《平面向量的線性運(yùn)算》同步練習(xí) 全省一等獎(jiǎng)

《平面向量的線性運(yùn)算》同步練習(xí)1．四邊形ABCD中，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝c，則eq\o(DC,\s\up6(→))＝()A．a(chǎn)－b＋c B．b－(a＋c)C．a(chǎn)＋b＋c D．b－a＋c解析：eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝－eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝a－b＋c.答案：A2．如圖在平行四邊形ABCD中，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→)) \o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→)) \o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝0解析：eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))，故C項(xiàng)錯(cuò)．答案：C3．已知a，b，c是非零向量，則(a＋c)＋b，b＋(a＋c)，b＋(c＋a)，c＋(a＋b)，c＋(b＋a)中，與向量a＋b＋c相等的個(gè)數(shù)為()A．5 B．4C．3 D．2解析：依據(jù)向量加法的交換律及結(jié)合律，每個(gè)向量式均與a＋b＋c相等，故選A.答案：A4.如圖，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))等于()\o(AD,\s\up6(→)) \o(DC,\s\up6(→))\o(DB,\s\up6(→)) \o(AB,\s\up6(→))解析：eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→)).答案：B5．若a，b為非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，則()A．a(chǎn)∥b，且a與b方向相同B．a(chǎn)，b是共線向量C．a(chǎn)＝－bD．a(chǎn)，b無(wú)論什么關(guān)系均可解析：當(dāng)a與b不共線時(shí)，一定有|a＋b|＜|a|＋|b|；當(dāng)a與b共線且同向時(shí)，有|a＋b|＝|a|＋|b|.選A.答案：A6.如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC與BD交于O點(diǎn)，則eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝________.解析：由題圖知eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→)).答案：eq\o(CA,\s\up6(→))7．已知菱形ABCD邊長(zhǎng)都是2，求向量eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))的模．解：如圖，∵eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))|＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝2.8．平面內(nèi)有四邊形ABCD和點(diǎn)O，若eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))，則四邊形ABCD的形狀是()A．梯形 B．平行四邊形C．矩形 D．菱形解析：因?yàn)閑q\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))，所以eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))，即eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→)).又A，B，C，D四點(diǎn)不共線，所以|eq\o(BA,\s\up6(→))|＝|eq\o(CD,\s\up6(→))|，且BA∥CD.故四邊形ABCD為平行四邊形．答案：B9．若O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，則O是△ABC的()A．內(nèi)心 B．外心C．重心 D．垂心解析：如下圖，以eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))為鄰邊作平行四邊形OBDC，則eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，又eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0.∴eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝－eq\o(OA,\s\up6(→)).∴eq\o(OD,\s\up6(→))＝－eq\o(OA,\s\up6(→)).∴A，O，D三點(diǎn)共線．設(shè)OD與BC的交點(diǎn)為E，則E是BC的中點(diǎn)，∴AE是△ABC的中線．同理可證BO，CO都在△ABC的中線上，∴O是△ABC的重心．答案：C10．給出以下五個(gè)命題：①|(zhì)a|＝|b|，則a＝b；②任一非零向量的方向都是唯一的；③|a|－|b|＜|a＋b|；④若|a|－|b|＝|a|＋|b|，則b＝0；⑤已知A，B，C是平面上任意三點(diǎn)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0.其中正確的命題是________．(填序號(hào))解析：由|a|＝|b|，得不到a＝b，因?yàn)閮蓚€(gè)向量相等需要模相等，方向相同，故①不正確；若b＝0，|a|－|b|＝|a＋b|，故③不正確，其他均正確．答案：②④⑤11．在平行四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，先用a，b表示向量eq\o(AC,\s\up6(→))和eq\o(DB,\s\up6(→))，并回答：當(dāng)a，b分別滿足什么條件時(shí)，四邊形ABCD為矩形、菱形、正方形？解：由向量加法的平行四邊形法則，得eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝a－b.當(dāng)a，b滿足|a＋b|＝|a－b|時(shí)，平行四邊形的兩條對(duì)角線相等，四邊形ABCD為矩形；當(dāng)a，b滿足|a|＝|b|時(shí)，平行四邊形的兩條鄰邊相等，四邊形ABCD為菱形；當(dāng)a，b滿足|a＋b|＝|a－b|且|a|＝|b|時(shí)，四邊形ABCD為正方形．12．已知△ABC為等腰直角三角形，∠ACB＝90°，M為斜邊AB的中點(diǎn)，eq\o(CM,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b.求證：(1)|a－b|＝|a|；(2)|a＋(a－b)|＝|b|.證明：如圖，在等腰Rt△ABC中，由M是斜邊AB的中點(diǎn)，有|eq\o(CM,\s\up6(→))|＝|eq\o(AM,\s\up6(→))|，|eq\o(CA,\s\up6(→))|＝|eq\o(CB,\s\up6(→))|.(1)在△ACM中，eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(CM,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))＝a－b.于是由|eq\o(AM,\s\up6(→))|＝|eq\o(CM,\s\up6(→))|，得|a－b|＝|a|.(2)在△MCB中，eq\o(MB,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))＝a－b，所以eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))－eq\o(MC,\s\up6(→))＝a－b＋a＝a＋(a－b)．從而由|eq\o(CB,\s\up6(→))|＝|eq\o(CA,\s\up6(→))|，得|a＋(a－b)|＝|b|.13．三個(gè)大小相同的力a，b，c作用在同一物體P上，使物體P沿a方向做勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)eq\o(PA,\s\up6(→))＝a，eq\o(PB,\s\up6(→))＝b，eq\o(PC,\s\up6(→))＝c，判斷△ABC的形狀．解：由題意得|a|＝|b|＝|c|，由于合力作用后做勻速運(yùn)動(dòng)，故合力為0，即a＋b＋c＝0.所以a＋c＝－b.如圖，作平行四邊形APCD為菱形．eq\o(PD,\s\up6(→))＝a＋c＝－b.所以∠APC＝120°.同理：∠APB＝∠BPC＝120°.又因?yàn)閨a|＝|b|＝|c|，所以△ABC為等邊三角形．1．向量減法的實(shí)質(zhì)是向量加法的逆運(yùn)算．利用相反向量的定義，－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))就可以把減法轉(zhuǎn)化為加法．即：減去一個(gè)向量等于加上這個(gè)向量的相反向量．如a－b＝a＋(－b)．2．在用三角形法則