傳遞函數(shù)矩陣和狀態(tài)標(biāo)準(zhǔn)型

現(xiàn)代控制理論第一章（3）主講教師：羅林安慶職業(yè)技術(shù)學(xué)院自動化教研室1/13/20231.1、狀態(tài)變量和狀態(tài)變量模型

狀態(tài)、狀態(tài)變量、狀態(tài)向量、狀態(tài)空間、狀態(tài)方程狀態(tài)空間表達式狀態(tài)結(jié)構(gòu)圖2、狀態(tài)空間表達式的建立

動態(tài)系統(tǒng)模型、微分方程、傳遞函數(shù)、狀態(tài)結(jié)構(gòu)圖3、傳遞函數(shù)矩陣的建立

4、狀態(tài)空間表達式的四種標(biāo)準(zhǔn)型及轉(zhuǎn)換第一章

連續(xù)控制系統(tǒng)狀態(tài)空間描述1/13/20232.回顧：傳遞函數(shù)向狀態(tài)空間模型的轉(zhuǎn)換方法及步驟傳遞函數(shù)矩陣的建立（根據(jù)狀態(tài)模型）友矩陣能控標(biāo)準(zhǔn)型傳遞函數(shù)矩陣1/13/20233.線性定常MIMO狀態(tài)空間表達式：傳遞函數(shù)矩陣定義：特點：維數(shù)；唯一性1/13/20234.[例2]求如圖所示二輸入二輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣。步驟：1、確定G(s)維數(shù)。2、確定G(s)中各元素的值。[解]：根據(jù)G(s)矩陣中每個元素的含義，很容易寫出上圖的傳遞函數(shù)陣新問題：傳遞函數(shù)陣如何轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間模型？1/13/20235.例：已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣，試求其狀態(tài)空間模型進行串聯(lián)分解，找出各元素分母多項式的最小公倍數(shù)傳遞函數(shù)矩陣狀態(tài)空間表達式1/13/20236.可知：1/13/20237.1/13/20238.傳遞函數(shù)矩陣狀態(tài)空間表達式考慮任意MIMO線性定常系統(tǒng)（m輸入，p輸出）思路：模擬傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換的方法（串聯(lián)分解法）分母多項式的最小公倍數(shù)Pxm的實數(shù)矩陣1/13/20239.寫成矩陣形式有：能控標(biāo)準(zhǔn)型A(mxq)x(mxq)C(px（mxq))B（(qxm）xm）1/13/202310.求解步驟：根據(jù)傳遞函數(shù)陣求取各元素分母多項式的最小公倍數(shù)g(s)，并將傳遞函數(shù)矩陣分解為分子多項式N(s)和分母多項式兩部分;根據(jù)g(s)的各系數(shù)確定能控標(biāo)準(zhǔn)型的狀態(tài)方程；將N(s)按s的降冪展開成矩陣多項式，根據(jù)各多項式系數(shù)來確定輸出方程；最后得到傳遞函數(shù)矩陣的能控標(biāo)準(zhǔn)型。1/13/202311.第三節(jié)小結(jié)主要內(nèi)容：傳遞函數(shù)與狀態(tài)空間模型的轉(zhuǎn)換傳遞函數(shù)矩陣的建立以及狀態(tài)空間模型的轉(zhuǎn)換幾個概念：友矩陣；能控標(biāo)準(zhǔn)型；傳遞函數(shù)矩陣課后作業(yè)：1、復(fù)習(xí)課本上相關(guān)內(nèi)容，以及例題；2、完成P36課后習(xí)題1.3，1.41/13/202312.1、狀態(tài)變量和狀態(tài)變量模型

狀態(tài)、狀態(tài)變量、狀態(tài)向量、狀態(tài)空間、狀態(tài)方程、狀態(tài)空間表達式狀態(tài)結(jié)構(gòu)圖2、狀態(tài)空間表達式的建立

動態(tài)系統(tǒng)模型、微分方程、傳遞函數(shù)、狀態(tài)結(jié)構(gòu)圖3、傳遞函數(shù)矩陣的建立4、狀態(tài)空間表達式的四種標(biāo)準(zhǔn)型及轉(zhuǎn)換第一章

連續(xù)控制系統(tǒng)狀態(tài)空間描述1/13/202313.第四節(jié)狀態(tài)空間表達式的四種標(biāo)準(zhǔn)型及轉(zhuǎn)換能控標(biāo)準(zhǔn)型能觀標(biāo)準(zhǔn)型對角標(biāo)準(zhǔn)型約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型SISO線性定常系統(tǒng)MIMO線性定常系統(tǒng)注：各種標(biāo)準(zhǔn)型之間可以通過線性變換相互轉(zhuǎn)換，體現(xiàn)了狀態(tài)空間模型的非唯一性；但變換過程中保持著系統(tǒng)的不變性（維數(shù)不變）1/13/202314.1、能控標(biāo)準(zhǔn)型如果某系統(tǒng)具有（A1,b）相同形式，則為能控標(biāo)準(zhǔn)型特點？1/13/202315.2、能觀標(biāo)準(zhǔn)型如果某系統(tǒng)具有(A2,c)相同形式，則為能觀標(biāo)準(zhǔn)型特點？兩種標(biāo)準(zhǔn)型的關(guān)系？互為對偶1/13/202316.例1已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如下，試求其能控標(biāo)準(zhǔn)

型和能觀標(biāo)準(zhǔn)型：第一步：化簡第二步：確定各系數(shù)1/13/202317.第三步：確定能控標(biāo)準(zhǔn)型第四步：由能控標(biāo)準(zhǔn)型確定能觀標(biāo)準(zhǔn)型1/13/202318.推廣到一般的傳遞函數(shù)：此系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)型和能觀標(biāo)準(zhǔn)型？1/13/202319.3、對角標(biāo)準(zhǔn)型若有：注：G(s)為嚴(yán)格有理真分式，λi為系統(tǒng)的互異單極點，則不僅可以轉(zhuǎn)換為能控標(biāo)準(zhǔn)型、能觀標(biāo)準(zhǔn)型，而且可以轉(zhuǎn)換為對角標(biāo)準(zhǔn)型1/13/202320.對角標(biāo)準(zhǔn)型ABC系統(tǒng)單極點留數(shù)1/13/202321.對角標(biāo)準(zhǔn)型BTATCT系統(tǒng)單極點1/13/202322.狀態(tài)模擬結(jié)構(gòu)圖1并聯(lián)分解2無耦合特點？互為對偶1/13/202323.例2已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如下，試求其對角標(biāo)準(zhǔn)型根據(jù)1/13/202324.可得對角標(biāo)準(zhǔn)型1：對角標(biāo)準(zhǔn)型2：該結(jié)果是否唯一？1/13/202325.4、約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型若有：注：G(s)為嚴(yán)格有理真分式，如果系統(tǒng)不僅存在互異單極點，還存在重極點時，則不僅可以轉(zhuǎn)換為能控標(biāo)準(zhǔn)型或能觀標(biāo)準(zhǔn)型，而且可以轉(zhuǎn)換為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型。假設(shè)：系統(tǒng)存在j重實極點還有單極點,則傳遞函數(shù)可展開為以下部分分式之和：

1/13/202326.則系統(tǒng)具有如下的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型1：j重單極點互異單極點約當(dāng)塊j重單極點互異單極點1/13/202327.互異單極點j重單極點根據(jù)1/13/202328.約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型2——約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型1的對偶式互異單極點j重單極點1/13/202329.特點？串并聯(lián)分解1/13/202330.例3已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)如下，求其約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型1/13/202331.問題：該系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的對偶式？1/13/202332.例4已知單輸入-多輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣如下，求其傳遞函數(shù)矩陣的可控標(biāo)準(zhǔn)型實現(xiàn)及對角型實現(xiàn)。解:

(1)分析系統(tǒng)特點(SIMO)，將化為嚴(yán)格有理真分式。1/13/202333.

（3）可控標(biāo)準(zhǔn)型動態(tài)方程為：

(2)尋找分母多項式的最小公倍數(shù)1/13/202334.（5）求取極點對應(yīng)的留數(shù),確定系數(shù)c1c2,以及輸出方程輸出方程為：（4）求取系統(tǒng)極點，構(gòu)成對角形狀態(tài)方程1/13/202335.（6）系統(tǒng)動態(tài)方程如下：問題：1、該系統(tǒng)的可觀標(biāo)準(zhǔn)型？2、是否還存在其它對角標(biāo)準(zhǔn)型？