2022-2023學(xué)年福建省福州第八中學(xué)高二年級上冊學(xué)期12月適應(yīng)性訓(xùn)練數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年福建省福州第八中學(xué)高二上學(xué)期12月適應(yīng)性訓(xùn)練數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若直線與直線垂直，則實數(shù)的值為（

）A．1或3 B．1或3 C．1或3 D．1或3【答案】A【分析】利用兩線垂直的判定有，求解即可得的值.【詳解】由題設(shè)，，即，解得或.當時，直線分別為、，符合題設(shè)；當時，直線分別為、，符合題設(shè).故選：A2．方程表示圓，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)圓的一般方程所需滿足的條件得到不等式，解之即可求出結(jié)果.【詳解】由，得，即，解得.故選：B.3．空間四邊形中，，，，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)空間向量的線性運算解決即可.【詳解】由題知，空間四邊形中，，，，且，，如圖，所以，所以，故選：D4．若拋物線的焦點與雙曲線的一個焦點重合，則此雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】先由拋物線方程得出其焦點坐標，再由雙曲線的一個焦點與拋物線的焦點重合，列出方程求出，進而可得雙曲線的漸近線方程.【詳解】因為拋物線的焦點坐標為，又拋物線的焦點與雙曲線的一個焦點重合，所以，則，所以雙曲線的漸近線方程為.故選：C.5．設(shè)數(shù)列前項和為，已知，，則（

）A．1010 B．1012 C．2020 D．2022【答案】A【分析】根據(jù)遞推公式歸納總結(jié)得到的周期，再求結(jié)果即可.【詳解】根據(jù)題意，，故數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，又，故.故選：A.6．已知是周期為2的奇函數(shù)，當時，設(shè)，（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由周期性和奇偶性將a，b，c轉(zhuǎn)換為自變量在判斷.【詳解】已知是周期為2的奇函數(shù)，當時，，，，單調(diào)遞增，，∴.故選：D.【點睛】本題考查周期性、奇偶性、單調(diào)性的綜合應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.7．設(shè)公差的等差數(shù)列的前項和為，已知，且，，成等比數(shù)列，則的最小值為（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】應(yīng)用等比中項的性質(zhì)及等差數(shù)列通項公式求公差d，進而寫出等差數(shù)列的通項公式、前n項和公式，再求的最小值.【詳解】由題設(shè)，，則，整理得，又，解得，故，，所以，因為，所以，所以，故當時有最小值為.故選：B.8．已知雙曲線（，）的左、右頂點分別為，，點在直線上運動，若的最大值為，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)兩角差的正切公式，結(jié)合基本不等式求最值，即可得，進而可求離心率.【詳解】設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為，，，，則．依題意不妨設(shè)點在第一象限，坐標為，則，，所以．因為，所以，當且僅當時等號成立，則．因為的最大值為，所以，即，則，所以，故，故選:A．二、多選題9．下列說法錯誤的是（

）A．若直線與互相平行，則或B．直線必過定點C．直線在軸上的截距為D．經(jīng)過點且在軸和軸上截距都相等的直線方程為【答案】AD【分析】A選項，根據(jù)兩直線平行，列出方程與不等式，求出；B選項，將直線方程變形后得到所過定點；C選項，令，求出在軸上的截距；D選項，分截距為0和不為0，兩種情況，求出直線方程.【詳解】A選項，由題意得，解得：，A說法錯誤；B選項，直線變形為，必過定點，B說法正確；C選項，令中，解得：，故直線在軸上的截距為-2，C說法正確；當直線在軸和軸上截距都為0時，設(shè)直線方程為，將代入，，所以，當直線在軸和軸上截距不為0時，設(shè)方程為，代入，解得：，故此時直線方程為，綜上：經(jīng)過點且在軸和軸上截距都相等的直線方程為或，D說法錯誤.故選：AD10．已知圓和圓的交點為A，B，則（

）.A．兩圓的圓心距B．直線AB的方程為C．圓上存在兩點P和Q使得D．圓上的點到直線AB的最大距離為【答案】BD【分析】由圓的一般方程，采用配方法，整理標準方程，可得圓的圓心坐標和半徑，根據(jù)兩點距離公式，公共弦求解方法（一般方程作差），圓的性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系，逐一驗證，可得答案.【詳解】由圓和圓，可得圓和圓，則圓的圓心坐標為和半徑為，圓的圓心坐標和半徑，對于A，因為兩個圓相交，所以兩圓的圓心距，故A錯誤；對于B，將兩圓方程作差可得，即得公共弦AB的方程為，故B正確；對于C，直線AB經(jīng)過圓的圓心坐標，所以線段AB是圓的直徑，故圓中不存在比AB長的弦，故C錯誤；對于D，圓的圓心坐標為，半徑為2，圓心到直線AB：的距離為，所以圓上的點到直線AB的最大距離為，故D正確．故選：BD11．設(shè)拋物線：（）的焦點為，準線為，A為上一點，以為圓心，為半徑的圓交于，兩點．若，且的面積為，則（

）A．是等邊三角形 B．C．點到準線的距離為3 D．拋物線的方程為【答案】ACD【分析】利用圓的幾何性質(zhì)結(jié)合拋物線定義可推出為等邊三角形，判斷A；確定的邊長，根據(jù)其面積求得p，即可判斷BCD.【詳解】根據(jù)題意作圖，如圖所示:因為以為圓心，為半徑的圓交于，兩點，所以，又，故，A在拋物線上，所以，所以為等邊三角形，故A正確；因為，則軸，過作于點，則點為的中點，點的橫坐標為，點的橫坐標為，所以點A的橫坐標為，則，所以，解得，則，故B錯誤；焦點到準線的距離為，故C正確；拋物線的方程為，故D正確．故選：ACD．12．如圖，在棱長為2的正方體中，點在線段上運動，則下列說法正確的是（

）A．平面B．幾何體的外接球半徑C．三棱錐的體積為定值D．異面直線與所成角的正弦值的取值范圍為【答案】ACD【分析】利用面面平行的性質(zhì)定理即可判斷A；由幾何體的外接球與正方體外接球相同可知半徑，所以B錯誤；三棱錐的體積與三棱錐體積相等，顯然為定值故C正確；異面直線與所成的角與與所成的角相等，根據(jù)正切值的變化規(guī)律計算可得D正確.【詳解】對于A，由正方體性質(zhì)可得，平面，平面所以平面；同理可得平面，而，且平面由面面平行的判定定理可知，平面平面；又點在線段上運動，所以平面；即可得平面，故A正確；對于B，由幾何體的性質(zhì)可得，其外接球與正方體的外接球相同，所以半徑，即B錯誤;對于C，根據(jù)等體積法可知，三棱錐的體積與三棱錐的體積相等，由于平面，所以點到平面的距離為定值，而且底面的面積為定值，所以三棱錐的體積為定值；即C正確；對于D，如下圖所示：由于，則直線與所成的角即為直線與所成的角，即，易知平面，平面，所以所以，而因此的正弦值的最小值為，最大值為所以，異面直線與所成角的正弦值的取值范圍為，即D正確；故選：ACD.三、填空題13．已知，，若，則的模為___________．【答案】【分析】根據(jù)兩個向量垂直，則數(shù)量積為0，即可得到的值，然后根據(jù)向量模長公式即可得到結(jié)果.【詳解】因為，則，即所以，則故答案為:14．已知圓的圓心在直線上，且圓與軸的交點分別為，，則圓的標準方程為______.【答案】【分析】由圓的弦長與圓心的性質(zhì)可求圓心縱坐標，進而得到橫坐標，結(jié)合兩點距離公式可求半徑.【詳解】可設(shè)圓心為，因為圓與軸的交點分別為，，故圓心的縱坐標為，因為圓的圓心在直線上，故，故圓心為，由兩點距離公式可得，故圓的標準方程為：.故答案為：15．在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，則的最大值是__．【答案】【分析】根據(jù)題意，將變形可得，又由基本不等式的性質(zhì)可得，計算可得答案.【詳解】根據(jù)題意，在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，即，∴，當且僅當，即公比為1時等號成立，故的最大值是.故答案為：.16．阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德并稱為亞歷山大時期數(shù)學(xué)三巨匠，他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知動點與兩定點、的距離之比，那么點的軌跡就是阿波羅尼斯圓.已知動點的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為，定點為軸上一點，且，若點，則的最小值為______.【答案】【分析】根據(jù)點的軌跡方程可得，結(jié)合條件可得，結(jié)合圖象，即可求得.【詳解】設(shè)，，所以，又，所以．因為且，所以，整理可得，又動點M的軌跡是，所以，解得，所以，又，所以，當且僅當三點共線時，等號成立，因為，所以直線方程為：即，圓心到直線距離，即直線與圓相交.（如圖中的點均滿足）又因為，所以的最小值為．故答案為：.四、解答題17．如圖，△ABC中，BC邊上的高所在直線的方程為x-2y+1=0，∠BAC的平分線所在直線的方程為y=0，若點B的坐標為(1，2)，求點A和點C的坐標.【答案】A(-1，0)，C(5，-6).【分析】根據(jù)BC邊上的高和∠BAC的平分線交于點A，聯(lián)立即可得解，再根據(jù)題意求得直線AC所在直線和BC所在直線的方程聯(lián)立即可求得C的坐標.【詳解】由方程組得頂點A(-1，0)，則邊AB所在直線的斜率kAB==1.∵∠BAC的平分線所在直線的方程為y=0，∴直線AC的斜率為-1，AC所在直線的方程為y=-(x+1).∵BC邊上的高所在直線的方程為x-2y+1=0，∴kBC=-2.又點B的坐標為(1，2)，∴BC所在直線的方程為y=-2(x-1)+2.由得C(5，-6).綜上，A(-1，0)，C(5，-6).18．已知數(shù)列的前項和為，且滿足，.(1)求，的值，并求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)；；(2).【分析】（1）由與的關(guān)系化簡得遞推關(guān)系，再由構(gòu)造法求通項公式即可；（2）化簡，由裂項相消法求和即可.【詳解】（1），.當時，，故，故，故為首項為，公比為2的等比數(shù)列，則，當時，符合上式，故的通項公式為；（2），故，故.19．在中，角，，所對的邊分別為，，，，．（1）求外接圓的面積；（2）若邊上的中線長為，求的周長．【答案】（1）；（2）9.【解析】(1)由正弦定理可求出，結(jié)合余弦定理可求出，進而可求出三角形外接圓的半徑，從而可求出外接圓的面積.(2)設(shè)的中點為，則，結(jié)合向量加法可得，結(jié)合余弦定理可求出，.【詳解】解：（1）因為，又，即，所以，由，得，設(shè)外接圓的半徑為則，所以外接圓的面積為．（2）設(shè)的中點為，則．因為，所以，即，又，，則，整理得，解得或（舍去），則．所以的周長為9．【點睛】關(guān)鍵點睛：本題第二問的關(guān)鍵是結(jié)合向量加法運算，用向量表示中線所在的向量.20．已知雙曲線的離心率，且點在上.(1)求的方程；(2)已知過點的直線交雙曲線于，兩點，問：是否存在以為直徑的圓過坐標原點，若存在求直線的方程，若不存在說明理由.【答案】(1)(2)不存在，理由見詳解【分析】(1)根據(jù)雙曲線的離心率可得：，然后再利用曲線過點即可求解；(2)易知：直線的斜率不存在時，不存在，當直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立直線與曲線方程，消元列出韋達定理，依題意要存在，則有，此方程無解，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）因為雙曲線的離心率，所以，則，，所以雙曲線可化為，又雙曲線過點，所以，則，故雙曲線的方程為：.（2）不存在，理由如下：若直線的斜率不存在，則直線的方程為，是以和為端點的線段，則不存在以為直徑的圓過坐標原點；若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立方程組，整理可得：，所以即，則，，，所以，若存在以為直徑的圓過坐標原點，則，即，所以，解得：不存在，綜上，不存在這樣的直線，使得以為直徑的圓過坐標原點.21．已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點，D為棱上的點．（1）證明：；（2）當為何值時，面與面所成的二面角的正弦值最小?【答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）方法二：通過已知條件，確定三條互相垂直的直線，建立合適的空間直角坐標系，借助空間向量證明線線垂直；（2）方法一：建立空間直角坐標系，利用空間向量求出二面角的平面角的余弦值最大，進而可以確定出答案；【詳解】（1）[方法一]：幾何法因為，所以．又因為，，所以平面．又因為，構(gòu)造正方體，如圖所示，過E作的平行線分別與交于其中點，連接，因為E，F(xiàn)分別為和的中點，所以是BC的中點，易證，則．又因為，所以．又因為，所以平面．又因為平面，所以．[方法二]【最優(yōu)解】：向量法因為三棱柱是直三棱柱，底面，，，，又，平面．所以兩兩垂直．以為坐標原點，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系，如圖．，．由題設(shè)（）．因為，所以，所以．[方法三]：因為，，所以，故，，所以，所以．（2）[方法一]【最優(yōu)解】：向量法設(shè)平面的法向量為，因為，所以，即．令，則因為平面的法向量為，設(shè)平面與平面的二面角的平面角為，則．當時，取最小值為，此時取最大值為．所以，此時．[方法二]：幾何法如圖所示，延長交的延長線于點S，聯(lián)結(jié)交于點T，則平面平面．作，垂足為H，因為平面，聯(lián)結(jié)，則為平面與平面所成二面角的平面角．設(shè)，過作交于點G．由得．又，即，所以．又，即，所以．所以．則，所以，當時，．[方法三]：投影法如圖，聯(lián)結(jié)，在平面的投影為，記面與面所成的二面角的平面角為，則．設(shè)，在中，．在中，，過D作的平行線交于點Q．在中，．在中，由余弦定理得，，，，，當，即，面與面所成的二面角的正弦值最小，最小值為．【整體點評】第一問，方法一為常規(guī)方法，不過這道題常規(guī)方法較為復(fù)雜，方法二建立合適的空間直角坐標系，借助空間向量求解是最簡單，也是最優(yōu)解；方法三利用空間向量加減法則及數(shù)量積的定義運算進行證明不常用，不過這道題用這種方法過程也很簡單，可以開拓學(xué)生的思維.第二問：方法一建立空間直角坐標系，利用空間向量求出二面角的平面角是最常規(guī)的方法，也是最優(yōu)方法；方法二：利用空間