直線與圓錐曲線的位置關(guān)系(一)

直線與圓錐曲線的位置關(guān)系（1）直線與圓錐曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)的判定方法；弦長(zhǎng)公式；一、直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判定設(shè)直線L的方程為：y=kx+m,圓錐曲線的方程為f(x,y)=0,(b2+a2k2)x2+2kma2x+a2(m2-b2)=0(b2-a2k2)x2-2kma2x+a2(m2+b2)=0K2x2+(2mk-2p)x+2m2=0二次項(xiàng)系數(shù)不可能為0二次項(xiàng)系數(shù)為0時(shí)，L與雙曲線的漸近線平行或重合。二次項(xiàng)系數(shù)為0時(shí)，L與拋物線的對(duì)稱軸平行或重合。2、當(dāng)二次系數(shù)不為0時(shí)，△=b2-4ac(1)當(dāng)△>0時(shí)，直線與圓錐曲線相交；(2)當(dāng)△=0時(shí)，直線與圓錐曲線相切；(3)當(dāng)△<0時(shí)，直線與圓錐曲線相離；注意：(1)直線與雙曲線（或拋物線）有一個(gè)公共點(diǎn)，是直線與雙曲線（或拋物線）相切的必要條件；（2）對(duì)于橢圓、圓來(lái)說(shuō)，直線與其有一個(gè)公共點(diǎn)是相切的充要條件。二、弦長(zhǎng)公式設(shè)直線y=kx+b與圓錐曲線相交于A(x1，y1),B(x2，y2),解：雙曲線焦點(diǎn)為F（5，0），故AB方程為y=x-5,代入雙曲線方程消去y得：處理圓錐曲線的有關(guān)問(wèn)題要注意設(shè)法減少運(yùn)算量，本題所求橢圓焦點(diǎn)未定，可能在x軸上，也可能在y軸上，本題解法運(yùn)用待定系數(shù)法，避免了兩種情況的討論；另外，本題解法中對(duì)交點(diǎn)采取“設(shè)而不求”的方法，靈活運(yùn)用韋達(dá)定理，從而簡(jiǎn)化了運(yùn)算過(guò)程，以上是處理此類問(wèn)題的常用技巧，應(yīng)很好地體會(huì)。解：將y=ax+1代入3x2-y2=1又設(shè)方程的兩根為x1,x2，A(x1,y1),B(x2,y2),得(3-a2)x2-2ax-2=0,它有兩個(gè)實(shí)根，必須△>0,∵原點(diǎn)O（0，0）在以AB為直徑的圓上，∴OA⊥OB，即x1x2+y1y2=0,即x1x2+(ax1+1)(ax2+1)=0,∴(a2+1)x1x2+a(x1+x2)+1=0,解得a=±1.例4、直線y-ax-1=0和曲線3x2-y2=1相交，交點(diǎn)為A、B，當(dāng)a為何值時(shí)，以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)。方程組無(wú)解，故滿足條件的L不存在。一、對(duì)于橢圓、拋物線而言:若點(diǎn)P在其內(nèi)部，則以P為中點(diǎn)的弦一定存在；若P在其外部或曲線上，則以P為中點(diǎn)的弦一這不存在二、對(duì)于雙曲線而言:當(dāng)點(diǎn)P落在雙曲線與其漸近線所夾區(qū)域；在雙曲線上；在其漸近線（中心除外）上時(shí)，以點(diǎn)