計算機數學03教程文件

計算機數學03基本要求掌握函數的單調性并理解期意義。

了解簡章最優(yōu)化數學模型。

掌握如何利用導數研究函數的單調性、極值、曲線的凹向、拐點問題。

了解邊際與彈性的概念，并會解答相關的經濟應用問題。

掌握羅爾定理與拉格朗日中值定理，并能熟練運用兩定理證明有關命題。重點難點重點：函數的單調性、極值、曲線的凹向、拐點問題。簡單的最優(yōu)化問題的解法。難點：導數的概念、導數公式和求導法則。三個中值定理的應用、函數的極值、導數在經濟分析中的應用。3.1函數的單調性3.1.1拉格朗日(Lagrange)中值定理拉格朗日中值定理：設y＝f(x)為區(qū)間I上的可導函數，P(a，f(a))與Q(b，f(b))是曲線y＝f(x)上任意兩點，將直線段PQ平行移動，在區(qū)間(a，b)內總能找到一個位置，使之與曲線恰好相切(如圖)。定理3.1

設函數y＝f(x)在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內可導，則在

(a，b)內至少存在一點ξ，使得推論若在區(qū)間I上f′(x)≡0，則f(x)≡C。證在區(qū)間I上任取兩點x1，x2，不妨設x1＜x2，則容易看出f(x)在以x1，x2為端點的區(qū)間上滿足定理3.1的條件，所以必有ξ∈(x1，x2)，使

f(x2)－f(x1)＝f′(ξ)(x2－x1)，而由條件f′(x)≡0知f′(ξ)＝0，從而有

f(x1)＝f(x2)。由x1，x2的任意性可知，在區(qū)間I上一切不同點的函數值均相等，所以存在常數C使f(x)≡C。證畢。3.1.2函數單調性的判定定理3.2

設函數f(x)在(a，b)內可導。

(1)若對任意x∈(a，b)，恒有f′(x)＞0，則f(x)在(a，b)內單調增加；

(2)若對任意x∈(a，b)，恒有f′(x)＜0，則f(x)在(a，b)內單調減小。證在區(qū)間(a，b)內任取兩點x1，x2且x1＜x2，由拉格朗日中值定理得，存在ξ∈(x1，x2)使f(x2)－f(x1)＝f′(ξ)(x2－x1)。

(1)若對任意x∈(a，b)，有f′(x)＞0，則f′(ξ)＞0，從而f(x2)＞f(x1)，所以，f(x)在(a，b)內單調增；

(2)若對任意x∈(a，b)，有f′(x)＜0，則f′(ξ)＜0，從而f(x2)＜f(x1)，所以，f(x)在(a，b)內單調減。證畢。3.2函數的極值3.2.1函數極值的定義定義3.1設函數y＝f(x)在點x0的某鄰域內有定義。若對該鄰域內任意的x，總有f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0))，則稱f(x0)為函數f(x)的極大值(或極小值)，稱x0為f(x)的極大值點(或極小值點)。極大值與極小值統(tǒng)稱為函數的極值，極大值點與極小值點統(tǒng)稱為函數的極值點。3.2.2函數極值的判定與求法定理3.3(極值存在的必要條件)如果函數f(x)在點x0處有極值f(x0)，且f(x)在x0處可導，則f′(x0)＝0。定理3.4(第一充分條件)

設函數f(x)在x0的某鄰域(x0－δ，x0+δ)內連續(xù)、可導(但f′(x0)可以不存在)。

(1)若當x∈(x0－δ，x0)時，f′(x)＞0，而當x∈(x0，x0+δ)時，

f′(x)＜0，則函數f(x)在x0處取得極大值f(x0)；

(2)若當x∈(x0－δ，x0)時，f′(x)＜0，而當x∈(x0，x0+δ)時，

f′(x)＞0，則函數f(x)在x0處取得極小值f(x0)；

(3)若當x∈(x0－δ，x0+δ)(x≠x0)時，恒有f′(x0)＞0或恒有

f′(x0)＜0，則f(x)在x0處無極值。定理3.5(第二充分條件)設函數f(x)在x0存在二階導數，且f′(x0)＝0，f″(x0)≠0。

(1)若f″(x0)＞0，則f(x)有極小值f(x0)；

(2)若f″(x0)＜0，則f(x)有極大值f(x0)。3.3函數曲線的凹向與漸近線3.3.1曲線的凹向與拐點

凹向：如圖，曲線y＝f(x)在［a，b］內一直是上升的，但其彎曲方向是變化的，在A點的左側曲線向下凹，而在A點的右側曲線向上凹。曲線的這種向上凹或向下凹的性質。定義3.2如果在某區(qū)間內的一段連續(xù)且處處有切線的曲線弧總位于其上任意一點(除端點外)的切線的上方(或下方)，那么稱該曲線段是上凹(或下凹)的。

切線斜率與凹向的關系：如圖(a)，曲線上的點從左向右移動時，曲線在該點的切線的斜率單調增加，此時的曲線總位于切線的上方，即曲線是上凹的。反之，當切線斜率單調減小時，曲線總位于切線的下方，即曲線是下凹的。如圖(b)。定理3.6(曲線凹向判定定理)

函數y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內有二階導數。

(1)若對任意的x∈(a，b)，有f′(x)＞0，則曲線y＝f(x)在(a，b)內是上凹的；

(2)若對任意的x∈(a，b)，有f′(x)＜0，則曲線y＝f(x)在(a，b)內是下凹的。定義3.3曲線的上凹與下凹部分的分界點稱為曲線的拐點。3.3.2曲線的漸近線定義3.4

如果曲線上的動點沿著曲線趨于無窮遠時，動點與某直線的距離趨于零，那么稱此直線為曲線的漸近線。曲線有漸近線條件：

(1)水平漸近線

(2)鉛直漸近線

(3)斜漸近線3.4簡單最優(yōu)化數學模型區(qū)間［a,b］上的函數f(x)的極值點xi(i＝1,2,…，n)，則f(x)在［a,b］的最大值M和最小值m分別是：M＝max{f(a),f(b),f(x1)，f(x2)，…，f(xn)}，m＝min{f(a),f(b),f(x1)，f(x2)，…，f(xn)}。若f(x)在［a,b］內只有一個極值點x0(如圖)，則容易看出f(x0)就是f(x)在［a,b］上的最小值(圖(a))或最大值(圖(b))。3.5演示與實驗三3.5.1實驗目的

1.學習用Mathematica分析函數的單調性、極值、凹向、拐點；

2.學習用Mathematica直接求函數的極值，解簡單最優(yōu)化問題。3.5.1實驗目的大家知道，只要畫出了函數圖形，函數的幾何形態(tài)就一目了然，但僅憑觀察幾何圖形不能準確地找出極值點、拐點等，況且計算機繪圖有時也會有一些偏差，因此，只有將數值計算與幾何圖形結合起來綜合