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第三章線性方程組高斯消元法線性方程組的相容性定理N維向量及向量組的線性相關性向量組的秩向量空間線性方程組解的結構

本章利用矩陣的初等變換和矩陣的秩來研究齊次線性方程組有非零解的充分必要條件和非齊次線性方程組有解的充分必要條件，并介紹用初等變換解線性方程組的方法．內(nèi)容豐富，難度較大.本章以矩陣為工具來討論一般線性方程組.即含有n個未知數(shù),m個方程的方程組的解的情況,并回答以下三個問題:如何判定線性方程組是否有解?在有解的情況下,解是否唯一?在解不唯一時,解的結構如何?線性方程組的一般形式:引例一、消元法解線性方程組求解線性方程組分析：用消元法解下列方程組的過程．解用“回代”的方法求出解：于是解得（2）小結：1．上述解方程組的方法稱為消元法．2．始終把方程組看作一個整體變形，用到如下三種變換（1）交換方程次序；（2）以不等于０的數(shù)乘某個方程；（3）一個方程加上另一個方程的k倍．（與相互替換）（以替換）（以替換）3．上述三種變換都是可逆的．

由于三種變換都是可逆的，所以變換前的方程組與變換后的方程組是同解的．故這三種變換是同解變換．第一節(jié)高斯消元法定理若將增廣矩陣(A|B)用初等行變換化為(S|T)，則AX=B與SX=T是同解方程組.

因為在上述變換過程中，僅僅只對方程組的系數(shù)和常數(shù)進行運算，未知量并未參與運算．若記則對方程組的變換完全可以轉(zhuǎn)換為對矩陣B(方程組（1）的增廣矩陣）的變換．用矩陣的初等行變換解方程組（1）：特點：（1）、可劃出一條階梯線，線的下方全為零；（2）、每個臺階只有一行，臺階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面的第一個元素為非零元，即非零行的第一個非零元．注意：行最簡形矩陣是由方程組唯一確定的，行階梯形矩陣的行數(shù)也是由方程組唯一確定的．

行最簡形矩陣再經(jīng)過初等列變換，可化成標準形．例如，特點：

所有與矩陣等價的矩陣組成的一個集合，稱為一個等價類，標準形是這個等價類中最簡單的矩陣.線性方程組解的情況方程組有唯一解方程組無解方程組有無窮多解小結1.初等行(列)變換初等變換的逆變換仍為初等變換,且變換類型相同．3.矩陣等價具有的性質(zhì)2.初等變換思考題已知四元齊次方程組

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