斷裂力學(xué)-課件

第一篇線(xiàn)彈性斷裂力學(xué)第一章理論強(qiáng)度與實(shí)際強(qiáng)度

如圖1-1所示，為晶體中兩個(gè)相鄰原子的作用力曲線(xiàn)。兩原子受靜電吸引力的作用。

o，A：為兩相鄰原子的中心；

a0：為晶格常數(shù)，亦為無(wú)外力作用時(shí)兩原子的平衡距離；圖1-1雙原子作用力模型1完美（無(wú)缺陷）材料的理論強(qiáng)度。——基于固體物理學(xué)

有幾種推算晶體材料理論強(qiáng)度的方法，其中以雙原子作用力模型應(yīng)用得較為普遍。σmax

可看出，要使材料斷裂，或要使兩原子發(fā)生分離，其外力需達(dá)到吸引力的最大值σmax才有可能。下面計(jì)算σmax之值。圖1-2晶體中應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系x

設(shè)原子間作用力(吸引力)隨原子距離變化按正弦曲線(xiàn)變化(如圖1-2)，其周期為λ，A點(diǎn)即為圖1-1中A原子的中心位置。外加應(yīng)力σ與兩原子間距離的增加值x的關(guān)系可用下式表示：

在正應(yīng)力作用下材料只發(fā)生彈性變形和斷裂，設(shè)在斷裂前的彈性變形范圍內(nèi)虎克定律仍然適用，則(1-1)

當(dāng)x很小時(shí),sinx≈x，則(1-2)(1-3)由(1-2)和(1-3)可得：即：

該能量應(yīng)等于兩個(gè)新的斷面的表面能，設(shè)γ為單位面積的表面能，則有求解λ：其應(yīng)變能密度為：(1-4)(1-5)該式表明，完整晶體的理論斷裂強(qiáng)度與材料的晶格常數(shù)a0，彈性模量Ｅ及表面能密度γ有關(guān)。(1-6)將(1-6)帶入(1-4)，得：(1-7)結(jié)論1具有裂紋的彈性體受力以后，在裂紋尖端區(qū)域?qū)a(chǎn)生應(yīng)力集中現(xiàn)象。但是應(yīng)力集中是局部性的，離開(kāi)裂紋尖端稍遠(yuǎn)處，應(yīng)力分布又趨于正常。在裂紋尖端區(qū)域應(yīng)力集中的程度與裂紋尖端的曲率半徑有關(guān)。這種應(yīng)力集中必然導(dǎo)致材料的實(shí)際斷裂強(qiáng)度遠(yuǎn)低于該材料的理論斷裂強(qiáng)度。

２有缺陷材料的實(shí)際強(qiáng)度——彈力方法圖1-３應(yīng)力流線(xiàn)圖(a)無(wú)裂紋板受拉(b)含裂紋板受拉例如圖1-4所示“無(wú)限大”薄平板，承受單向均勻拉應(yīng)力作用，板中存在貫穿的橢圓形切口，其長(zhǎng)軸為2a，短軸為2b，這個(gè)問(wèn)題在彈性力學(xué)中作過(guò)詳細(xì)討論，最大拉應(yīng)力發(fā)生在橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)Ａ處，其值為圖1-4含橢圓切口受拉伸無(wú)限大板(1-8)該點(diǎn)處的曲率半徑故上式可寫(xiě)成(1-9)由固體物理學(xué)可知，固體材料的理論斷裂強(qiáng)度值為式中：Ｅ：材料彈性模量；

γ：固體材料的表面能密度；

a０：固體材料的原子間距。(1-7)

按照傳統(tǒng)的強(qiáng)度觀點(diǎn)，當(dāng)切口端點(diǎn)處的最大應(yīng)力達(dá)到材料理論強(qiáng)度時(shí)，材料斷裂，即(1-9)中(σy)max達(dá)到σtheory時(shí)(1-10)完整晶體理論強(qiáng)度

疑問(wèn)：當(dāng)ρ→0時(shí)，σc→0

？

(1-11)

這就從應(yīng)力集中觀點(diǎn)解釋了固體材料的實(shí)際斷裂強(qiáng)度遠(yuǎn)較理論強(qiáng)度為低這一客觀事實(shí)。因?yàn)楣腆w材料中難免存在裂紋(缺陷)。結(jié)論2解答：當(dāng)固體材料中的缺陷是尖裂紋缺陷時(shí)，裂紋尖端的曲率半徑就要用原子間距a0來(lái)代替，于是式(1-10)可寫(xiě)為

從式(1-11)可見(jiàn)，當(dāng)應(yīng)力達(dá)到σc值時(shí)，裂紋開(kāi)裂，而使裂紋長(zhǎng)度2a增加，這樣又將使σc值降低，則裂紋繼續(xù)擴(kuò)展，最后導(dǎo)致整個(gè)固體材料斷裂，所以它是裂紋失穩(wěn)擴(kuò)展的條件。(1-11)結(jié)論2

從玻璃工業(yè)的實(shí)際經(jīng)驗(yàn)中，

Griffith認(rèn)識(shí)到微小裂紋對(duì)玻璃強(qiáng)度有很大的影響，并從中得到啟發(fā)，材料的實(shí)際強(qiáng)度比理論強(qiáng)度低得多的原因可能是由于材料中微裂紋的存在。1920年，Griffith提出：

3有缺陷材料的實(shí)際強(qiáng)度——斷力方法

①

脆性材料中存在微裂紋，在外力作用下裂紋尖端引起的應(yīng)力集中會(huì)大大地降低材料的斷裂強(qiáng)度；②對(duì)應(yīng)于一定尺寸的裂紋a有一臨界應(yīng)力值σc

，當(dāng)外加應(yīng)力大于σc時(shí)，裂紋便迅速擴(kuò)展而導(dǎo)致材料斷裂；③裂紋擴(kuò)展的條件是裂紋擴(kuò)展所需要的表面能由系統(tǒng)所釋放的彈性應(yīng)變能所提供。Griffith分析了物體中存在的裂紋長(zhǎng)度對(duì)開(kāi)裂應(yīng)力的影響并首次得出了脆性材料中的這種定量關(guān)系。下面討論Griffith的分析方法。

設(shè)有一相當(dāng)大的板狀試樣，單位厚度(B＝1)，上下端施加均布載荷σ，達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)后把上下端固定起來(lái)，構(gòu)成能量的封閉體系(如圖1-5(a))，此時(shí)板中儲(chǔ)存的初始彈性應(yīng)變能為U0圖1-5Griffith平板(a)開(kāi)裂紋前狀態(tài)(b)開(kāi)裂紋后狀態(tài)U0U0-U1

設(shè)想在板上割開(kāi)一個(gè)垂直于拉伸方向的穿透裂紋，長(zhǎng)度為2a，如圖1-5(b)所示。出現(xiàn)裂紋以后，裂紋的上下表面不再有應(yīng)力，所以靠近裂紋表面區(qū)域的壓力、應(yīng)變被松弛，系統(tǒng)將釋放出部分能量。Griffith從整個(gè)試樣的應(yīng)力和應(yīng)變分布計(jì)算了其釋放的能量為：(1-12)（平面應(yīng)變）（平面應(yīng)力）

割開(kāi)長(zhǎng)度為2a的裂紋以后，形成了裂紋表面，從而增加了表面能，設(shè)γ為單位面積的表面能，則新增加的表面能為：(1-13)

所以系統(tǒng)內(nèi)能是裂紋長(zhǎng)度與外加應(yīng)力的函數(shù)。下面考察系統(tǒng)內(nèi)能與裂紋長(zhǎng)度或外加應(yīng)力之間的關(guān)系?？倓?shì)能為極大值的條件為：(1-14)(1-15)

則：

當(dāng)給定開(kāi)裂應(yīng)力時(shí)，臨界裂紋長(zhǎng)度為：(1-17)

當(dāng)給定裂紋長(zhǎng)度時(shí)，臨界應(yīng)力為：(1-16)

式(1-15)表明，當(dāng)裂紋擴(kuò)展單位面積，系統(tǒng)釋放的應(yīng)變能恰好等于形成其自由表面所需之表面能時(shí)，裂紋就處于不穩(wěn)定的平衡狀態(tài)；裂紋擴(kuò)展單位面積，系統(tǒng)釋放的應(yīng)變能大于形成其自由表面所需之表面能時(shí)，裂紋就會(huì)失穩(wěn)擴(kuò)展而斷裂

比較(1-10)和(1-16)有：結(jié)論3(1-18)則，有：這就是說(shuō)，當(dāng)裂紋尖端的曲率半徑滿(mǎn)足：時(shí)，式(1-10)與式(1-16)近似相當(dāng)。一般把滿(mǎn)足式(1-19)條件的裂紋，稱(chēng)為Griffith裂紋。由此可見(jiàn)，Griffith理論對(duì)于裂紋尖端的尖銳度是有嚴(yán)格限制的。必須注意，Griffith所研究的僅限于材料是理想脆性的情況。實(shí)際上絕大多數(shù)金屬材料在斷裂前和斷裂過(guò)程中裂紋尖端都存在塑性區(qū)，裂尖也因塑性變形而鈍化，此時(shí)Griffith理論失效，這也就是Griffith理論長(zhǎng)期得不到重視和發(fā)展的原因。(1-19)總結(jié)—斷裂應(yīng)力E—彈性模量γ—單位面積表面能α—