第九講 異方差性

第八講異方差性

Heteroskedasticity一、異方差性的概念二、異方差性的后果三、異方差性的檢驗(yàn)四、解決異方差性的辦法——加權(quán)最小二乘法(WLS)五、案例在§2.1中對(duì)線性回歸模型提出了若干基本假設(shè)，只有在滿足這些基本假設(shè)的情況下，應(yīng)用普通最小二乘法才能得到無偏的、有效的參數(shù)估計(jì)量。

但是，在實(shí)際的計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)問題中，完全滿足這些基本假設(shè)的情況并不多見。

如果違背了某一項(xiàng)基本假設(shè)，那么應(yīng)用普通最小二乘法估計(jì)模型就不能得到無偏的、有效的參數(shù)估計(jì)量，OLS法失效，這就需要發(fā)展新的方法估計(jì)模型。當(dāng)隨機(jī)誤差項(xiàng)違背同方差性假設(shè)時(shí)，即認(rèn)為存在異方差性問題。說明一、異方差性的概念1、異方差的概念對(duì)于模型

（i=1,2,…,n）同方差性假設(shè)為

（i=1,2,…,n）如果出現(xiàn)

（i=1,2,…,n）即對(duì)于不同的樣本點(diǎn)i，隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差不再是常數(shù)，則認(rèn)為出現(xiàn)了異方差性。這里需要再次重復(fù)強(qiáng)調(diào)的是，對(duì)于每一個(gè)樣本點(diǎn)i，隨機(jī)誤差項(xiàng)i都是隨機(jī)變量，服從均值為0的正態(tài)分布；所謂異方差性，是指這些隨機(jī)變量服從不同方差的正態(tài)分布。

同方差性異方差性2、異方差的類型

同方差性假定的意義是指每個(gè)i圍繞其0均值的變化，并不隨解釋變量Xi的變化而變化，不論解釋變量觀測(cè)值是大還是小，每個(gè)i的方差保持相同，即

i2=常數(shù)

在異方差的情況下，i2已不是常數(shù)，它隨Xi的變化而變化，即i2=f(Xi)

異方差一般可歸結(jié)為三種類型：（1）單調(diào)遞增型：

i2隨Xi的增大而增大；（2）單調(diào)遞減型：

i2隨Xi的增大而減小;（3）復(fù)雜型：

i2與Xi的變化呈復(fù)雜形式。3、實(shí)際經(jīng)濟(jì)問題中的異方差性

在該模型中，i的同方差假定往往不符合實(shí)際情況。對(duì)高收入家庭來說，儲(chǔ)蓄的差異較大；低收入家庭的儲(chǔ)蓄則更有規(guī)律性（如為某一特定目的而儲(chǔ)蓄），差異較小。

因此，i的方差往往隨Xi的增加而增加，呈單調(diào)遞增型變化。

例如：在截面資料下研究居民家庭的儲(chǔ)蓄行為

Yi=0+1Xi+i

Yi和Xi分別為第i個(gè)家庭的儲(chǔ)蓄額和可支配收入。

一般情況下：居民收入服從正態(tài)分布，處于中等收入組中的人數(shù)最多，處于兩端收入組中的人數(shù)最少。而人數(shù)多的組平均數(shù)的誤差小，人數(shù)少的組平均數(shù)的誤差大。所以樣本觀測(cè)值的觀測(cè)誤差隨著解釋變量觀測(cè)值的增大而先減后增。

例如：以絕對(duì)收入假設(shè)為理論假設(shè)、以截面數(shù)據(jù)作樣本建立居民消費(fèi)函數(shù)：

Ci=0+1Yi+i

將居民按照收入等距離分成n組，取組平均數(shù)為樣本觀測(cè)值。如果樣本觀測(cè)值的觀測(cè)誤差構(gòu)成隨機(jī)誤差項(xiàng)的主要部分，那么對(duì)于不同的樣本點(diǎn)，隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差隨著解釋變量觀測(cè)值的增大而先減后增，出現(xiàn)了異方差性。例如：以某一行業(yè)的企業(yè)為樣本建立企業(yè)生產(chǎn)函數(shù)模型

Yi=Ai1

Ki2

Li3ei產(chǎn)出量為被解釋變量，選擇資本、勞動(dòng)、技術(shù)等投入要素為解釋變量，那么每個(gè)企業(yè)所處的外部環(huán)境對(duì)產(chǎn)出量的影響被包含在隨機(jī)誤差項(xiàng)中。由于每個(gè)企業(yè)所處的外部環(huán)境對(duì)產(chǎn)出量的影響程度不同，造成了隨機(jī)誤差項(xiàng)的異方差性。

這時(shí)，隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差并不隨某一個(gè)解釋變量觀測(cè)值的變化而呈規(guī)律性變化，為復(fù)雜型的一種。二、異方差性的后果1、參數(shù)估計(jì)量非有效

當(dāng)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型出現(xiàn)異方差性時(shí)，其普通最小二乘法參數(shù)估計(jì)量仍然具有無偏性，但不具有有效性。而且，在大樣本情況下，參數(shù)估計(jì)量仍然不具有漸近有效性，這就是說參數(shù)估計(jì)量不具有一致性。

即同方差和無序列相關(guān)條件。因?yàn)樵谟行宰C明中利用了

2、變量的顯著性檢驗(yàn)失去意義在變量的顯著性檢驗(yàn)中，t統(tǒng)計(jì)量

（j=0,1,2,…,k）

如果出現(xiàn)了異方差性，將使t統(tǒng)計(jì)量失真，并使某些原本顯著的解釋變量可能無法通過顯著性檢驗(yàn)，從而使t檢驗(yàn)失去意義。

3、模型的預(yù)測(cè)失效

一方面，由于上述后果，使得模型不具有良好的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)；

所以，當(dāng)模型出現(xiàn)異方差性時(shí)，它的預(yù)測(cè)功能失效。

三、異方差性的檢驗(yàn)1、檢驗(yàn)方法的共同思路

既然異方差性就是相對(duì)于不同的解釋變量觀測(cè)值，隨機(jī)誤差項(xiàng)具有不同的方差，那么：檢驗(yàn)異方差性，也就是檢驗(yàn)隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差與解釋變量觀測(cè)值之間的相關(guān)性及其相關(guān)的“形式”。

各種檢驗(yàn)方法正是在這個(gè)共同思路下發(fā)展起來的。

問題在于：用什么來表示隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差？一般的處理方法：2、圖示檢驗(yàn)法（1）用X-Y的散點(diǎn)圖進(jìn)行判斷看是否存在明顯的散點(diǎn)擴(kuò)大、縮小或復(fù)雜型趨勢(shì)（即不在一個(gè)固定的帶型域中）看是否形成一斜率為零的直線。3、解析法（1）戈德菲爾德-匡特（Goldfeld-Quandt）檢驗(yàn)☆

G-Q檢驗(yàn)以F檢驗(yàn)為基礎(chǔ)，適用于樣本容量較大、異方差遞增或遞減的情況。

G-Q檢驗(yàn)的思想：先將樣本一分為二，對(duì)子樣本①和子樣本②分別作回歸，然后利用兩個(gè)子樣本的殘差之比構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行異方差檢驗(yàn)。由于該統(tǒng)計(jì)量服從F分布，因此假如存在遞增的異方差，則F遠(yuǎn)大于1；反之就會(huì)等于1（同方差）、或小于1（遞減方差）。G-Q檢驗(yàn)的步驟：①將n對(duì)樣本觀察值(Xi,Yi)按解釋變量觀察值Xi的大小排隊(duì)。②將序列中間的c=n/4個(gè)觀察值除去，并將剩下的觀察值劃分為較小與較大的相同的兩個(gè)子樣本，每個(gè)子樣本的樣本容量均為(n-c)/2。⑥檢驗(yàn)。給定顯著性水平，確定F分布表中相應(yīng)的臨界值F（1，2）。若F＞F（1，2），則存在異方差；反之，則不存在異方差。

（2）戈里瑟（Gleiser）檢驗(yàn)與帕克（Park）檢驗(yàn)戈里瑟檢驗(yàn)與帕克檢驗(yàn)的思想：

如果存在某一種函數(shù)形式，使得方程顯著成立，則說明原模型存在異方差性。以|e~|或~ei2為被解釋變量，以原模型的某一解釋變量jX為解釋變量，建立如下方程：

ijiiXfee+=)(|~|

i=1,2,…,n

（Gleiser）或

ijiiXfee+=)(~2

i=1,2,…,n(Park)注意：由于f(Xj)的具體形式未知，因此需要進(jìn)行各種形式的試驗(yàn)。四、解決異方差性的辦法

——加權(quán)最小二乘法(WLS)

WeightedLeastSquares1、加權(quán)最小二乘法的基本思想加權(quán)最小二乘法是對(duì)原模型加權(quán)，使之變成一個(gè)新的不存在異方差性的模型，然后采用普通最小二乘法估計(jì)其參數(shù)。例如：在遞增異方差下，來自較小Xi的子樣本，其真實(shí)的總體方差較小，Yi與回歸線擬合值之間的殘差ei的信度較大，應(yīng)予以重視;而來自較大Xi的子樣本，由于真實(shí)的總體方差較大，殘差反映的信息應(yīng)打折扣。

加權(quán)最小二乘法就是對(duì)加了權(quán)重的殘差平方和實(shí)施OLS法：

對(duì)較小的殘差平方ei2賦予較大的權(quán)數(shù)，對(duì)較大的殘差平方ei2賦予較小的權(quán)數(shù)。例如：如果在檢驗(yàn)過程中已經(jīng)知道：2、一個(gè)例子i=1,2,…,n在該模型中，存在

即同方差性。

這就是加權(quán)最小二乘法。

在這里，權(quán)數(shù)為。3、一般情況對(duì)于模型Y=XB+N如果存在

其中

即存在異方差性。那么，由于W是一正定矩陣，存在一可逆矩陣D，使得

顯然即該模型具有同方差性。

因?yàn)橛肈-1左乘原模型兩邊，可以得到一個(gè)新的模型：

這就是原模型的加權(quán)最小二乘估計(jì)量，它是無偏、有效的。于是，可以用普通最小二乘法估計(jì)新模型，得到參數(shù)估計(jì)量，為：

這里權(quán)矩陣為D-1，它來自于矩陣W。4、如何得到權(quán)矩陣W？

從前面的推導(dǎo)過程可以看出，W來自于原模型的殘差項(xiàng)N的方差-協(xié)方差矩陣，因此仍然可以對(duì)原模型首先采用OLS法，得到隨機(jī)誤差項(xiàng)的近似估計(jì)量，以此構(gòu)成權(quán)矩陣的估計(jì)量。即5、加權(quán)最小二乘法的具體步驟注意

在實(shí)際建模過程中，人們通常并不對(duì)原模型進(jìn)行異方差性檢驗(yàn)，而是直接選擇加權(quán)最小二乘法，尤其是采用截面數(shù)據(jù)作樣本時(shí)。如果確實(shí)存在異方差，則被有效地消除了；如果不存在異方差性，則加權(quán)最小二乘法等價(jià)于普通最小二乘法。五、案例—1

—某地區(qū)居民儲(chǔ)蓄模型某地區(qū)31年來居民收入與儲(chǔ)蓄額數(shù)據(jù)表1、普通最小二乘估計(jì)直接使用OLS法，得到：

（-5.87）（18.04）R2=0.91822、異方差檢驗(yàn)（1）圖示檢驗(yàn)⑵G-Q檢驗(yàn)①求兩個(gè)子樣本（n1=n2=12）回歸方程的殘差平方和RSS1與RSS2；②計(jì)算F統(tǒng)計(jì)量

F=RSS2/RSS1=769899.2/162899.2=4.726③查表

在5%的顯著性水平下，第1和第2自由度均為（31-7）/2-2=10的F分布臨界值為F0.05(10,10)=2.97由于F=4.72>F0.05(10,10)=2.97因此，否定兩組子樣本方差相同的假設(shè)，從而該總體隨機(jī)誤差項(xiàng)存在遞增異方差。⑶Park檢驗(yàn)

顯然，lnXi前的參數(shù)在統(tǒng)計(jì)上是顯著的，表明原模型存在異方差。3、異方差模型的估計(jì)與OLS估計(jì)結(jié)果相比較，擬合效果更差。為什么？關(guān)于異方差形式的假定可能存在問題。與OLS估計(jì)結(jié)果相比較，擬合效果更好。五、案例—2

—中國消費(fèi)函數(shù)模型中國消費(fèi)函數(shù)模型（二元模型）根據(jù)消費(fèi)模型的一般形式，選擇消費(fèi)總額為被解釋變量，國內(nèi)生產(chǎn)總值和前一年的消費(fèi)總額為解釋變量，變量之間關(guān)系為簡(jiǎn)單線性關(guān)系，選取1981年至1996年統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)為樣本觀測(cè)值。

中國消費(fèi)數(shù)據(jù)表單位：億元

1、OLS估計(jì)結(jié)果2、WLS估計(jì)結(jié)果3、比較各項(xiàng)統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)指標(biāo)全面改善R2:0.999739→0.999999F:28682→980736∑e2:438613→29437t:6.422.04.2→25.2134.122.9D.W:1.45→1.81成功與失敗把成功當(dāng)做上帝送給你的一個(gè)微笑；把失敗當(dāng)做上帝和你開的一個(gè)玩笑。做我所做的一切，是