CH73區(qū)間估計剖析

財經(jīng)頻道主持人訪問經(jīng)濟學專家，明年的GDP預(yù)料增長多少？

假如專家回答增長6.6%，這是點估計。

假如專家回答GDP預(yù)料大約增長在6%到7%之間，這是區(qū)間估計。

相對點估計，區(qū)間估計考慮到了可能出現(xiàn)的誤差。估計某湖泊中魚的數(shù)量在區(qū)間[4500,5500]比估計有5000條魚更有好用價值；高考剛剛結(jié)束，估計總分在區(qū)間[520,530]比估計考了530分更有意義；估計明年的收入在區(qū)間[45000,50000]比估計收入47000更有意義。本節(jié)將要介紹區(qū)間估計的一種，它是由奈曼(Neymann)于1934年提出的置信區(qū)間。

置信區(qū)間的概念關(guān)于定義的說明若反復抽樣多次(各次得到的樣本容量相等,都是n)在這樣多的區(qū)間中,例如(3)置信區(qū)間是對未知參數(shù)的一種區(qū)間形式的估計，區(qū)間的長度意味著誤差，在相同的置信水平下，區(qū)間越長，誤差越大，估計的精度越低，反之精度越高。(4)置信度與估計精度的關(guān)系。置信度越大，置信區(qū)間包含的真值的概率就越大，但區(qū)間的長度就越大,對未知參數(shù)的估計精度就越差。對參數(shù)的估計精度越高，即置信區(qū)間的長度越小，則包含真值的概率就越低，即置信度越小。一般準則是，在保證置信度的條件下盡可能提高估計精度，即使得區(qū)間長度較小。假如把點估計比做用魚叉在水中叉魚，那么置信區(qū)間就是用漁網(wǎng)捕魚。同魚叉類似，用漁網(wǎng)捕魚首先要定位，即須要預(yù)先估計魚的位置(統(tǒng)計上就是先找個點估計);然后以預(yù)估的位置為中心將網(wǎng)撒開（統(tǒng)計上就是以為中心，得到區(qū)間當然任何人都無法保證每次撒網(wǎng)都能捕到魚，事實上若能做到捕到魚的可能性達到極高就夠了，比如撒下100網(wǎng)，大約有95網(wǎng)都能捕到魚也是很好的。換句話說依據(jù)樣本找到的區(qū)間不確定會包含參數(shù)的真值，但是當依據(jù)不同的樣本得到大量的區(qū)間，平均來看100個中有95個都能夠包含參數(shù)即那么這樣的區(qū)間明顯也是有價值。2.

求置信區(qū)間的一般步驟(共3步)解例1視待估參數(shù)為水中待捕的一條魚。

(1)定位：先確定魚的大致位置，

(2)撒網(wǎng)：以預(yù)先確定的位置為中心，把網(wǎng)撒下去，即可以得到一個以為中心的區(qū)間。為確定這個區(qū)間，考慮下面分布這樣的置信區(qū)間常寫成其置信區(qū)間的長度為由一個樣本值算得樣本均值的視察值則置信區(qū)間為其置信區(qū)間的長度為比較兩個置信區(qū)間的長度置信區(qū)間短表示估計的精度高.說明:對于概率密度的圖形是單峰且關(guān)于縱坐標軸對稱的狀況,易證取a和b關(guān)于原點對稱時,能使置信區(qū)間長度最小.今抽9件測量其長度,得數(shù)據(jù)如下(單位:mm):142,138,150,165,156,148,132,135,160.解例2單個正態(tài)總體均值或方差的

置信區(qū)間和單側(cè)置信限1.

包糖機某日開工包了12包糖,稱得質(zhì)量(單位:克)分別為506,500,495,488,504,486,505,513,521,520,512,485.假設(shè)重量聽從正態(tài)分布,且標解例1查表得推導過程如下:解有一大批糖果,現(xiàn)從中隨機地取16袋,稱得質(zhì)量(克)如下:設(shè)袋裝糖果的質(zhì)量聽從正態(tài)分布,試求總體均值例2就是說估計袋裝糖果質(zhì)量的均值在500.4克與507.1克之間,這個估計的可信程度為95%.這個誤差的可信度為95%.解例3(續(xù)例1)假如只假設(shè)糖包的質(zhì)量聽從正態(tài)分布推導過程如下:(2)撒網(wǎng)：2.(1)定位：習慣上仍取對稱的分位點來確定置信區(qū)間(如圖).進一步可得:(續(xù)例2)求例2中總體標準差

的置信度為0.95的置信區(qū)間.解代入公式得標準差的置信區(qū)間例4解例5

(續(xù)例1)上述置信區(qū)間中置信限都是雙側(cè)的，但對于有些實際問題，人們關(guān)切的只是參數(shù)在一個方向的界限.例如對于設(shè)備、元件的運用壽命來說，平均壽命過長沒什么問題，過短就有問題了.這時，可將置信上限取為+∞，而只著眼于置信下限，這樣求得的置信區(qū)間叫單側(cè)置信區(qū)間.單側(cè)置信區(qū)間的概念一、基本概念二、典型例題一、基本概念1.單側(cè)置信區(qū)間的定義2.

正態(tài)總體均值與方差的單側(cè)置信區(qū)間二、典型例題設(shè)從一批燈泡中,隨機地取5只作壽命試驗,測得壽命(以小時計)為1050,1100,1120,1250,1280,設(shè)燈泡壽命聽從正態(tài)分布,求燈泡壽命平均值的置信水平為0.95的單側(cè)置信下限.解例1兩個正態(tài)總體均值或方差的

置信區(qū)間和單側(cè)置信限探討兩個整體總體均值差和方差比的估計問題.推導過程如下:1.隨機地取?型子彈10發(fā),得到槍口速度的平均值為例1為比較?,??兩種型號步槍子彈的槍口速度,隨機地取??型子彈20發(fā),得槍口速度平均值為假設(shè)兩總體都可認為近似地服從正態(tài)分布,且由生產(chǎn)過程可認為它們的方差相等,求兩總體均值差信區(qū)間.解由題意,兩總體樣本獨立且方差相等(但未知),解由題意,兩總體樣本獨立且方差相等(但未知),例2為提高某一化學生產(chǎn)過程的得率,試圖用一種新的催化劑,為慎重起見,在試驗工廠先行體都可認為近似地服從正態(tài)分布,且方差相等,求兩總體均值差試驗.設(shè)采用原來的催化劑進行了次試驗,得到得率的平均值又采用新的催化劑進行了次試驗,得到得率的平均值假設(shè)兩總推導過程如下:2.依據(jù)F分布的定義,知解例3研究由機器A和機器B生產(chǎn)的鋼管內(nèi)徑隨機抽取機器A

生產(chǎn)的管子18只,測得樣差為均未知,求方差比區(qū)間.設(shè)兩樣本相互獨抽取機器B生產(chǎn)的管子13只,測得樣本方差為立,且設(shè)由機器A

和機器B生產(chǎn)的鋼管內(nèi)徑分服從正態(tài)分布信解例4甲、乙