第六章 第三節(jié) 二元一次不等式組與簡單的線性規(guī)劃問題

1.會從實際情境中抽象出二元一次不等式組．2．了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域

表示二元一次不等式組．3．會從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃

問題，并能加以解決．

二元一次不等式組與簡單的線性規(guī)劃問題[理要點]一、二元一次不等式表示平面區(qū)域1．二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐標系中表示直線Ax＋By＋C＝0某一側的所有點組成的平面區(qū)域(半平面)，

邊界直線．不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面區(qū)域(半平面)

邊界直線．不含包含2．對于直線Ax＋By＋C＝0同一側的所有點(x，y)，使得Ax＋By＋C的值符號相同，也就是位于同一半平面內的點，其坐標適合

；而位于另一個半平面內的點，其坐標適合

.Ax＋By＋C>0Ax＋By＋C<03．可在直線Ax＋By＋C＝0的某一側任取一點，一般取特殊點(x0，y0)，從Ax0＋By0＋C的

來判斷Ax＋By＋C>0(或Ax＋By＋C<0)所表示的區(qū)域．正負4．由幾個不等式組成的不等式組所表示的平面區(qū)域，是各個不等式所表示的平面區(qū)域的

．公共部分二、線性規(guī)劃中的基本概念名稱意義約束條件由變量x，y組成的

線性約束條件由x，y的

不等式(或方程)組成的不等式(組)目標函數關于x，y的函數

，如z＝2x＋3y等線性目標函數關于x，y的

解析式不等式(組)一次解析式一次名稱意義可行解滿足線性約束條件的解可行域所有可行解組成的最優(yōu)解使目標函數取得

或

的可行解線性規(guī)劃問題在線性約束條件下求線性目標函數的

或

問題(x，y)最大值最小值最大值最小值集合

[究疑點]1．可行解與最優(yōu)解有何關系？最優(yōu)解是否唯一？提示：最優(yōu)解必定是可行解，但可行解不一定是最優(yōu)解．最優(yōu)解不一定唯一，有時唯一，有時有多個．2．點P1(x1，y1)和P2(x2，y2)位于直線Ax＋By＋C＝0的兩

側的充要條件是什么？提示：(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0.[題組自測]1．如圖所示的平面區(qū)域(陰影部分)滿

足不等式 (

)A．x＋y－1<0B．x＋y－1>0C．x－y－1<0D．x－y－1>0答案：

B解：(1)先畫出直線2x＋y－10＝0(畫成虛線)．取原點(0,0)，代入2x＋y－10，∵2×0＋0－10<0，∴原點在2x＋y－10<0表示的平面區(qū)域內，不等式2x＋y－10<0表示的區(qū)域如圖(1)所示．(2)不等式x－y＋5≥0表示直線x－y＋5＝0上及右下方的點的集合，x＋y＋1≥0表示直線x＋y＋1＝0上及右上方的點的集合，x≤3表示直線x＝3上及左方的點的集合，所以不等式組表示的平面區(qū)域如圖(2)所示．(2)如圖，△ABC中，A(0,1)，B(－2,2)，C(2,6)，寫出△ABC區(qū)域所表示的二元一次不等式組．答案：(1)A[歸納領悟]二元一次不等式(組)表示平面區(qū)域的判定方法：直線定界、特殊點定域．注意不等式是否可取等號，不可取等號時直線畫成虛線，可取等號時直線畫成實線．若直線不過原點，特殊點常選取原點.答案：A答案：5[歸納領悟]求目標函數的最值的一般步驟是：一畫二移三求，其關鍵是準確作出可行域，準確理解z的幾何意義，對于目標函數z＝ax＋by而言，當b>0時，在可行域內越向上平移直線ax＋by＝0，z的值越大；越向下平移直線ax＋by＝0，z的值越?。攂<0時，情況正好相反．[題組自測]1．一項裝修工程需要木工和瓦工共同完成，請木工需付工資每人50元，請瓦工需付工資每人40元，現有工人工資預算2000元，設木工x人，瓦工y人，請工人的約束條件是______________．2．(2010·四川高考)某加工廠用某原料由甲車間加工出A產品，由乙車間加工出B產品．甲車間加工一箱原料需耗費工時10小時可加工出7千克A產品，每千克A產品獲利40元．乙車間加工一箱原料需耗費工時6小時可加工出4千克B產品，每千克B產品獲利50元．甲、乙兩車間每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙兩車間耗費工時總和不得超過480小時，甲、乙兩車間每天總獲利最大的生產計劃為 (

)A．甲車間加工原料10箱，乙車間加工原料60箱B．甲車間加工原料15箱，乙車間加工原料55箱C．甲車間加工原料18箱，乙車間加工原料50箱D．甲車間加工原料40箱，乙車間加工原料30箱答案：B3．某玩具生產公司每天計劃生產衛(wèi)兵、騎兵、傘兵這三種玩具共100個，生產一個衛(wèi)兵需5分鐘，生產一個騎兵需7分鐘，生產一個傘兵需4分鐘，已知總生產時間不超過10小時．若生產一個衛(wèi)兵可獲利潤5元，生產一個騎兵可獲利潤6元，生產一個傘兵可獲利潤3元．(1)用每天生產的衛(wèi)兵個數x與騎兵個數y表示每天的利潤w(元)；(2)怎樣分配生產任務才能使每天的利潤最大，最大利潤是多少？解：(1)依題意每天生產的傘兵個數為100－x－y，所以利潤w＝5x＋6y＋3(100－x－y)＝2x＋3y＋300.[歸納領悟]線性規(guī)劃實際應用問題的解決常見的錯誤點有：(1)不能準確地理解題中條件的含義，如“不超過”、“至

少”等線性約束條件出現失誤．(2)最優(yōu)解的找法由于作圖不規(guī)范而不準確．(3)最大解為“整點時”不會尋找“最優(yōu)整點解”．處理此類問題時．一是要規(guī)范作圖，尤其是邊界實虛要分清，二是尋找最優(yōu)整點解時可記住“整點在整線上”(整線：形如x＝k或y＝k，k∈Z)．一、把脈考情從近兩年的高考試題來看，二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域(的面積)、求目標函數的最值、線性規(guī)劃的應用問題等是高考的熱點，題型既有選擇題，也有填空題，難度為中低檔題；主要考查平面區(qū)域的畫法、目標函數最值的求法，以及在取得最值時參數的取值范圍．同時注重考查等價轉化、數形結合思想．預測2012年高考仍將以目標函數的最值、線性規(guī)劃的綜合運用為主要考查點，重點考查學生分析問題、解決問題的能力．解析：畫出可行域(如圖中陰影部分)，由圖可知，當直線經過點A(1,1)時，z最大，最大值為2×1＋1＝3.答案：C解析：作出可行域如圖所示．作直線l0：x－2y＝0.當把l0平移到l1位置時，此時過點A(1，－1)，z的值最大，且zmax＝1－2×(－1)＝3.答案：B3．(2010·陜西高考)鐵礦石A和B的含鐵率a，冶煉每萬噸

鐵礦