數(shù)C.將a，b，c按從小到大排序D.將a，b，c按從大到小排序第二章統(tǒng)計(jì)統(tǒng)計(jì)用樣本估計(jì)總體隨機(jī)抽樣簡單隨機(jī)抽樣系統(tǒng)抽樣分層抽樣變量間的相關(guān)關(guān)系用樣本的頻率布估計(jì)總體分布用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體數(shù)字特征線性回歸分析知識(shí)結(jié)構(gòu)知識(shí)梳理1.簡單隨機(jī)抽樣〔1〕思想：設(shè)一個(gè)總體有N個(gè)個(gè)體，從中逐個(gè)不放回地抽取n個(gè)個(gè)體作為樣本，如果每次抽取時(shí)總體內(nèi)的各個(gè)個(gè)體被抽到的時(shí)機(jī)都相等,那么這種抽樣方法叫做簡單隨機(jī)抽樣.抽簽法：第一步，將總體中的所有個(gè)體編號(hào)，并把號(hào)碼寫在形狀、大小一樣的號(hào)簽上.第二步，將號(hào)簽放在一個(gè)容器中，并攪拌均勻.第三步，每次從中抽取一個(gè)號(hào)簽，連續(xù)抽取n次，就得到一個(gè)容量為n的樣本.〔2〕步驟：隨機(jī)數(shù)表法：第一步，將總體中的所有個(gè)體編號(hào).第二步，在隨機(jī)數(shù)表中任選一個(gè)數(shù)作為起始數(shù).第三步，從選定的數(shù)開場(chǎng)依次向右〔向左、向上、向下〕讀，將編號(hào)范圍內(nèi)的數(shù)取出，編號(hào)范圍外的數(shù)去掉，直到取滿n個(gè)號(hào)碼為止，就得到一個(gè)容量為n的樣本.2.系統(tǒng)抽樣〔1〕思想：將總體分成均衡的n個(gè)局部，再按照預(yù)先定出的規(guī)那么，從每一局部中抽取1個(gè)個(gè)體，即得到容量為n的樣本.〔2〕步驟：第一步，將總體的N個(gè)個(gè)體編號(hào).第二步，確定分段間隔k，對(duì)編號(hào)進(jìn)展分段.第三步，在第1段用簡單隨機(jī)抽樣確定起始個(gè)體編號(hào).第四步，按照一定的規(guī)那么抽取樣本.3.

分層抽樣〔1〕思想：假設(shè)總體由差異明顯的幾局部組成，抽樣時(shí)，先將總體分成互不穿插的層，然后按照一定的比例，從各層獨(dú)立地抽取一定數(shù)量的個(gè)體，再將各層取出的個(gè)體合在一起作為樣本.〔2〕步驟：第一步，計(jì)算樣本容量與總體的個(gè)體數(shù)之比.第二步，將總體分成互不穿插的層，按比例確定各層要抽取的個(gè)體數(shù).第三步，用簡單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣在各層中抽取相應(yīng)數(shù)量的個(gè)體.第四步，將各層抽取的個(gè)體合在一起，就得到所取樣本.三種抽樣方法的比較如下表:類別共同點(diǎn)相互聯(lián)系適用范圍各自特點(diǎn)簡單隨機(jī)抽樣(1)抽樣過程中每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)相等(2)抽樣過程都是不放回的抽樣總體中的個(gè)數(shù)較少從總體中逐個(gè)抽取系統(tǒng)抽樣在起始部分抽樣時(shí)采用簡單隨機(jī)抽樣總體中的個(gè)數(shù)較多將總體均分成幾部分,按事先確定的規(guī)則在各部分抽取分層抽樣每層抽樣時(shí)采用簡單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣總體由差異明顯的幾部分組成將總體分成幾層,按一定的比例進(jìn)行抽取用樣本估計(jì)總體:一般分成兩種(1)是用樣本的頻率分布估計(jì)總體的分布;(2)是用樣本的數(shù)字特征(如平均數(shù)?標(biāo)準(zhǔn)差等)估計(jì)總體的數(shù)字特征.所謂第一種就是利用樣本的頻率分布表和頻率分布直方圖對(duì)總體情況作出估計(jì),有時(shí)也利用頻率分布折線圖和莖葉圖對(duì)總體估計(jì)第二種就是為了從整體上更好地把握總體的規(guī)律,可以通過樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)?中位數(shù)?平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差等數(shù)字特征對(duì)總體的數(shù)字特征作出估計(jì)幾個(gè)概念:眾數(shù):樣本數(shù)據(jù)中出現(xiàn)最多的數(shù)據(jù);中位數(shù):把樣本數(shù)據(jù)分成一樣數(shù)目的兩局部,其中一局部比這個(gè)數(shù)小,另一局部比這個(gè)數(shù)大的那個(gè)數(shù);中位數(shù)是一組數(shù)據(jù)的中間水平。平均數(shù):所有樣本數(shù)據(jù)的平均值,用表示;標(biāo)準(zhǔn)差:是反映樣本數(shù)據(jù)分散程度大小的最常用統(tǒng)計(jì)量,其計(jì)算公式如下:方差:標(biāo)準(zhǔn)差的平方注意：中位數(shù)和眾數(shù)不同，中位數(shù)不一定在這組數(shù)據(jù)中。而眾數(shù)必定在該組數(shù)據(jù)〕例：2、3、4、5、6、7中位數(shù)：中間的兩個(gè)數(shù)相加后除2=〔4+5〕/2=4.54.頻率分布表〔1〕含義：表示樣本數(shù)據(jù)分布規(guī)律的表格.〔2〕作法：第一步，求極差.第二步，決定組距與組數(shù)〔強(qiáng)調(diào)取整〕.第三步，確定分點(diǎn)，將數(shù)據(jù)分組.第四步，統(tǒng)計(jì)頻數(shù)，計(jì)算頻率，制成表格.5.頻率分布直方圖〔1〕含義：表示樣本數(shù)據(jù)分布規(guī)律的圖形.〔2〕作法：第一步，畫平面直角坐標(biāo)系.第二步，在橫軸上均勻標(biāo)出各組分點(diǎn)，在縱軸上標(biāo)出單位長度.第三步，以組距為寬，各組的頻率與組距的商為高，分別畫出各組對(duì)應(yīng)的小長方形.頻率分布直方圖的特征：從頻率分布直方圖可以清楚的看出數(shù)據(jù)分布的總體趨勢(shì)。從頻率分布直方圖得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容，把數(shù)據(jù)表示成直方圖后，原有的具體數(shù)據(jù)信息就被抹掉了。頻率分布表與頻率分布直方圖的區(qū)別:頻率分布表列出的是在各個(gè)不同區(qū)間內(nèi)取值的頻率。頻率分布直方圖是用小長方形面積的大小來表示在各個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的頻率。6.頻率分布折線圖在頻率分布直方圖中，依次連接各小長方形上端中點(diǎn)得到的一條折線，稱為頻率分布折線圖.00.10.20.30.40.50.60.511.522.533.544.5畫出頻率分布折線圖.頻率/組距月均用水量/t(取組距中點(diǎn),并連線)0.080.160.30.440.50.30.10.080.047.總體密度曲線當(dāng)總體中的個(gè)體數(shù)很多時(shí)，隨著樣本容量的增加，所分的組數(shù)增多，組距減少，相應(yīng)的頻率分布折線圖越來越接近于一條光滑曲線，統(tǒng)計(jì)中稱這條光滑曲線為總體密度曲線.它能夠準(zhǔn)確地反映了總體在各個(gè)范圍內(nèi)取值的百分比，它能給我們提供更加精細(xì)的信息.月均用水量/t頻率組距0ab8.莖葉圖作法：第一步，將每個(gè)數(shù)據(jù)分為“莖〞〔高位〕和“葉〞〔低位〕兩局部；第二步，將最小的莖和最大的莖之間的數(shù)按大小次序排成一列，寫在左〔右〕側(cè)；第三步，將各個(gè)數(shù)據(jù)的葉按大小次序?qū)懺谇o右〔左〕側(cè).例:甲乙兩人比賽得分記錄如下：甲：13,51,23,8,26,38,16,33,14,28,39乙：49,24,12,31,50,31,44,36,15,37,25,36,39用莖葉圖表示兩人成績，說明哪一個(gè)成績好．甲 乙0123452,55,41,6,1,6,7,94,9084,6,33,6,83,8,91葉 莖葉莖葉圖(一種被用來表示數(shù)據(jù)的圖)

〔１〕用莖葉圖表示數(shù)據(jù)有兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)：一是從統(tǒng)計(jì)圖上沒有原始數(shù)據(jù)信息的損失，所有數(shù)據(jù)信息都可以從莖葉圖中得到；二是莖葉圖中的數(shù)據(jù)可以隨時(shí)記錄，隨時(shí)添加，方便記錄與表示?！玻病城o葉圖只便于表示兩位有效數(shù)字的數(shù)據(jù)，而且莖葉圖只方便記錄兩組的數(shù)據(jù)，兩個(gè)以上的數(shù)據(jù)雖然能夠記錄，但是沒有表示兩個(gè)記錄那么直觀，清晰。莖葉圖的特征：9.眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)眾數(shù)：頻率分布直方圖最高矩形下端中點(diǎn)的橫坐標(biāo).中位數(shù)：頻率分布直方圖面積平分線的橫坐標(biāo).平均數(shù)：頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積與小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積的總和.10.標(biāo)準(zhǔn)差11.相關(guān)關(guān)系自變量取值一定時(shí)，因變量的取值帶有一定隨機(jī)性的兩個(gè)變量之間的關(guān)系，叫做相關(guān)關(guān)系.12.散點(diǎn)圖在平面直角坐標(biāo)系中，表示具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量的一組數(shù)據(jù)圖形，稱為散點(diǎn)圖.如果散點(diǎn)圖中的點(diǎn)的分布，從整體上看大致在一條直線附近，那么稱這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線.13.回歸直線14.求回歸直線方程的步驟:例1.某工廠人員及周工資構(gòu)成如下：人員經(jīng)理管理人員高級(jí)技工工人學(xué)徒合計(jì)周工資2200250220200100人數(shù)16510123合計(jì)22001500110020001006900〔1〕指出這個(gè)問題中周工資的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù).〔2〕這個(gè)問題中，工資的平均數(shù)能客觀地反映該廠的工資水平嗎？為什么？200,220，300.(2)因平均數(shù)為300，由表格中所列出的數(shù)據(jù)可見，只有經(jīng)理在平均數(shù)以上，其余的人都在平均數(shù)以下，故用平均數(shù)不能客觀真實(shí)地反映該工廠的工資水平.例2.以往招生統(tǒng)計(jì)顯示，某所大學(xué)錄取的新生高考總分的中位數(shù)根本穩(wěn)定在550分，假設(shè)某同學(xué)今年高考得了520分，他想報(bào)考這所大學(xué)還需收集哪些信息？解析:(1)查往年錄取的新生的平均分?jǐn)?shù).假設(shè)平均數(shù)小于中位數(shù)很多，說明最低錄取線較低，可以報(bào)考.(2)查往年錄取的新生高考總分的標(biāo)準(zhǔn)差.假設(shè)標(biāo)準(zhǔn)差較大，說明新生的錄取分?jǐn)?shù)較分散，最低錄取線可能較低，可以考慮報(bào)考.第三章概率概率知識(shí)點(diǎn)：1、頻率與概率的意義3、古典概型4、幾何概型2、事件的關(guān)系和運(yùn)算1、頻率本身是隨機(jī)的，在試驗(yàn)前不能確定。做同樣次數(shù)的重復(fù)試驗(yàn)得到事件的頻率會(huì)不同。2、概率是一個(gè)確定的數(shù)，與每次試驗(yàn)無關(guān)。是用來度量事件發(fā)生可能性大小的量。3、頻率是概率的近似值，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率會(huì)越來越接近概率。頻率與概率的意義:事件的關(guān)系和運(yùn)算：〔2〕相等關(guān)系:〔3〕并事件〔和事件〕:〔4〕交事件〔積事件〕:〔5〕互斥事件:〔6〕互為對(duì)立事件:〔1〕包含關(guān)系:且是必然事件A=B互斥事件與對(duì)立事件的聯(lián)系與區(qū)別：1、兩事件對(duì)立，必定互斥，但互斥未必對(duì)立2、互斥的概念適用于多個(gè)事件，但對(duì)立概念只適用于兩個(gè)事件3、兩個(gè)事件互斥只表明這兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生，即至多只能發(fā)生一個(gè)，但可以都不發(fā)生；而兩事件對(duì)立則表明它們有且只有一個(gè)發(fā)生概率的根本性質(zhì)(1)0≤P〔A〕≤1(2)當(dāng)事件A、B互斥時(shí)，(3)當(dāng)事件A、B對(duì)立時(shí)，〔1〕試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的根本領(lǐng)件只有有限個(gè)；〔有限性〕〔2〕每個(gè)根本領(lǐng)件出現(xiàn)的可能性相等?！驳瓤赡苄浴彻诺涓判?〕兩個(gè)特征：2〕古典概型計(jì)算任何事件的概率計(jì)算公式為：(1)試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(根本領(lǐng)件)有無限多個(gè).(2)每個(gè)根本領(lǐng)件出現(xiàn)的可能性相等.幾何概型1〕幾何概型的特點(diǎn):2〕在幾何概型中,事件A的概率的計(jì)算公式如下:練習(xí)：1.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，如果連續(xù)拋擲1000次，那么第999次出現(xiàn)正面朝上的概率是〔〕

B.

C.

D.

A.2、某種彩票中獎(jiǎng)幾率為0.1％，某人連續(xù)買1000張彩票，以下說法正確的選項(xiàng)是：〔〕A、此人一定會(huì)中獎(jiǎng)B、此人一定不會(huì)中獎(jiǎng)C、每張彩票中獎(jiǎng)的可能性都相等D、最后買的幾張彩票中獎(jiǎng)的可能性大些3．有一人在打靶中，連續(xù)射擊2次，事件“至少有1次中靶〞的對(duì)立事件是〔〕A.至多有1次中靶B.2次都中靶4、甲、乙兩人下棋，兩人下和棋的概率為，乙獲勝的概率為，則甲獲勝的概率為_______________5、在相距5米的兩根木桿上系一條繩子，并在繩子上掛一盞燈，那么燈與兩端距離都大于2米的概率為______________6、袋中有紅、白色球各一個(gè)，每次任意取一個(gè)，有放回地抽三次，〔1〕三次顏色中恰有兩次同色的概率？〔2〕三次顏色全一樣的概率？〔3〕抽取的紅球多于白球的概率？7、正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,在正方體內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)M,那么四棱錐M-ABCD的體積小于的概率為.ABCDB1C1A1D1M8、如圖，在三角形AOB中,∠AOB=60°,OA=2，OB=5，在線段OB上任取一點(diǎn)C，試求(1)△AOC為鈍角三角形的概率.(2)△AOC為銳角三角形的概率.ABOCDEC9、甲乙兩輛貨車都要?？客粋€(gè)站臺(tái)卸貨，他們可能在一晝夜的任一時(shí)刻到達(dá)，甲乙兩輛貨車卸貨的時(shí)間分別是6小時(shí)與4小時(shí)。求有一輛貨車停靠站臺(tái)時(shí)不需等待的概率。再見三角函數(shù)總復(fù)習(xí)

任意角的概念角的度量方法〔角度制與弧度制〕弧長公式與扇形面積公式任意角的三角函數(shù)同角公式誘導(dǎo)公式兩角和與差的三角函數(shù)二倍角的三角函數(shù)三角函數(shù)式的恒等變形〔化簡、求值、證明〕三角函數(shù)的圖形和性質(zhì)正弦型函數(shù)的圖象三角函數(shù)值，求角知識(shí)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)造〔1〕正角，負(fù)角和零角.用旋轉(zhuǎn)的觀點(diǎn)定義角，并規(guī)定了旋轉(zhuǎn)的正方向，就出現(xiàn)了正角，負(fù)角和零角，這樣角的大小就不再限于00到3600的范圍.（3）終邊相同的角，具有共同的紿邊和終邊的角叫終邊相同的角，所有與角終邊相同的角（包含角在內(nèi)）的集合為.（4）角在“到”范圍內(nèi)，指.〔2〕象限角和軸線角.象限角的前提是角的頂點(diǎn)與直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，這樣當(dāng)角的終邊在第幾象限，就說這個(gè)角是第幾象限的角，假設(shè)角的終邊與坐標(biāo)軸重合，這個(gè)角不屬于任一象限，這時(shí)也稱該角為軸線角.一、根本概念：一、任意角的三角函數(shù)1、角的概念的推廣正角負(fù)角oxy的終邊的終邊零角二、象限角：注：如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，那么該角不是象限角。三、所有與角終邊一樣的角，連同角在內(nèi)，構(gòu)成集合：〔角度制〕〔弧度制〕例1、求在到（）范圍內(nèi)，與下列各角終邊相同的角原點(diǎn)x軸的非負(fù)半軸一、在直角坐標(biāo)系內(nèi)討論角，角的頂點(diǎn)與重合，角的始邊與重合。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)為負(fù)。角的終邊〔除端點(diǎn)外〕在第幾象限，我們就說這個(gè)角是第幾象限角。1、終邊一樣的角與相等角的區(qū)別終邊一樣的角不一定相等，相等的角終邊一定一樣。2、象限角、象間角與區(qū)間角的區(qū)別3、角的終邊落在“射線上〞、“直線上〞及“互相垂直的兩條直線上〞的一般表示式三、終邊一樣的角(1)與角終邊一樣的角的集合:

{

|

=2k+,k∈Z}.(2)象限角、象限界角(軸線角)①象限角第一象限角:

(2k<<2k+

,kZ)2

第二象限角:(2k+

<<2k+,kZ)2

第三象限角:

(2k+<<2k+

,kZ)23第四象限角:2

(2k+<<2k+2,kZ

或2k-<<2k,kZ

)23一、角的根本概念②軸線角x

軸的非負(fù)半軸:=k360o(2k)(kZ);x

軸的非正半軸:=k360o+180o(2k+)(kZ);

y

軸的非負(fù)半軸:=k360o+90o(2k+

)(kZ);2

y

軸的非正半軸:=k360o+270o(2k+)

或

=k360o-90o(2k-

)(kZ);232

x

軸:=k180o(k)(kZ);

y

軸:=k180o+90o(k+

)(kZ);2

坐標(biāo)軸:=k90o()(kZ).2k例2、（1）、終邊落在x軸上的角度集合：（2）、終邊落在y軸上的角度集合：（3）、終邊落在象限平分線上的角度集合：典型例題各個(gè)象限的半角范圍可以用以下圖記憶，圖中的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ分別指第一、二、三、四象限角的半角范圍；例1.假設(shè)α是第三象限的角，問α/2是哪個(gè)象限的角?2α是哪個(gè)象限的角?高考試題精選及分析C點(diǎn)評(píng):此題先由α所在象限確定α/2所在象限,再α/2的余弦符號(hào)確定結(jié)論.例1求經(jīng)過1小時(shí)20分鐘時(shí)鐘的分針?biāo)D(zhuǎn)過的角度：解：分針?biāo)D(zhuǎn)過的角度例2已知a是第二象限角，判斷下列各角是第幾象限角（1）（2）評(píng)析：在解選擇題或填空題時(shí)，如求角所在象限，也可以不討論k的幾種情況，如圖所示利用圖形來判斷.四、什么是1弧度的角？長度等于半徑長的弧所對(duì)的圓心角。OABrr2rOABr〔3〕角度與弧度的換算.只要記住，就可以方便地進(jìn)展換算.應(yīng)熟記一些特殊角的度數(shù)和弧度數(shù).在書寫時(shí)注意不要同時(shí)混用角度制和弧度制（4）弧長公式和扇形面積公式.度弧度02、角度與弧度的互化特殊角的角度數(shù)與弧度數(shù)的對(duì)應(yīng)表略解：例3．已知角和滿足求角–的范圍.解：例4、扇形的周長為定值100，問扇形的半徑和圓心角分別為多少時(shí)扇形面積最大？最大值是多少？扇形面積最大值為625.例7.一扇形中心角是α，所在圓的半徑是R.①假設(shè)α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧長及該弧所在的弓形面積.②假設(shè)扇形的周長是一定值C(C＞0)，當(dāng)α為多少弧度時(shí)，該扇形的面積有最大值?并求出這一最大值?指導(dǎo):扇形的弧長和面積計(jì)算公式都有角度制和弧度制兩種給出的方式，但其中用弧度制給出的形式不僅易記，而且好用.在使用時(shí)，先要將問題中涉及到的角度換算為弧度.

解：〔1〕設(shè)弧長為l，弓形面積為S弓。

（2）扇形周長C=2R+l=2R+正弦線：余弦線：正切線：〔2〕當(dāng)角α的終邊在x軸上時(shí)，正弦線，正切線變成一個(gè)點(diǎn)；當(dāng)角α的終邊在y軸上時(shí)，余弦線變成一個(gè)點(diǎn)，正切線不存在。2.正弦線、余弦線、正切線xyOPTMA有向線段MP有向線段OM有向線段AT注意：〔1〕圓心在原點(diǎn)，半徑為單位長的圓叫單位圓.在平面直角坐標(biāo)系中引進(jìn)正弦線、余弦線和正切線三角函數(shù)三角函數(shù)線正弦函數(shù)余弦函數(shù)正切函數(shù)正弦線MP

正弦、余弦函數(shù)的圖象

yxxO-1PMA(1,0)Tsin=MPcos=OMtan=AT注意：三角函數(shù)線是有向線段！余弦線OM正切線ATPOMPOMPOMPOMMP為角的正弦線,OM為角的余弦線為第二象限角時(shí)為第一象限角時(shí)為第三象限角時(shí)為第四象限角時(shí)10〕函數(shù)y=lgsinx+的定義域是〔A〕〔A〕{x|2kπ<x≤2kπ+(k∈Z)}〔B〕{x|2kπ≤x≤2kπ+(k∈Z)}〔C〕{x|2kπ<x≤2kπ+π(k∈Z)}〔D〕{x|2kπ<x≤2kπ+(k∈Z)}專題知識(shí)三角函數(shù)線的應(yīng)用一、三角式的證明2、已知：角為銳角，

試證：1、已知：角為銳角，

試證：（1）4、在半徑為r的圓中，扇形的周長等于半圓的弧長，那么扇形圓心角是多少？扇形的的面積是多少？答：圓心角為π-2，面積是5、用單位圓證明sianα<α<tanα.(00<α<900ATPMOxy提示：利用三角函數(shù)線和三角形面積與扇形面積大小關(guān)系證明。OyxOyx例5已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)例6假設(shè)為第一象限角，利用三角函數(shù)線證明：假設(shè)為其它象限角呢？例7求函數(shù)的定義域.xyo0

1

-1

0

++__1

0

0

-1

xyo++__不存在

xyo0

0

不存在

_+_+一、任意角的三角函數(shù)定義xyo●P(x,y)r二、同角三角函數(shù)的根本關(guān)系式倒數(shù)關(guān)系：商關(guān)系：平方關(guān)系：三角函數(shù)值的符號(hào)：“第一象限全為正，二正三切四余弦〞平方關(guān)系倒數(shù)關(guān)系商式關(guān)系5.同角三角函數(shù)根本關(guān)系:神奇的六邊形11〔1〕上述幾個(gè)根本關(guān)系中，必須注意：①它們都是同一個(gè)角的三角函數(shù)，因此sin2+sin2=1不一定成立；②這幾個(gè)恒等式都是在所取的角使等式兩邊都有意義的前提下成立.〔2〕同角三角函數(shù)的根本關(guān)系常用于：①角的某個(gè)三角函數(shù)值，求角的其他三角函數(shù)值；②化簡三角函數(shù)式；③證明三角恒等式同角三角函數(shù)根本關(guān)系本卷須知:三、典型例題分析【解題回憶】三角函數(shù)值求同角的其它三角函數(shù)值是一個(gè)基此題型，解答此問題過程中，通過根本關(guān)系式中正弦、余弦、正切之間的聯(lián)系，必需開方且只需開方一次〔有的題型根據(jù)條件可以盡量回避開方，使得問題輕松獲解〕，根據(jù)α角所在象限，確定正負(fù)號(hào)的取舍.當(dāng)給出的α的象限指定唯一，那么此時(shí)一般有一解；當(dāng)角α的象限沒有定，可根據(jù)的函數(shù)值的符號(hào)確定α的象限，此時(shí)一般有二解〔除軸上角外〕；當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)值符號(hào)不確定，此時(shí)一般有四解〔除軸上角.外〕.例1：是第三象限角，且，0求。四、主要題型解：應(yīng)用：三角函數(shù)值的符號(hào)；同角三角函數(shù)的關(guān)系；例2．sinα=m(|m|≤1)，求tanα.方法指導(dǎo)：此類例題的結(jié)果可分為以下三種情況.(1)一個(gè)角的某三角函數(shù)值，又知角所在象限，有一解.(2)一個(gè)角的某三角函數(shù)值，且不知角所在象限，有兩解.(3)角α的三角函數(shù)值是用字母表示時(shí)，要分象限討論.α分象限討論的依據(jù)是三角函數(shù)值具有平方關(guān)系的那個(gè)三角函數(shù)值符號(hào)，一般有四解.指導(dǎo)：容易出錯(cuò)的地方是得到x2＝3后，不考慮P點(diǎn)所在的象限，分x取值的正負(fù)兩種情況去討論，一般地，在解此類問題時(shí)，可以優(yōu)先注意角α所在的象限，對(duì)最終結(jié)果作一個(gè)合理性的預(yù)測(cè)例4．設(shè)α為第四象限角，其終邊上的一個(gè)點(diǎn)是P(x，)，且cosα＝，求sinα和tanα.設(shè)00900，對(duì)于任意一個(gè)00到3600的角=，當(dāng)[00，900]1800-，當(dāng)[900，1800]1800+，當(dāng)[1800，2700]3600-，當(dāng)[2700，3600]如何求非銳角的三角函數(shù)值呢？角1800-，1800+，3600-的三角函數(shù)值與的三角函數(shù)值有何關(guān)系呢？6.誘導(dǎo)公式:公式1

公式2：

公式3：公式4：公式5：奇變偶不變，符號(hào)看象限！〔注意：把看作是銳角〕公式五：公式六：偶同奇余象限定號(hào)〔K是奇數(shù)〕〔K是偶數(shù)〕〔K是奇數(shù)〕〔K是偶數(shù)〕誘導(dǎo)公式總結(jié)：口訣：奇變偶不變，符號(hào)看象限意義：利用誘導(dǎo)公式把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù),一般按下面步驟進(jìn)展:任意負(fù)角的三角函數(shù)任意正角的三角函數(shù)銳角三角函數(shù)到的角的三角函數(shù)用公式三或一用公式一用公式二或四特殊角的三角函數(shù)值你記住了嗎？度弧度三、典型例題分析【解題回憶】視sinα，cosα等為“一次式〞，sin2α，sinαcosα等為“二次式〞.象此題中的“分式齊次式〞、“齊次二項(xiàng)式〞是典型的條件求值，一般化為含tanα的式子.要注重?cái)?shù)字“1〞的代換，外表上看增加了運(yùn)算，但同時(shí)它又可以將原表達(dá)式整體構(gòu)造發(fā)生改變，給解決問題帶來方面，故解題時(shí)，應(yīng)給于足夠的認(rèn)識(shí)．1、

若，則

分析:從已知可求出同除以得例1：原式可化為〔04湖南)例5，假設(shè)tanA=,求2sin2A+sinA·cosA-3cos2A的值。指導(dǎo)：這是一個(gè)角A的三角函數(shù)值，求它的三角函數(shù)式的值。觀察其構(gòu)成特征，可考慮利用“1〞的恒等變形，把欲求值的三角函數(shù)式用條件正切來表示。即先變形，后代入計(jì)算。解：例5，假設(shè)tanA=,求2sin2A+sinA·cosA-3cos2A的值。分析：屬“給值求值”型本例假設(shè)借助題目條件的特殊性來整體考慮使用條件應(yīng)比較簡單些。將齊齊例題與練習(xí)例4化簡練習(xí)1求sin(2n+2/3)·cos(n+4/3)的值(nZ)2化簡cos[(4n+1)/4+x]+cos[(4n-1)/4-x]當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，原式=-2cos(/4+x)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，原式=2cos(/4+x)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，補(bǔ)充:已知(1)試判斷的符號(hào)；(2)化簡作業(yè)解：由的終邊在第二、三象限或y軸和x軸的負(fù)半軸上；

又，∴角的終邊在第二、四象限，從而的終邊在第二象限。（1）易知（2）原式=【解題回憶】★證等式常用方法：〔1〕左邊證明到右邊或右邊證明到左邊〔從繁到簡為原那么〕〔2〕兩邊向中間證〔3〕分析法；〔4〕用綜合法★★證等式的思路要靈活，根據(jù)等式兩邊式子構(gòu)造特點(diǎn)，尋求思路.三、典型例題分析三、典型例題分析【解題回憶】根據(jù)目標(biāo)式子無β的特點(diǎn)，采用消元思想，三角平方關(guān)系式消元是一重要方法.四、sinθ＋cosθ，sinθcosθ，sinθ－cosθ三個(gè)式子中，其中一個(gè)式子的值，可以求出其余兩個(gè)式子的值。OyxOyx例2、:三、典型例題分析求的值.【解題回憶】sinθ與cosθ通過公式sin2θ+cos2θ=1形成對(duì)立與統(tǒng)一的整體，它們的和sinθ+cosθ、差sinθ-cosθ、積sinθcosθ、商sinθ/cosθ(即tanθ)密切相聯(lián)，如(sinθ+cosθ〕2=1+2sinθcosθ，例6，假設(shè)，那么。指導(dǎo):條件是正余弦的乘積，結(jié)論要求的是差，要想聯(lián)系起來只有平方，需注意的是∈(,)即=1-2×1/8=3/4∴小結(jié)：解決“給值求角〞型問題，關(guān)鍵是利用給定的三角函數(shù)值或者首先求出該角的某一個(gè)三角函數(shù)值，在某個(gè)范圍內(nèi)求出具體的角。練習(xí)：設(shè)兩兩時(shí)例3α是三角形的內(nèi)角，且sinα+cosα=，求tanα的值。解答下列問題：（1）若在第四象限，判斷的符號(hào)；（2）若，試指出所在的象限，并用圖形表示出的取值范圍.思考題三、三角函數(shù)圖像和性質(zhì)函數(shù)y=sinxy=cosxy=tanx圖象定義值域奇偶性對(duì)稱中心RR[-1,1][-1,1]R奇奇偶函數(shù)y=sinxy=cosxy=tanx最值對(duì)稱軸周期性單調(diào)性無最值無2π2ππy=sinxy=cosxy=tanx定義域值域奇偶性單調(diào)性周期性對(duì)稱性RRR[-1,1][-1,1]奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)增區(qū)間：增區(qū)間：增區(qū)間：減區(qū)間：減區(qū)間：對(duì)稱中心：對(duì)稱中心：對(duì)稱中心：對(duì)稱軸：對(duì)稱軸：3、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)y=tanx圖象xyo定義域值域R奇偶性奇函數(shù)周期性單調(diào)性

正切函數(shù)的性質(zhì)：

6、對(duì)稱性：對(duì)稱中心7、漸進(jìn)線：四、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)圖象y=sinxy=cosxxoy-11xy-11性質(zhì)定義域RR值域[-1，1][-1，1]周期性T=2T=2奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)單調(diào)性o1、正弦、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)．y=sinxyx1-1p/2

2po3p/2

．．．．p五點(diǎn)作圖法p

．p/2

3p/2

2poyxp

y=cosx．．．1-1對(duì)稱點(diǎn)：(kp,0)對(duì)稱軸：x=kp+p2對(duì)稱軸：x=kp對(duì)稱點(diǎn)：(kp+,0)p2T/2k∈Zk∈ZT/2練習(xí)：y=3sin(2x+／６)的圖像的一條對(duì)稱軸方程是〔〕〔A〕x=0(B)x=／６(C)x=-／６〔D〕x=／3B解：令X=2x+／６,那么y=3sinX,由此可知y=3sinX的圖像的對(duì)稱軸方程為Ｘ＝k+/2，kZ2x+／６＝k+/2，kZ，解得x=k/2+／６,kZy=3sin(2x+／６)的圖像的對(duì)稱軸方程為：x=k/2+／６,kZ令k=0得x=／６1、作y=Asin(ωx+φ)圖象的方法2、y=Asin(ωx+φ)關(guān)于A、ω、φ的三種變換法一：五點(diǎn)法列表取值方法：是先對(duì)ωx+φ取0，π/2，π，3π/2，2π法二：圖象變換法〔1〕振幅變換〔對(duì)A〕〔2〕周期變換〔對(duì)ω〕〔3〕相位變換〔對(duì)φ〕(二)y=Asin(ωx+φ)的相關(guān)問題3、求y=Asin(ωx+φ)+K的解析式的方法4、y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的圖象的對(duì)稱中心和對(duì)稱軸方程2、函數(shù)的圖象〔A>0,>0)第一種變換:圖象向左()或向右()平移個(gè)單位

橫坐標(biāo)伸長()或縮短()到原來的倍縱坐標(biāo)不變縱坐標(biāo)伸長(A>1)或縮短(0<A<1)到原來的A倍橫坐標(biāo)不變第二種變換：橫坐標(biāo)伸長()或縮短()到原來的倍縱坐標(biāo)不變圖象向左()或向右()平移個(gè)單位

縱坐標(biāo)伸長(A>1)或縮短(0<A<1)到原來的A倍橫坐標(biāo)不變5、對(duì)于較復(fù)雜的解析式，先將其化為此形式：并會(huì)求相應(yīng)的定義域、值域、周期、單調(diào)區(qū)間、對(duì)稱中心、對(duì)稱軸；會(huì)判斷奇偶性例3、不通過求值，比較tan1350與tan1380的大小。解：∵900<1350<1380<2700又∵y=tanx在x∈〔900，2700〕上是增函數(shù)∴tan1350<tan1380。例3求函數(shù)的定義域值域解∵2、函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間是—————————變題：函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間是

—————————例4函數(shù)y=cos(2x+)圖象的一條對(duì)稱軸方程為_____。(A)x=-(B)x=-(C)x=(D)x=解：2x+=k2x=k-x=-k=0x=-選B例5函數(shù)y=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的圖象向左平移個(gè)單位，再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來2倍〔縱坐標(biāo)不變〕得函數(shù)y=sinx圖象那么ω=____φ=____。解：y=sin2x=sin2(x-)=sin(2x-)ω=2φ=-６７思路:函數(shù)y=sin2x+acos2x可化為要使它的圖象關(guān)于直線x=-π/8對(duì)稱,那么圖象在該處必是處于波峰或波谷.即函數(shù)在x=-π/8時(shí)取得最大、小值.例9、(98年)關(guān)于函數(shù)有以下命題：①的表達(dá)式可改寫為②是以為最小正周期的周期函數(shù)③的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱④的圖象關(guān)于直線對(duì)稱其中正確的命題序號(hào)是。①③〔3〕連線：用“五點(diǎn)作圖法〞作出y=Asin(x+)在長度為一個(gè)周期閉區(qū)間上的圖象(2)描點(diǎn)：〔1〕列表：0-A0A0y0x+xy(,0)(,A)(,0)(,-A)(,0)(1)由最大值點(diǎn)〔或最小值點(diǎn)〕定A(2)由兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)〔特殊點(diǎn)〕定和總結(jié)給出函數(shù)y=Asin(x+)(A>0,>0)的圖象求其解析式的一般方法：6、已知下圖是函數(shù)的圖象(1)求的值；(2)求函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程.Ox21–1–2y⑴〔2〕函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程為即設(shè)函數(shù)（1）求；（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）畫出函數(shù)在區(qū)間[0，π]上的圖象.圖象的一條對(duì)稱軸是直線例3

解析:〔1〕圖象的一條對(duì)稱軸,是Oyx〔2〕

函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為xyπo-11x∈[0,π]〔3〕5)函數(shù)(A>0,>0)的一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖，那么有()(A)(B)(C)(D)yx03-3yx02-2-4如圖：根據(jù)函數(shù)y=Asin(x+)(A>0,>0)圖象求它的解析式y(tǒng)x0-44如圖：根據(jù)函數(shù)y=Asin(x+)(A>0,>0)圖象求它的解析式y(tǒng)x02-2如圖：根據(jù)函數(shù)y=Asin(x+)(A>0,>0)圖象求它的解析式y(tǒng)x012如圖：根據(jù)函數(shù)y=2sin(x+)(>0)圖象求它的解析式y(tǒng)x012如圖：根據(jù)函數(shù)y=2sin(x+)(>0)圖象求它的解析式y(tǒng)x根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)尋找區(qū)間使其滿足：使符合條件的的角x有且只有一個(gè)，而且包括銳角．4.11三角函數(shù)值求角在閉區(qū)間上，符合條件的角x，叫做實(shí)數(shù)a的反正弦，記作，即，其中，且．的意義：首先表示一個(gè)角，角的正弦值為a，即．角的范圍是4.11三角函數(shù)值求角練習(xí)：（1）表示什么意思？表示上正弦值等于的那個(gè)角，即角，故（2）若，則x=

（3）若，則x=4.11三角函數(shù)值求角的意義：首先表示一個(gè)角，角的余弦值為a，即．角的范圍是．根據(jù)余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)尋找區(qū)間使其滿足：使符合條件的的角x有且只有一個(gè)，而且包括銳角．yx在閉區(qū)間上，符合條件的角x，叫做實(shí)數(shù)a的反余弦，記作，即，其中，且．4、三角函數(shù)值求角y=sinx,的反函數(shù)y=arcsinx,y=cosx,的反函數(shù)y=arccosx,y=tanx,的反函數(shù)y=arctanx,⑵角x()的三角函數(shù)值求x的步驟①先確定x是第幾象限角②假設(shè)x的三角函數(shù)值為正的，求出對(duì)應(yīng)的銳角；假設(shè)x的三角函數(shù)值為負(fù)的，求出與其絕對(duì)值對(duì)應(yīng)的銳角③根據(jù)x是第幾象限角，求出x假設(shè)x為第二象限角，即得x=；假設(shè)x為第三象限角，即得x=；假設(shè)x為第四象限角，即得x=④假設(shè)，那么在上面的根底上加上相應(yīng)函數(shù)的周期的整數(shù)倍。⑴反三角函數(shù)三角函數(shù)值求角三角函數(shù)值求角x〔僅限于[0，2π]〕的解題步驟：1、如果函數(shù)值為正數(shù)，那么求出對(duì)應(yīng)的銳角x0；如果函數(shù)值為負(fù)數(shù)，那么求出與其絕對(duì)值相對(duì)應(yīng)的銳角x0；2、由函數(shù)值的符號(hào)決定角x可能的象限角；3、根據(jù)角x的可能的象限角得出[0，2π]內(nèi)對(duì)應(yīng)的角：如果x是第二象限角，那么可以表示為π－x0如果x是第三象限角，那么可以表示為π＋x0如果x是第四象限角，那么可以表示為2π－x0說明:三角函數(shù)值求角，關(guān)鍵在于角所屬范圍，這點(diǎn)不容無視.(1)判斷角的象限；(2)求對(duì)應(yīng)銳角；如果函數(shù)值為正數(shù)，那么先求出對(duì)應(yīng)的銳角x1；如果函數(shù)值為負(fù)數(shù)，那么先求出與其絕對(duì)值對(duì)應(yīng)的銳角x1.(3)求出(0，2π)內(nèi)對(duì)應(yīng)的角；如果它是第二象限角，那么可表示為－x1＋π；如果它是第三或第四象限角，那么可表示為x1＋π或－x1＋2π.(4)求出一般解利用終邊一樣的角有一樣的三角函數(shù)值這一規(guī)律寫出結(jié)果.〔三〕三角函數(shù)值求角〞的根本步驟1、根本步驟2、表示角的一種方法——反三角函數(shù)法1、反正弦：這時(shí)sin(arcsina)=a

2、反余弦：這時(shí)cos(arccosa)=a

這時(shí)tan(arctana)=a

3、反正切：三、兩角和與差的三角函數(shù)1、預(yù)備知識(shí)：兩點(diǎn)間距離公式xyo●●2、兩角和與差的三角函數(shù)注：公式的逆用及變形的應(yīng)用公式變形3、倍角公式二、知識(shí)點(diǎn)〔一〕兩角和與差公式〔二〕倍角公式★公式=1-cos2α2cos2α=1+cos2α1+cos2α=2cos2α1-cos2α=2sin2αtanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ)注意1、公式的變形如：注意2、公式成立的條件〔使等式兩邊都有意義〕.Cα±β：Sα±β：C2α：S2α：T2α：Tα±β：3、倍角公式注：正弦與余弦的倍角公式的逆用實(shí)質(zhì)上就是降冪的過程。特別返回和角公式的一個(gè)重要變形其它公式(1)1、半角公式2、萬能公式十二、兩角和與差的正弦、余弦、正切：注意：、的變形式以及運(yùn)用和差公式時(shí)要會(huì)拼角如：要熟悉公式逆用！十三、一個(gè)化同角同函數(shù)名的常用方法：如：例7、求的值十四、二倍角公式：降冪（擴(kuò)角）公式升冪（縮角）公式和差化積公式：積化和差公式：例4．化簡：解法1：從“角〞入手，“復(fù)角〞化為“單角〞，利用“升冪公式〞。例4．化簡：解法2：從“冪〞入手，利用“降冪公式〞。例4．化簡：

解法3：從“名〞入手，“異名化同名〞。例4．化簡：解法4：從“形〞入手，利用“配方法〞。三角解題常規(guī)宏觀思路分析差異尋找聯(lián)系促進(jìn)轉(zhuǎn)化指角的、函數(shù)的、運(yùn)算的差異利用有關(guān)公式，建立差異間關(guān)系活用公式，差異轉(zhuǎn)化，矛盾統(tǒng)一微觀直覺1、以變角為主線，注意配湊和轉(zhuǎn)化；2、見切割，想化弦；個(gè)別情況弦化切；3、見和差，想化積；見乘積，化和差；4、見分式，想通分，使分母最簡；5、見平方想降冪，見“1±cosα〞想升冪；6、見sin2α，想拆成2sinαcosα；7、見sinα±cosα或9、見cosα·cosβ·cosθ····，先運(yùn)用sinα+sinβ=pcosα+cosβ=q8、見asinα+bcosα，想化為的形式假設(shè)不行，那么化和差10、見cosα+cos(α+β)+cos(α+2β)…，想乘

想兩邊平方或和差化積總結(jié)：多種名稱想切化弦；遇高次就降次消元；asinA+bcosA提系數(shù)轉(zhuǎn)換；多角湊和差倍半可算；難的問題隱含要顯現(xiàn)；任意變?cè)稍囂刂邓?；求值問題縮角是關(guān)鍵；字母問題討論想優(yōu)先；非特殊角問題想特角算；周期問題化三個(gè)一再算；適時(shí)聯(lián)想聯(lián)想是關(guān)鍵！【解題回憶】找出非特殊角和特殊角之間的關(guān)系,這種技巧在化簡求值中經(jīng)常用到，并且三角式變形有規(guī)律即堅(jiān)持“四化〞：多角同角化異名同名化切割弦化特值特角互化公式體系的推導(dǎo)：首先利用兩點(diǎn)間的距離公式推導(dǎo)，然后利用換元及等價(jià)轉(zhuǎn)化等思想方法，以為中心推導(dǎo)公式體系。sin2α+cos2α=1二【述評(píng)】1、變?yōu)橹骶€，抓好訓(xùn)練。變是本章的主題，在三角變換考察中，角的變換〔恒等〕、三角函數(shù)名的變換〔誘導(dǎo)公式〕、三角函數(shù)次數(shù)的變換〔升、降冪公式〕、三角函數(shù)表達(dá)式的變換〔綜合〕等比比皆是。在訓(xùn)練中，強(qiáng)化變化意識(shí)是關(guān)鍵。但題目不可以太難。較特殊技巧的題目不做。立足課本，掌握課本中常見問題的解法，把課本中的習(xí)題進(jìn)展歸類，并進(jìn)展分析比較，尋找解題規(guī)律。2、根本解題規(guī)律：觀察差異〔角或函數(shù)或運(yùn)算〕尋找聯(lián)系〔借助于熟知的公式、方法或技巧〕分析綜合〔由因?qū)Ч驁?zhí)果索因〕實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化。1、值域與最值問題①利用有界性②化二次函數(shù)型③運(yùn)用合一變換④換元十七、求值域問題：主要是將式子化成同角度同函數(shù)名的形式，再利用正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的有界性求解。例10、求函數(shù)的值域有時(shí)還要運(yùn)用到的關(guān)系2、對(duì)稱性問題3、奇偶性與周期性問題注意絕對(duì)值的影響化為單一三角函數(shù)4、單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間復(fù)后函數(shù)單調(diào)性注意負(fù)號(hào)的處理5、圖像變換問題①相位變換、周期變換、振幅變換②求函數(shù)解析式例4:已知函數(shù)求：⑴函數(shù)的最小正周期；⑵函數(shù)的單增區(qū)間；解：⑴⑵

應(yīng)用：化同一個(gè)角同一個(gè)函數(shù)例4:函數(shù)求：⑶函數(shù)的最大值及相應(yīng)的x的值；⑷函數(shù)的圖象可以由函數(shù)的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到。解：⑶⑷圖象向左平移個(gè)單位圖象向上平移2個(gè)單位

應(yīng)用：化同一個(gè)角同一個(gè)函數(shù)例5：解：應(yīng)用：化簡求值例1化簡：解:∵∴原式=練習(xí)題例2

(1)已知求證：(2)已知求(1)證明：∴∴化簡得：∴∵(2)已知求解:∵∴∵∴∵∴∴解：應(yīng)用：化簡求值例5.已知∵∴∴2、解:由兩邊平方得:①2由兩邊平方得:②2由①2+②2得:即所以由②2－①2得:練習(xí)已知求解:∵∴∵∴∴∴例15.（06陜西理17）已知函數(shù)f(x)＝sin(2x－)＋2sin2(x－)(x∈R)．（1）求函數(shù)f(x)的最小正周期；（2）求使函數(shù)f(x)取最大值的x的集合．解：f(x)＝sin(2x－)＋1－cos2(x－)＝sin(2x－)－cos(2x