新高考二輪復(fù)習(xí)真題源導(dǎo)數(shù)專題講義第31講 必要性探路法（解析版）

第31講必要性探路法1．（2021·山西·晉中市新一雙語(yǔ)學(xué)校模擬預(yù)測(cè)（文））已知函數(shù)（1）若函數(shù)與有公共點(diǎn)，求的取值范圍；（2）若不等式恒成立，求整數(shù)的最小值.【答案】（1）；（2）最小值為.【分析】（1）由，可得，函數(shù)與有公共點(diǎn)，即有解，設(shè)，求導(dǎo)數(shù)，求出函數(shù)的值域即可.

（2）不等式恒成立，即恒成立，當(dāng)時(shí)，成立，解得，故再驗(yàn)證時(shí)，不等式成立即可得出答案.【詳解】解：（1）令，即，則，函數(shù)與有公共點(diǎn)，即有解.令，則.令，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以且當(dāng)時(shí)，所以.（2）不等式恒成立，即恒成立.則時(shí)，成立，解得，由題意求滿足條件的整數(shù)最小值，下面驗(yàn)證是否滿足題意.當(dāng)時(shí)，令，且在上單調(diào)遞增.又，可知存在唯一的正數(shù)，使得，即，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以，即當(dāng)時(shí)，不等式成立.故整數(shù)的最小值為【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查根據(jù)兩函數(shù)圖像有公共點(diǎn)求參數(shù)范圍和不等式恒成立求參數(shù)范圍，解答本題的關(guān)鍵是先根據(jù)時(shí)，不等式成立，求處一個(gè)參數(shù)的范圍，然后根據(jù)題目要求再驗(yàn)證滿足條件，從而得出答案.屬于中檔題.2．（2021·北京·北師大二附中未來(lái)科技城學(xué)校高三階段練習(xí)）已知，，．（1）若，證明：；（2）對(duì)任意都有，求整數(shù)的最大值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）2．【分析】（1）利用二次求導(dǎo)求得存在唯一零點(diǎn)，使得，在上恒成立上可以證明在定義域上的單調(diào)性，可知，便可證明結(jié)論.（2）先判斷整數(shù)可知，接著證明在區(qū)間上恒成立即可可出結(jié)論.【詳解】解：（1）證明：設(shè)，，則．因?yàn)?，且則在，單調(diào)遞減，，所以存在唯一零點(diǎn)，使得則在時(shí)單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減又，所以在上恒成立上，所以在單調(diào)遞增則，即，所以．（2）因?yàn)閷?duì)任意的，即恒成立令，則由（1）知，所以由于為整數(shù)，則因此下面證明，在區(qū)間上恒成立即可.由（1）知，則故設(shè)，，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以在上恒成立.綜上所述，的最大值為2．3.是否存在正整數(shù)，使得對(duì)一切恒成立?試求出的最大值.解:易知對(duì)一切恒成立，當(dāng)可得，則僅可取1、2下證時(shí)不等式恒成立，設(shè)在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，所以最大為2.4.求k的最大整數(shù)值.解:令，顯然因此的最大整數(shù)值可能是4，下證時(shí)恒成立由即所以5.求使得在上恒成立的最小整數(shù)解:令，則必有成立，此時(shí)解得即符合條件下證時(shí)，恒成立 由6．（2019?蘇州三模）已知函數(shù)，其中．（Ⅰ）函數(shù)的圖象能否與軸相切？若能，求出實(shí)數(shù)，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；（Ⅱ）求最大的整數(shù)，使得對(duì)任意，，不等式恒成立．【解答】解：（Ⅰ）．假設(shè)函數(shù)的圖象與軸相切于點(diǎn)，則有，即．顯然，，代入方程中得，．△，方程無(wú)解．故無(wú)論取何值，函數(shù)的圖象都不能與軸相切；（Ⅱ）依題意，恒成立．設(shè)，則上式等價(jià)于，要使對(duì)任意，恒成立，即使在上單調(diào)遞增，在上恒成立．（1），則，在上成立的必要條件是：．下面證明：當(dāng)時(shí)，恒成立．設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，即，．那么，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，，恒成立．因此，的最大整數(shù)值為3．7.（2021?湛江三模）已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)．（1）討論在區(qū)間內(nèi)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）若，時(shí)，恒成立，求整數(shù)的最小值．【解答】解：（1）由，得，令，則，，，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，即在區(qū)間內(nèi)無(wú)極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，，故，故在單調(diào)遞增，又，，故存在，使得，且時(shí)，，遞減，，時(shí)，，單調(diào)遞增，故為的極小值點(diǎn)，此時(shí)在區(qū)間內(nèi)存在1個(gè)極小值點(diǎn)，無(wú)極大值點(diǎn)；綜上：當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)無(wú)極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)存在1個(gè)極小值點(diǎn)，無(wú)極大值點(diǎn)．（2）若，時(shí)，恒成立，則，故，下面證明時(shí)，在，恒成立，，時(shí)，，故時(shí)，，令，，，故，令，則，在區(qū)間，單調(diào)遞增，又，故在，上單調(diào)遞減，又，，故存在，，使得，且，時(shí)，，遞增，，時(shí)，，單調(diào)遞減，故時(shí)，取得最大值，且，，，，故單調(diào)遞減，故，時(shí)，即成立，綜上，若，時(shí)，恒成立，則整數(shù)的最小值1．8．已知函數(shù)（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．（1）當(dāng)時(shí)，求證：函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)處的切線斜率均大于；（2）若對(duì)于任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解答】解：（1）證明：時(shí)，，，設(shè)，則，令，解得：，故在區(qū)間遞減，在遞增，故的最小值是，即對(duì)任意恒成立，故函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)處的切線斜率均大于；（2）先證對(duì)任意，，，，令，，令，解得：，故在區(qū)間遞增，在遞減，故，故，令，，，令，解得，故在區(qū)間遞減，在區(qū)間遞增，故，故，遞增，故，故，，，對(duì)于任意，恒成立，，故，當(dāng)時(shí)，，即對(duì)于任意的，恒成立，綜上，的取值范圍是．9．函數(shù)．（1），求的單調(diào)區(qū)間；（2）若在，上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）令函數(shù)，求證：．【解答】解：（1），，，當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，，的單調(diào)遞減區(qū)間是，．（2）不等式恒成立等價(jià)于，令，則由，可得到，可以看作是關(guān)于的一次函數(shù)，單調(diào)遞增，令，對(duì)于，，，恒成立，只需證明即可，，當(dāng)，，則，在上單調(diào)遞減，又，所以此時(shí)恒成立．當(dāng)時(shí)，恒成立；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，，所以在上存在唯一的，使得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，所以在時(shí)單調(diào)遞減，在，時(shí)單調(diào)遞增，，，，恒成立，故恒成立，．（3）證明：由（2）可知，，令，，，2，，8，可得到，從而，即得證．10．（Ⅰ）證明：，，；（Ⅱ）若在，上恒成立，求的取值范圍；（Ⅲ）已知函數(shù)，若正實(shí)數(shù)，滿足，證明：當(dāng)時(shí)，恒有．【解答】解：（1）令，當(dāng)，時(shí)，，故在區(qū)間，上單調(diào)遞增，從而，由于為偶函數(shù)，所以當(dāng)，時(shí)，，故，，．（2）結(jié)合（1）可知，所以，易證，故為原不等式成立的必要條件，下面證明充分性，當(dāng)時(shí)，，令，易知為偶函數(shù)．設(shè)，，則，令，則，故在，上單調(diào)遞減，即，故在，上單調(diào)遞減，，故當(dāng)時(shí)，原不等式在，上恒成立，綜上，的取值范圍為，．（3）當(dāng)時(shí)，，在（2）中令，，則有，下面證明即可，即證，解法一：，即，，，易知在處取得最小值1，則，又，所以．綜上，當(dāng)時(shí)，恒有．解法二：不妨令，在上，，則在上單調(diào)遞增，又（1），所以要使，則需，要證，即證，即證，又，所以即證，設(shè)，，，則，故在，上單調(diào)遞增，（1）（1），令，可得，所以，即，所以．綜上，當(dāng)時(shí)，恒有．11．已知，，．（1）若，，證明：；（2）對(duì)任意，都有，求整數(shù)的最大值．【解答】解：（1）設(shè)，則．注意到，因?yàn)?，，因?yàn)?，則在，單調(diào)遞減，所以（1），，，所以存在唯一零點(diǎn)，使得則在時(shí)單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，又（1），，