線性代數(shù)復(fù)習(xí)第1-6章典型例題

線性代數(shù)1例12解2注：(1)(2)3計(jì)算

n階行列式解將第列都加到第一列上,得例74特征1：對(duì)于所有行（列）元素相加后相等的行列式，可把第2行至n行加到第一行（列），提取公因子后在簡(jiǎn)化計(jì)算。5爪形行列式例8特征2：第一行，第一列及對(duì)角線元素除外，其余元素全為零的行列式稱為爪型行列式。6范德蒙德(Vandermonde)行列式例9從最后一行開始,每行減去上一行的倍.7按最后一列展開再提取每列的公因子8910例5證明A和A+2E都可逆,并求其逆.設(shè)方陣A滿足證11例6設(shè)A,B和A+B均可逆,證明也可逆,并求其逆.證12例7設(shè)A為3階方陣,,求解13設(shè)即有初等矩陣使得問作一次行變換再作一次行變換繼續(xù)…考慮對(duì)作行變換求逆矩陣的初等變換法14解矩陣方程解例12151617證例818(5)設(shè)A是n階方陣其中都是方陣,則稱A為分塊對(duì)角矩陣.19例1時(shí)，有無(wú)窮多解。，時(shí)，無(wú)解。，時(shí)，有無(wú)窮多解。問a,b為何值時(shí),方程組有解,無(wú)解。解：20例5解：系數(shù)矩陣是方陣首選行列式法問為何值時(shí)，方程組有唯一解，無(wú)解，無(wú)窮多解。有無(wú)窮多解時(shí)，求通解。21分析：當(dāng)時(shí)有唯一解，當(dāng)時(shí)，此時(shí)系數(shù)矩陣中的參數(shù)已確定，方程組可能無(wú)解，也可能有無(wú)窮多解，這取決于右端項(xiàng)。再用初等行變換法加以判別。當(dāng)時(shí)，方程組有唯一解。當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)，，方程組無(wú)解。

當(dāng)時(shí)，，方程組有無(wú)窮多解。22通解為23向量可由向量組線性表示存在數(shù)使即有解學(xué)會(huì)這種轉(zhuǎn)換就可以了!注意:符號(hào)混用另外,如果解唯一,則表示方法是唯一的.如果……(按定義)(轉(zhuǎn)換為方程組)(用矩陣的秩)方程組定理3.1.124存在不全為零的數(shù)使即有非零解.還是轉(zhuǎn)換！轉(zhuǎn)換線性無(wú)關(guān)…向量組線性相關(guān)(按定義)(轉(zhuǎn)化為方程組)齊次方程組(用矩陣的秩)把向量組排成矩陣，如果矩陣的秩等于向量的個(gè)數(shù)就線性無(wú)關(guān)，否則如果矩陣的秩小于向量的個(gè)數(shù)就線性相關(guān)。定理3.2.3證明向量組線性相關(guān)性的基本方法（向量方程）25(7)含有n個(gè)向量的n元向量組線性相關(guān)（無(wú)關(guān)）P101推論2由它構(gòu)成的n階矩陣的行列式t取何值時(shí),下列向量組線性相關(guān)?解記當(dāng)t=5時(shí),上面向量組線性相關(guān).例426設(shè)線性無(wú)關(guān),問滿足什么條件,線性相關(guān).向量組:

分析:這是一個(gè)向量組表示另一向量組的問題,就是矩陣乘法的關(guān)系。P104則例627設(shè)(要討論上面方程組何時(shí)有非零解)(由

)28線性相關(guān)29另證:由于是列滿秩矩陣,故線性相關(guān)上面秩<3殊途同歸30例7重要結(jié)論設(shè)向量組能由向量組線性表示為且A組線性無(wú)關(guān)。證明B組線性無(wú)關(guān)的充要條件是證法一(適用于一般的線性空間)設(shè)31例3求向量一個(gè)最大無(wú)關(guān)組,并把其余向量用該最大無(wú)關(guān)組表出.矩陣的秩=?線性無(wú)關(guān)嗎?是最大無(wú)關(guān)組嗎?閱讀書P109例33233是右邊的最大無(wú)關(guān)組是左邊的最大無(wú)關(guān)組總結(jié)矩陣的行初等變換不改變矩陣的列向量組的線性關(guān)系。引理234定理3.3.2

注:以前我們把向量組與它們排成矩陣的符號(hào)混用，而且把它們的秩的符號(hào)也混用正是由于三秩相等這個(gè)原因。但對(duì)于無(wú)限向量組符號(hào)就不能混用了。向量組的秩與矩陣秩的關(guān)系三秩相等定理35證(以前證過)例2證明齊次方程組的解集是一個(gè)向量空間.以后稱為齊次方程組的解空間.36定義設(shè)是一向量組,稱為由該向量組生成的(或張成的)向量空間.記為特別地,由矩陣A的列向量生成的向量空間稱為A的列空間(或稱像空間或稱值域).記為R(A)37六、正交矩陣定義正交矩陣.A是正交矩陣定理A的列組是規(guī)范正交組A的行組是規(guī)范正交組38非齊次方程組解的存在性定理定理4.1.1對(duì)于非齊次方程組(4-1)向量可由A的列向量組線性表示。39定理4.1.3對(duì)于齊次方程組(1)A的列向量組線性無(wú)關(guān)(2)A的列向量組線性相關(guān)推論1當(dāng)方程的個(gè)數(shù)m小于未知量的個(gè)數(shù)n，則(4-3)必有非零解。40例3證明設(shè),首先證明利用這一結(jié)論證重要結(jié)論41例4求一個(gè)齊次方程組,使它的基礎(chǔ)解系為記之為AB=O,這相當(dāng)于要解矩陣方程,習(xí)慣把未知的A放在右邊,轉(zhuǎn)置,只需解然后再把這些解拼成的列(A的行)即可.

解得基礎(chǔ)解系設(shè)所求的齊次方程組為,則取即可.解42例7設(shè)四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為3,已知是它的三個(gè)解向量,且求該方程組的通解.解取,則它就