《正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)》

1.4.2正弦函數(shù)余弦函數(shù)的性質(zhì)正、余弦函數(shù)圖像特征：---11--1在函數(shù)的圖象上，起關(guān)鍵作用的點(diǎn)有：最高點(diǎn)：最低點(diǎn)：與x軸的交點(diǎn)：注意：函數(shù)圖像的凹凸性！知識(shí)回顧:----11--1在函數(shù)的圖象上，起關(guān)鍵作用的點(diǎn)有：最高點(diǎn)：最低點(diǎn)：與x軸的交點(diǎn)：注意：函數(shù)圖像的凹凸性！余弦函數(shù)圖像特征：x6yo--12345-2-3-41y=sinx(xR)

x6o--12345-2-3-41yy=cosx(xR)

一、正弦、余弦函數(shù)的周期性一、周期函數(shù)的概念

思考1：觀察上圖,正弦曲線每相隔

個(gè)單位重復(fù)出現(xiàn)..y-1xO1π2π3π4π5π6π-2π-3π-4π-5π-6π-πy=sinx2π誘導(dǎo)公式其理論依據(jù)是什么？當(dāng)自變量x的值增加2π的整數(shù)倍時(shí)，函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn).數(shù)學(xué)上，用周期性這個(gè)概念來定量地刻畫這種“周而復(fù)始”的變化規(guī)律思考2：設(shè)f(x)=sinx，則可以怎樣表示？

f(x+2kπ)=f(x)這就是說：當(dāng)自變量x的值增加到x+2kπ時(shí)，函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn).

為了突出函數(shù)的這個(gè)特性，我們把函數(shù)f(x)=sinx稱為周期函數(shù)，2kπ為這個(gè)函數(shù)的周期

(其中k∈z且k≠0).思考3：把函數(shù)f(x)=sinx稱為周期函數(shù).那么，一般地，如何定義周期函數(shù)呢？【周期函數(shù)的定義】對(duì)于函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有f(x+T)=f(x)

那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T就叫做這個(gè)函數(shù)的周期.

思考4：周期函數(shù)的周期是否唯一？正弦函數(shù)y=sinx的周期有哪些？答：周期函數(shù)的周期不止一個(gè).±2π，±4π，±6π，…都是正弦函數(shù)的周期，事實(shí)上，任何一個(gè)常數(shù)2kπ(k∈z且k≠0)都是它的周期.【周期函數(shù)的定義】對(duì)于函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有f(x+T)=f(x)

那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T就叫做這個(gè)函數(shù)的周期.

【最小正周期】

如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù),則這個(gè)最小正數(shù)叫做f(x)的最小正周期.今后本書中所涉及到的周期，如果不加特別說明，一般都是指函數(shù)的最小正周期.思考5：周期函數(shù)是否一定存在最小正周期？例如：f(x)=c(c為常數(shù)）否【周期函數(shù)的定義】對(duì)于函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有f(x+T)=f(x)那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T就叫做這個(gè)函數(shù)的周期.

【最小正周期】如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù),則這個(gè)最小正數(shù)叫做f(x)的最小正周期.答：正弦函數(shù)y=sinx有最小正周期，且最小正周期T=2π思考6：我們知道±2π，±4π，±6π，…都是y=sinx的周期,那么函數(shù)y=sinx有最小正周期嗎？若有，那么最小正周期T等于多少？

正弦函數(shù)y=sinx是周期函數(shù)，2kπ（k∈Z且

k≠0）都是它的周期，最小正周期T=2π．余弦函數(shù)y=cosx是周期函數(shù)，2kπ（k∈Z且

k≠0）都是周期，最小正周期T=2π．思考7：就周期性而言，對(duì)正弦函數(shù)有什么結(jié)論？對(duì)余弦函數(shù)呢？y-1xO1π2π3π4π5π6π-2π-3π-4π-5π-6π-πy=sinxxyO1-1y=cosx例1求下列函數(shù)的周期：⑴y=3cosx,x∈R;⑵y=sin2x,x∈R;⑶y=2sin(-),x∈R;

∴

3cos(x+2π)=∴由周期函數(shù)的定義可知，原函數(shù)的周期為2π【解】⑴∵y=cosx的同期為2π3cosx⑵y=sin2x,x∈R;

∵sin2(x+π)=

∴由周期函數(shù)的定義可知，原函數(shù)的周期為πsin2xsin(2x+2π)=解：⑶y=2sin(-),x∈R;

∴由周期函數(shù)的定義可知，原函數(shù)的周期為4π解：

由上例知函數(shù)y=3cosx的周期T=2π；函數(shù)y=sin2x的周期T=π；函數(shù)y=2sin(-)的周期T=4π想一想：以上這些函數(shù)的周期與解析式中哪些量有關(guān)嗎？

若則歸納總結(jié)一般地，函數(shù)及（其中為常數(shù)，且）的周期是練習(xí).求下列函數(shù)的周期：二.奇偶性為奇函數(shù)為偶函數(shù)三.定義域和值域正弦函數(shù)定義域：R值域：[-1，1]余弦函數(shù)定義域：R值域：[-1，1]探究：正弦函數(shù)的最大值和最小值最大值：當(dāng)時(shí)，有最大值最小值：當(dāng)時(shí)，有最小值四.最值探究：余弦函數(shù)的最大值和最小值最大值：當(dāng)時(shí)，有最大值最小值：當(dāng)時(shí)，有最小值x6o--12345-2-3-41y當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)四、正弦、余弦函數(shù)的最值x6yo--12345-2-3-41五、正弦函數(shù)的單調(diào)性

y=sinx(xR)增區(qū)間為[，]

其值從-1增至1xyo--1234-2-31

x

sinx

…0………-1010-1減區(qū)間為[，]

其值從1減至-1？？？[

+2k,

+2k],kZ[

+2k,

+2k],kZ五、余弦函數(shù)的單調(diào)性

y=cosx(xR)xcosx-

……0…

…-1010-1減區(qū)間為，

其值從1減至-1[2k,

2k+],kZyxo--1234-2-31增區(qū)間為其值從-1增至1[+2k,

2k],kZ六、正弦、余弦函數(shù)的對(duì)稱性x6yo--12345-2-3-41x6o--12345-2-3-41yy=sinx的圖象對(duì)稱軸為：y=sinx的圖象對(duì)稱中心為：y=cosx的圖象對(duì)稱軸為：y=cosx的圖象對(duì)稱中心為：

任意兩相鄰對(duì)稱軸(或?qū)ΨQ中心)的間距為半個(gè)周期；對(duì)稱軸與其相鄰的對(duì)稱中心的間距為四分之一個(gè)周期.函數(shù)y=sinxy=cosx圖形定義域值域最值單調(diào)性奇偶性周期對(duì)稱性1-1時(shí)，時(shí)，時(shí)，時(shí)，增函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)1-1對(duì)稱軸：對(duì)稱中心：對(duì)稱軸：對(duì)稱中心：奇函數(shù)偶函數(shù)例1.下列函數(shù)有最大、最小值嗎？如果有，請(qǐng)寫出取最大、最小值時(shí)的自變量x的集合，并說出最大、最小值分別是什么.解：這兩個(gè)函數(shù)都有最大值、最小值.（1）使函數(shù)取得最大值的x的集合，就是使函數(shù)取得最大值的x的集合

使函數(shù)取得最小值的x的集合，就是使函數(shù)取得最小值的x的集合

函數(shù)的最大值是1+1=2；最小值是-1+1=0.例2.求下列函數(shù)的定義域和值域。定義域值域[0,1][2,4][0,2]練習(xí)：求下列函數(shù)的定義域、值域解(1)：定義域：R.值域：[-1,1].∴值域?yàn)榻猓?）：∵-3sinx≥0∴sinx≤0∴定義域?yàn)閧x|π+2kπ≤x≤2π+2kπ,k∈Z}又∵-1≤sinx≤0∴0≤-3sinx≤3

例3比較下列各組數(shù)的大小:學(xué)以致用學(xué)以致用變式：求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間解：

解：定義域

y=(tan)sin2x單調(diào)減區(qū)間為單調(diào)增區(qū)間為當(dāng)即為減區(qū)間。當(dāng)即為增區(qū)間。例5.求函數(shù)的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心解（1）令則的對(duì)稱軸為解得：對(duì)稱軸為的對(duì)稱中心為對(duì)稱中心為C該函數(shù)的對(duì)稱中心為.（）例6求下列函數(shù)的最值轉(zhuǎn)化換元法練習(xí)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)

習(xí)題課練習(xí)6

3ππ/2一、基礎(chǔ)題型A．奇函數(shù) B．偶函數(shù)C．非奇非偶函數(shù) D．以上都不對(duì)[答案]

B3．函數(shù)y＝sin(2x＋φ)為偶函數(shù)，0≤φ<2π，則φ的值為

.4．函數(shù)y＝2cos3x的單調(diào)增區(qū)間為

.(2)①若a>0，當(dāng)cosx＝1，即x＝2kπ(k∈Z)時(shí)，y取最大值為a＋b；當(dāng)cosx＝－1，即x＝2kπ＋π(k∈Z)時(shí)，y取最小值為－a＋b.②若a<0，當(dāng)cosx＝1，即x＝2kπ(k∈Z)時(shí)，ymin＝a＋b；當(dāng)cosx＝－1，即x＝2kπ＋π(k∈Z)時(shí)，ymax＝－a＋b.[分析]

根據(jù)函數(shù)奇偶性定義進(jìn)行判斷，先檢查定義域是否關(guān)于原點(diǎn)為對(duì)稱區(qū)間，如果是，再驗(yàn)證f(－x)是否等于－f(x)或f(x)，進(jìn)而判斷函數(shù)的奇偶性；如果不是，則該函數(shù)必為非奇非偶函數(shù)．6．y＝2sinx2的值域是(

)A．[－2,2] B．[0,2]C．[－2,0] D．R[答案]

A[解析]

∵x2≥0，∴sinx2∈[－1,1]，∴y＝2si