第3章 一元函數(shù)積分學

*1第三章一元函數(shù)積分學

引言積分學分為不定積分與定積分兩部分。不定積分是作為函數(shù)導數(shù)的反問題提出的，而定積分是作為微分的無限求和引進的，兩者概念不相同，但在計算上卻有著緊密的內在聯(lián)系。*2本章主要研究不定積分和定積分的概念、性質及基本積分方法，并揭示二者的聯(lián)系，從而著重論證微積分學核心定理（牛頓萊—布尼茨公式）,解決定積分的計算問題，同時研究定積分在幾何、物理及醫(yī)學等方面的應用，最后簡單研究廣義積分。*3本章主要內容：第3.1節(jié)不定積分第3.2節(jié)不定積分的計算第3.3節(jié)定積分第3.4節(jié)定積分的計算第3.5節(jié)廣義積分*43.1不定積分3.1.1不定積分的概念一、不定積分定義在小學和中學我們學過逆運算：如：加法的逆運算為減法乘法的逆運算為除法指數(shù)的逆運算為對數(shù)*5微分法：積分法：互逆運算*6原函數(shù)(primitivefunction)定義定義1在某一區(qū)間上F(x)

f(x)，則稱F(x)為f(x)在這個區(qū)間上的一個原函數(shù)。例： (x2)2x (sinx)cosx所以 x2是2x的一個原函數(shù)

sinx是

cosx的一個原函數(shù)*7不定積分因為(x2)

2x，(x21)2x，

(x2ln2)2x設F(x)、G(x)都是f(x)的一個原函數(shù)，則：[G(x)F(x)]

G(x)F(x)

f(x)f(x)0從而G(x)F(x)

C

即G(x)

F(x)C定理1如果F(x)是f(x)的一個原函數(shù),則：f(x)的所有原函數(shù)可表示為F(x)C。*8不定積分定義定義2

函數(shù)f(x)的所有原函數(shù)，稱為f(x)的不定積分。記作：如果F(x)是f(x)的一個原函數(shù),則由定義有積分號積分變量被積函數(shù)積分表達式積分常數(shù)*9因為x2,sinx分別是2x,cosx

的一個原函數(shù)，所以求已知函數(shù)的原函數(shù)的方法稱為不定積分法或簡稱積分法。積分法是微分法的逆運算。*10二、不定積分的幾何意義f(x)的一個原函數(shù)F(x)的圖形,稱為f(x)的積分曲線。yF(x)yF(x)Cx0yox其斜率都是f(x),所以積分曲線上橫坐標相同處切線彼此平行。表示一族積分曲線。*113.1.2不定積分的基本公式和運算法則一、不定積分的基本公式由不定積分的定義可知，不定積分就是微分運算的逆運算。因此，有一個導數(shù)或微分公式，就對應地有一個不定積分公式。*12不定積分的基本公式*13不定積分性質1.(f(x)dx)

f(x)或df(x)dx

f(x)dx2.F(x)dx

F(x)C或dF(x)

F(x)C*14二、不定積分的運算法則1.af(x)dx

af(x)dx2.[f(x)

g(x)]dx

f(x)dx

g(x)dx*15例3.1.1*163.2不定積分的計算利用基本積分公式及不定積分的性質直接計算不定積分，有時很困難，因此，需要引進一些方法和技巧。下面介紹不定積分的兩大積分方法：換元積分法與分部積分法*173.2.1換元積分法

通過適當?shù)淖兞孔儞Q,使復雜的積分轉換為簡單的積分,稱為換元積分法*18一、第一類換元積分法（湊微分法）例3.2.1*19第一類換元積分法步驟如下：*20例3.2.2*21解6*22解7*23解8*24解9*25續(xù)*26*思考題：*27解1*28解2*29解3*30解4*31總結如下：*32二、第二類換元積分法第一類換元積分法是利用湊微分的方法，把一個較復雜的積分化成便于利用基本積分公式的形式，但是，有時不易找出湊微分式，卻可以設法作一個代換x

(t)，而積分

f(x)dx

f[(t)](t)dt可用基本積分公式求解*33定理2設f(x)連續(xù),x

(t)是單調可導的連續(xù)函數(shù),且其導數(shù)(t)0,x(t)的反函數(shù)t–1(x)存在且可導,并且f[(t)](t)dtF(t)C,則f(x)dxF[–1(x)]C*34例3.2.3**35解1*36解2*37解3*38特例用尤拉代換計算解：*39解4*40解5*41解6*42解7*43解8*44解9*45解10*46三.

幾個積分公式：*47續(xù)*483.2.2分部積分法(integrationbyparts)如果u

u(x)與v

v(x)都有連續(xù)的導數(shù)，則由函數(shù)乘積的微分公式d(uv)

vduudv

移項得udv

d(uv)vdu從而 udv

uvvdu這個公式叫作分部積分公式,當積分udv不易計算，而積分vdu

比較容易計算時，就可以使用這個公式。*49例3.2.4**50解1uvuv*51解2uvuv*52解3*53解4*54解5*55另解5*56解6*57解7*58總結*593.2.3*

有理函數(shù)積分簡介有理函數(shù)總可以寫成兩個多項式的比其中n為正整數(shù),m為非負整數(shù),a00,b00,設分子與分母之間沒有公因子,當n＞m時,叫做真分式;當mn時,叫做假分式,假分式可以用除法把它化為一個多項式與一個真分式之和。*60例3.2.5**61解1*62解2*63解3*64續(xù)*65總結“積不出”的積分：*663.2.4*

積分表的使用例3.2.6*67P112四6(13)*68P112四8(3)*69解法二*703.3定積分在初等數(shù)學中，我們會求有規(guī)則的圖形面積，如三角形、圓形、多邊形的面積，但是對無規(guī)則封閉曲線圍成的平面圖形面積如何計算，就是定積分解決的問題。計算這類平面圖形的面積，最終歸結為求特定結構的和式極限。定積分在科學技術和醫(yī)藥等領域有廣泛的應用，本節(jié)將研究它的概念、性質、計算及其應用。*713.3.1定積分的概念我們先介紹曲邊梯形的概念，然后由求曲邊梯形面積和變速直線運動的路程入手，引出定積分的概念。*72一、曲邊梯形的面積設yf(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),且f(x)0,則由直線xa,xb,x軸及曲線yf(x)所圍成的圖形aMNb稱做曲邊梯形(curvilineartrapezoid)。*73abxyo用矩形面積近似取代曲邊梯形面積顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積。abxyo（四個小矩形）（九個小矩形）觀察下列演示過程,注意當分割加細時,矩形面積和與曲邊梯形面積的關系。播放*75曲邊梯形如圖所示在[a,b]內插入n1個分點：ax0<x1<x2<…<xi1<xi<…<xn1<xnb。將區(qū)間分成n個小區(qū)間[xi1,xi],長度為xixixi1,在每個小區(qū)間上任取一點i(xi1ixi)。以[xi1,xi]為底,f(i)為高的小矩形面積為：Ai

f(i)xiabxyo*76曲邊梯形面積的近似值當分割無限加細，即小區(qū)間的最大長度，趨近于零(0)時，曲邊梯形面積為：*77二、變速直線運動的路程設某物體作直線運動,已知速度vv(t)是時間間隔[T1,T2]上t的一個連續(xù)函數(shù),且v(t)0,求物體在這段時間內所經(jīng)過的路程。思路：把整段時間分割成若干小段，每小段上速度看作不變，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通過對時間的無限細分過程求得路程的精確值。*78（1）分割：T1t0<t1<t2<…<tn1<tnT2（2）取近似：（3）求和：（路程的精確值）（4）取極限：部分路程值某時刻的速度*79三、定積分的定義設f(x)在[a,b]上有界,在[a,b]內任意插入n1個分點：ax0<x1<…<xi1<xi<…<xnb。將[a,b]分成n個長度為：xixixi1(i1,2,…,n)的小區(qū)間,在每個小區(qū)間[xi1,xi]上任取一點i(xi1ixi),作和式：不論小區(qū)間如何劃分以及i如何選取,只要0時有同一極限存在,則稱此極限值為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分。*80積分上限積分下限積分和被積表達式被積函數(shù)積分變量記作：[a,b]積分區(qū)間*81根據(jù)定積分定義：曲邊梯形面積變速直線運動的路程*82關于定積分定義，有幾點注明：1)定積分是一個和式的極限，是唯一的一個數(shù)，它只與被積函數(shù)和積分上、下限有關，與積分變量無關。即*832)為了定積分定義的完整性，規(guī)定：3)可積性：被積函數(shù)在積分區(qū)間有界是可積的必要條件，連續(xù)函數(shù)是定積分存在的充分條件*844)定積分的幾何意義。f(x)>0，為曲線yf(x)和x軸及兩條直線xa、xb所圍曲邊梯形面積f(x)<0，是一個負數(shù)，其絕對值為曲線yf(x)和x軸及兩條直線xb、xc所圍曲邊梯形面積一般地，定積分為曲線yf(x)和x軸及兩條直線xa、xd所圍曲邊梯形面積的代數(shù)和*85舉例：用定義求定積分yx2在[0,1]上連續(xù)，定積分存在。故可將[0,1]區(qū)間n等份：0x0<x1<…<xi<…<xn1，且取小區(qū)間的右端點。*863.3.2定積分的性質性質1若函數(shù)f1(x)、f2(x)在區(qū)間[a,b]上可積，則f1(x)

f2(x)在[a,b]上也可積,且性質2若函數(shù)f(x)在[a,b]上可積,則cf(x)在[a,b]也可積,c為任意常數(shù),且*87性質3若函數(shù)f(x)在[a,b]上可積,且a<c<b

則注：可以證明如果c在[a,b]之外,此性質也成立*88性質4若f(x)和g(x)在[a,b]上都可積，并有f(x)g(x),則推論1設m,M分別為f(x)在[a,b]上的最小值和最大值，則*89性質5（積分中值定理）若f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在[a,b]上至少存在一點,使思考：這個性質的幾何意義是？*90證性質5由f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)可知，在[a,b]上一定有最大值M、最小值m

，再由本章推論1可知：再由在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值性可知在[a,b]上至少存在一點，使得：*913.4定積分的計算3.4.1微積分基本定理一、積分上限函數(shù)的導數(shù)2.定理3：(x)

f(x)1.函數(shù)的定義：*92例3.4.1*93例3.4.2*94例3.4.3解：該極限為0/0型不定式，據(jù)洛必達法則知*95二、微積分基本定理微積分基本定理也可叫做牛頓—萊布尼茨(Newton-Leibniz)公式，它是用求原函數(shù)的方法計算定積分的數(shù)值．定理4若f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，并且F(x)是[a,b]上的一個原函數(shù)，則*96例3.4.4*973.4.2

定積分的換元積分法一.

定積分的換元積分法定理5設函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù);函數(shù)x(t)在區(qū)間[,]上單調且有連續(xù)的導數(shù)(t)。當t在區(qū)間[,]上變化時,x(t)的值在區(qū)間[a,b]上變化,且有()a,()b,則*98證明：由于f(x)在[a,b]上連續(xù)，F(xiàn)(x)的一個原函數(shù)存在，則有：由于(t)連續(xù),f((t))(t)在[,]上連續(xù),從而有原函數(shù)存在,由于F(x)是f(x)的一個原函數(shù),F((t))也是f((t))(t)的一個原函數(shù),由定理4有*99例3.4.5*100例3.4.6思考：幾何意義？*101思考：錯在哪里？*102例3.4.7

設f(x)是相應區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),證明(2)若f(x)是偶函數(shù),則(1)若f(x)是奇函數(shù),則思考：幾何意義？*103證：*1043.4.3定積分的分部積分法例3.4.8*1053.4.4定積分的應用一、微元法在應用定積分解決實際問題時，關鍵是將實際問題歸結為定積分。定積分的定義導出有四步：

1.分割

2.近似替代

3.求和

4.取極限*106具體問題只要抓住如下兩步便可：1.在區(qū)間[a,b]上任取一點x，在區(qū)間[x,xdx]作微元dAf(x)dx,使得：AdAo(x)2.對[a,b]上每一點x的微元無限累加，即這種通過微元簡化定積分定義的過程的作法稱為微元法。*107o(x)*108例3.4.9已知物體直線運動的速度是v(t),計算從時刻a到時刻b物體運動的路程。解：(1)在[a,b]上任取一時刻t，則時刻t到tdt時間內物體運動的路程微元

ds

v(t)dt

（路程速度時間）(2)所求路程是各微元從a到b的無限累加求和，也就是微元ds從a到b的定積分*109二、平面圖形的面積1.沿x軸積分*1102.沿y軸積分*111例3.4.10求由兩條曲線y

x2與x

y2圍成的平面圖形面積。xx解：兩條曲線的交點是(0,0)、(1,1)*112例3.4.11求拋物線y22x及直線y

x4所圍成圖形的面積。*113*114將y作為積分變量,沿y軸積分。*115三、旋轉體的體積旋轉體可以看成由一個平面圖形繞某一軸旋轉一周而成的體積，叫旋轉體(volumesofrevolution)。例如矩形繞它一條直角邊旋轉一周便得到圓柱體，直角三角形繞它的一條直角邊旋轉便得圓錐體等等。*116繞x軸旋轉曲邊梯形：yf(x),xa,xb,y0繞x軸旋轉xyf(x)abyxxdx111111111*117繞y軸旋轉曲邊梯形：xf-1(y),x0,yc,yd繞y軸旋轉*118例3.4.12求橢圓上半部與x軸所圍圖形繞x軸旋轉而成的體積。解：橢圓上半部的方程為*119例3.4.13求由拋物線y

x2及直線x2,x軸所圍成的平面圖形繞y軸旋轉而成的體積解：設所求體積為V，V圓柱體體積(yx2繞y軸旋轉成的體積)*120四、平面曲線弧長設yf(x)在[a,b]上有連續(xù)導數(shù)f(x),求曲線在[a,b]上的弧長。用微元法,在[a,b]上取小區(qū)間[x,xdx],相應地截取一小段弧AD,過A作切線AC,則BCdy,若dx很小,則ACAD,而*121例3.4.14證明半徑為a的圓的周長為2a。解：設半徑a的圓的方程為x2y2a2,則*122五、變力所作的功我們知道一個常力F將物體沿力的方向從點a移到點b,所做的功WF(ba)。如何求變力F(x)將物體沿力的方向從點a移到點b所做的功W？在[a,b]內任取一點x,小區(qū)間[x,xdx]上功的微元dW

F(x)dx*123例3.4.15底半徑為3m,高為2m的園錐形水池裝滿了水,欲將池水全部抽出,需作多少功。解：*124六、定積分在醫(yī)藥學中的應用例3.4.16在測定病人胰島素時,先讓病人禁食以達到降低體內血糖水平,然后通過給病人注射大量的糖，假設測得病人血液中胰島素的濃度c(t)(單位/ml)符合分段函數(shù)其中K(ln2)/10,時間t的單位為分鐘,試求血液中胰島素在一小時內的濃度變化的平均值。*125解：由函數(shù)的平均值公式，有*126例3.4.17假定長為L,半徑為R

的一段血管,左端為相對動脈管,其血壓為p1,右端為相對靜脈管,血壓為p2,且p1>p2。若血管某截面上某一點與血管中心距離為r,其流速v(r)其中為血液黏滯系數(shù),求單位時間內,通過該截面的血流量Q。*127*128解：將半徑為R的截面圓上,求出通過截面的某個圓環(huán)的血流量Q的近似值。在[0,R]上任取一點r,在[r,rr]上圓環(huán)面積近似值為2rr,所以在單位時間內,區(qū)間上的血流量微元是dQ

v(r)2rr*129課堂練習**130思考橢圓繞x軸與繞y軸旋轉所成的體積是否相同，為什么？*1313.5廣義積分在一些實際問題中，我們常遇到積分區(qū)間為無窮區(qū)間，或者被積函數(shù)為無界函數(shù)的積分，它們已經(jīng)不屬于前面所說的定積分了。因此，我們對定積分作如下兩種推廣，從而形成“廣義積分”的概念。無窮區(qū)間上廣義積分無界函數(shù)的廣義積分*132*1333.5.1無窮區(qū)間上廣義積分定義4設函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,)內連續(xù),b是[a,)內任一實數(shù),若極限存在,則稱此極限值為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,)內的廣義積分,記做并稱此時廣義積分收斂,否則,若不存在,則稱此時廣義積分發(fā)散。*134同樣可定義在區(qū)間(,

b]上的廣義積分f(x)在區(qū)間(,)上的廣義積分,如果對任意實數(shù)C,廣義積分都收斂,則稱廣義積分收斂或存在,否則稱為發(fā)散。*135例3.5.1計算廣義積分*136這個廣義積分值的幾何意義是：當a,b時,雖然圖中陰影部分向左、右無限延伸,但面積卻有極限值。簡單地說,它是位于曲線的下方,x軸上方的圖形面積。*137例3.5.2討論廣義積分斂散性。*1383.5.2*無界函數(shù)的廣義積分*139定義5設函數(shù)f(x)在(a,b]上連續(xù),且如果對于任意>