第5章 受彎構(gòu)件-梁

1第五章

受彎構(gòu)件-梁一、梁的型式和應(yīng)用5.1概述鋼結(jié)構(gòu)中廣泛應(yīng)用的鋼梁，常為實腹式受彎構(gòu)件，例如工業(yè)和民用建筑中的樓蓋梁、工作平臺梁、吊車梁、屋面檁條和墻架橫梁，以及橋梁、水工閘門、起重機、海上采油平臺中的梁等。鋼梁可分為型鋼梁（由型鋼制作的梁）和組合梁（由鋼板制作的梁）兩大類。型鋼梁構(gòu)造簡單，制造省工，成本較低，但截面尺寸受到型鋼規(guī)格的限制；在荷載較大或跨度較大時，由于型鋼的尺寸、規(guī)格不能滿足梁承載力和剛度的要求，就必須采用組合梁。

2型鋼梁

組合梁

3為了更好發(fā)揮材料的性能，可以做成截面沿梁長度方向變化的變截面梁。根據(jù)梁的支承情況，可將梁分為簡支梁、連續(xù)梁、懸伸梁等。簡支梁的用鋼量雖然較多，但由于制造、安裝、修理、拆換較方便，而且不受溫度變化和支座沉陷的影響，因而采用最為廣泛。按受力情況的不同，可以分為單向受彎梁和雙向受彎梁。

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在土木工程中，除少數(shù)情況如吊車梁、起重機大梁或上承式鐵路板橋梁等可單根梁或兩根梁成對布置外，通常由若干梁平行或交叉排列而成梁格，圖5-2即為工作平臺梁格布置示例。圖5-2工作平臺梁格5根據(jù)主梁和次梁的排列情況，梁格可分為三種類型：（1）簡單梁格［圖5-3(a)］只有主梁，適用于樓蓋或平臺結(jié)構(gòu)的橫向尺寸較小或面板跨度較大的情況。（2）普通梁格［圖5-3(b)］有主梁及一個方向的次梁，次梁由主梁支承，次梁上支承面板，是最為常用的梁格類型。（3）復(fù)雜梁格［圖5-3(c)］在主梁間設(shè)縱向次梁，縱向次梁間再設(shè)橫向次梁。荷載傳遞層次多，梁格構(gòu)造復(fù)雜，故應(yīng)用較少，只適用于荷載重和主梁間距很大的情況。

面板可用鋼筋混凝土板或鋼板以及鋼承板（壓型鋼板）與鋼筋混凝土的組合板和其它輕質(zhì)材料板，可設(shè)計為一個方向傳力的單向板或兩個方向傳力的雙向板。面板通常應(yīng)與支承梁上翼緣焊牢，以保證梁的整體穩(wěn)定。

6圖5-3梁格形式(a)疊接；(b)等高連接（升高連接），(c)降低連接

圖5-4主次梁連接型式

7二、鋼梁設(shè)計內(nèi)容鋼梁設(shè)計內(nèi)容主要包括強度、剛度、整體穩(wěn)定和局部穩(wěn)定四個方面。

1、強度

計算分為兩種方法。一種是按梁凈截面計算其抗彎強度和抗剪強度使其滿足要求。計算抗彎強度時，?？砂淳唧w情況考慮一定程度的塑性。對某些梁還應(yīng)計算腹板在垂直于梁軸線方向的局部壓應(yīng)力；以及上述幾種應(yīng)力引起的折算應(yīng)力；另一種方法是允許梁腹板在梁構(gòu)件整體失效前屈曲，考慮利用腹板屈曲后強度來計算梁的抗彎強度和抗剪強度，適用于一般梁即承受靜載的梁。對于象吊車梁這樣直接承受動載的梁，只能按第一種方法計算強度。

82、剛度梁的剛度一般按荷載的標準組合（取荷載標準值，不乘荷載分項系數(shù)或動力系數(shù)）引起的最大撓度v來衡量，應(yīng)不超過規(guī)范規(guī)定的容許撓度〔v〕，以保證梁的正常使用。用公式表達時為：

v≤[v]，或v/l≤[v]/l

（5-1）

3、整體穩(wěn)定鋼粱一般做成高而窄，在最大剛度平面內(nèi)受彎，在側(cè)向保持平直而無位移。當彎矩增大使受壓翼緣的最大彎曲壓應(yīng)力達到某一數(shù)值時，鋼梁會在偶然的很小的橫向干擾力下突然向剛度較小的側(cè)向發(fā)生彎曲，同時伴隨發(fā)生扭轉(zhuǎn)（圖5-5）；這時即使除去橫向干擾力，側(cè)向彎扭變形也不再消失，如彎矩9再稍增大，則彎扭變形隨即迅速增大，從而使鋼梁失去承載能力。這種因彎矩超過臨界限值而使鋼梁從穩(wěn)定平衡狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)椴环€(wěn)定平衡狀態(tài)并發(fā)生側(cè)向彎曲扭轉(zhuǎn)的現(xiàn)象稱為鋼梁喪失整體穩(wěn)定。使鋼梁喪失整體穩(wěn)定的截面最大彎矩和最大彎曲壓應(yīng)力稱為梁的臨界彎矩Mcr和臨界應(yīng)力σcr。當鋼梁的側(cè)向剛度較差，即受壓翼緣寬度b較小而其側(cè)向支承點間的自由長度l1較大時，σcr常小于鋼材屈服強度fy，比值φb＝σcr/fy、稱為鋼梁的整體穩(wěn)定系數(shù)。具體設(shè)計時，將屈服強度fy換成設(shè)計強度ｆ，可按下式計算：

σ＝M/φbW≤f（5-2）10鋼梁喪失整體穩(wěn)定在概念上與軸心受壓構(gòu)件喪失整體穩(wěn)定相同，都是由于構(gòu)件內(nèi)存在縱向壓應(yīng)力對剛度較小方向的偶然微小側(cè)向變形會引起附加側(cè)向彎矩，從而進一步加大側(cè)向變形，反過來又增大附加側(cè)向彎矩。所不同的是，鋼梁內(nèi)有半個截面是彎曲拉應(yīng)力，趨向于把受拉翼緣和截面受拉部分拉直（亦即使偶然側(cè)向變形減?。┒皇菈呵?。鋼梁受拉部分與受壓部分由腹板相連成整體，通過腹板的側(cè)向彎曲應(yīng)力和剪應(yīng)力而牽制受壓部分向側(cè)向變形。這樣，鋼梁喪失整體穩(wěn)定總是表現(xiàn)為受壓翼緣發(fā)生較大側(cè)向變形和與之用腹板相連的受拉翼緣發(fā)生較小側(cè)向變形的鋼梁彎扭屈曲（圖5-5）。11圖5-5簡支鋼梁喪失整體穩(wěn)定

124、局部穩(wěn)定

鋼梁一般由翼緣、腹板等板件組成，這些板件在梁受荷載作用時存在穩(wěn)定問題。

處理鋼構(gòu)件的板件局部穩(wěn)定，有兩種方法。其一是以屈曲為承載能力的極限狀態(tài)，并通過對板件寬厚比的限制，使之不在構(gòu)件整體失效之前屈曲。其二是允許板件在構(gòu)件整體失效之前屈曲，并利用其屈曲后強度，構(gòu)件的承載能力由局部屈曲后的有效截面確定。長期以來，熱軋型鋼組成的一般鋼結(jié)構(gòu)，大多采用前一種設(shè)計方式。近年來屈曲后強度的利用已經(jīng)逐漸推廣到一般鋼結(jié)構(gòu)?！朵摻Y(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范》GB50017—2003，除承受動荷載的吊車梁腹板仍以屈曲為極限狀態(tài)外，對承受靜載的梁增加了利用屈曲后強度的條文。13鋼梁內(nèi)彎曲正應(yīng)力呈三角形分布（邊緣可進入塑性）。受壓翼緣位于最外邊緣受壓纖維及其附近，整個翼緣的壓應(yīng)力都較大，一般接近于設(shè)計強度f

。故其局部穩(wěn)定可用軸心受壓構(gòu)件翼緣的同樣保證措施，即限制其寬厚比。鋼梁腹板承受彎曲應(yīng)力和剪應(yīng)力，有時還有局部壓應(yīng)力，應(yīng)力情況比較復(fù)雜。為適應(yīng)抗彎要求并節(jié)約鋼材，鋼梁常設(shè)計成腹板高度h0較大而厚度tw較薄。規(guī)范為保證腹板的局部穩(wěn)定，規(guī)定對一般梁（不直接受動載的梁），允許板件屈曲并利用其屈曲后強度；對于吊車梁等直接受動載的梁，則通過對板件寬厚比的限制，使之不在構(gòu)件整體失效之前屈曲來保證其局部穩(wěn)定，因而往往需要設(shè)置橫向加勁肋加強腹板，有時還需要在腹板受壓區(qū)設(shè)置縱向加勁肋。142梁的強度和剛度為了確保安全適用、經(jīng)濟合理，同其他構(gòu)件一樣，梁的設(shè)計必須同時考慮第一和第二兩種極限狀態(tài)。第一極限狀態(tài)即承載能力極限狀態(tài)。在鋼梁的設(shè)計中包括強度、整體穩(wěn)定和局部穩(wěn)定三個方面。如上所述梁的強度計算包括彎曲正應(yīng)力、剪應(yīng)力、局部壓應(yīng)力和折算應(yīng)力計算；而考慮腹板屈曲后強度的計算，后面專門闡述。第二種極限狀態(tài)即正常使用極限狀態(tài)。在鋼梁的設(shè)計中主要考慮梁的剛度。設(shè)計時要求梁有足夠的抗彎剛度，即在荷載標準值作用下，梁的最大撓度不大于規(guī)范規(guī)定的容許撓度。

15一、抗彎強度

梁受彎時的應(yīng)力一應(yīng)變曲線與受拉時相類似，屈服點也差不多，因此，鋼材是理想彈塑性體的假定，在梁的強度計算中仍然適用。當彎矩Mx由零逐漸加大時，截面中的應(yīng)變始終符合平截面假定［圖5-6(a)］，截面上、下邊緣的應(yīng)變最大，設(shè)為εmax。而正應(yīng)力的發(fā)展過程可分為下述三個階段：(1)彈性工作階段

彈性工作的極限情況是εmax≤fy/E〔圖5-6(b)〕，相應(yīng)的彎矩為梁彈性工作階段的最大彎矩，其值為：

Mxe＝fyWnx

（5-3）式中Wnx--梁凈截面對x軸的模量。16(2)彈塑性工作階段

當彎矩Mx繼續(xù)增加，最大應(yīng)變Emax>fy/E

，截面上、下各有一個高為a的區(qū)域，其應(yīng)變ε>fy/E。由于鋼材為理想的彈塑性材料，所以這個區(qū)域的正應(yīng)力恒等于fy，為塑性區(qū)。然而，應(yīng)變ε<fy/E

的中間部分區(qū)域仍保持彈性，應(yīng)力與應(yīng)變成正比。(3)塑性工作階段

當彎矩Mx再繼續(xù)增加，梁截面的塑性區(qū)便不斷向內(nèi)發(fā)展，彈性核心便不斷變小。當彈性核心幾乎完全消失[圖5-6(d)]時，彎矩Mx不再增加，而變形卻繼續(xù)發(fā)展，形成“塑性鉸”，梁的承載能力達到極限。其最大彎矩為：Mxp＝fy（Slnx＋S2nx）＝fywpnx

（5-4）17圖5-6梁受彎時各階段正應(yīng)力的分布情況塑性鉸彎矩Mxp與彈性最大彎矩Mxe之比為：（5-5）

此γF值只取決于截面的幾何形狀而與材料的性質(zhì)無關(guān)，稱為截面形狀系數(shù)。一般截面的γF值如圖5-7所示。18圖5-7截面形狀系數(shù)

可見，在計算梁的抗彎強度時，不考慮截面塑性發(fā)展是浪費鋼材的。但若按截面形成塑性鉸來設(shè)計則可能使梁的撓度過大，受壓翼緣過早失去局部穩(wěn)定。因此，鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范規(guī)定，在一定條件下有限地利用鋼材的塑性性能。19規(guī)范規(guī)定：計算梁的抗彎強度時，考慮截面部分發(fā)展塑性變形，因此引進了截面部分塑性發(fā)展系數(shù)γx

和γy。γx

和γy的取值原則是：

①使截面的塑性發(fā)展深度不致過大；②與壓彎構(gòu)件的有關(guān)計算規(guī)定相銜接。

雙軸對稱工字形組合截面梁對強軸彎曲時，全截面發(fā)展塑性時的截面塑性發(fā)展系數(shù)γu與截面的翼緣和腹板面積比b1t1/h0tw,及梁高和翼緣厚度比h/t1有關(guān)。當面積比為0.5和高厚比為100時，γu=1.136,當高厚比為50時,γu=1.148;當面積比為1、高厚比為100時，γu=1.082,當高厚比為50時,γu=1.093?，F(xiàn)考慮部分發(fā)展截面塑性，取用了γx=1.05，在面積比為0.5時，截面每側(cè)的塑性發(fā)展深度約各為截面高度的11.3％；當面積比為1時20此深度約各為截面高度的22.6％。因此，當考慮截面部分發(fā)展塑性時，宜限制面積比b1t1/hotw<1,使截面的塑性發(fā)展深度不致過大。同時為了保證翼緣不喪失局部穩(wěn)定，受壓翼緣自由外伸寬度與其厚度之比應(yīng)不大于13。在彎矩Mx作用下：

（5-6）

在彎矩Mx和My作用下：(5-7)21截面塑性發(fā)展系數(shù)γx、γy值

22γx、γy是考慮塑性部分深入截面的系數(shù)，與式(5-5)的截面形狀系數(shù)γF的含義有差別，故稱為“截面塑性發(fā)展系數(shù)”。為避免梁失去強度之前受壓翼緣局部失穩(wěn)，規(guī)范規(guī)定：梁受壓翼緣的自由外伸寬度ｂ與其厚度t之比不大于13，否則取γx=1.0。對于需要進行疲勞計算的梁，取γx、γy=1.0，即按彈性工作階段進行計算。fy為鋼材牌號所指屈服點，即不分鋼材厚度一律取為：Q235鋼為235N/mm2;Q345鋼為345N/mm2;Q390鋼為390N/mm2;Q420鋼為420N/mm2。23二、梁的抗剪強度一般情況下，梁既承受彎矩，同時又承受剪力。剪應(yīng)力的計算式為：（5-8）

按上式計算的工字形和槽形截面梁腹板上的剪應(yīng)力分布如圖5-8所示。圖5-8腹板剪應(yīng)力

24三、梁的局部承壓強度

當梁在固定集中荷載（包括支座反力）作用處未設(shè)置支承加勁肋時[圖5-9(a)]、或受有移動的集中荷載（如吊車的輪壓）[圖5-9(b)]作用時，應(yīng)驗算梁腹板計算高度邊緣的局部壓應(yīng)力σc。圖5-9局部壓應(yīng)力

25在集中荷載作用下，翼緣（在吊車梁中，還包括軌道）類似支承于腹板的彈性地基梁。腹板計算高度邊緣的壓應(yīng)力分布如圖5-9(c)的曲線所示。假定集中荷載從作用處以1:2.5（在hy高度范圍）和1:1(在hR高度范圍)擴散，均勻分布于腹板計算高度邊緣。按這種假定計算的均布壓應(yīng)力σc與理論上的局部壓應(yīng)力最大值十分接近。因此，梁的局部承壓強度可按下式計算：

（5-9）

式中F—集中荷載，對動力荷載應(yīng)考慮動力系數(shù)；ψ—集中荷載增大系數(shù)：對重級工作制吊車輪壓，ψ=1.35；對其他荷載，ψ=1.0；26lz—集中荷載在腹板計算高度邊緣的假定分布長度，其計算方法如下：跨中集中荷載lz=a+5hy+2hR梁端支反力lz=a＋2.5hy+a1a—集中荷載沿梁跨度方向的支承長度，對吊車輪壓可取為50mm；hy—自梁承載的邊緣到腹板計算高度邊緣的距離；hR—軌道的高度，計算處無軌道時hR=0；a1—梁端到支座板外邊緣的距離，按實際長度取，但不得大于2.5hy。27腹板的計算高度h。：對軋制型鋼梁為腹板在與上、下翼緣相交接處兩內(nèi)弧起點間的距離；對焊接組合梁，為腹板高度；對鉚接（或高強度螺栓連接）組合梁，為上、下翼緣與腹板連接的鉚釘（或高強度螺栓）線間最近距離。當計算不滿足要求時，在固定集中荷載處（包括支座處），應(yīng)對腹板用支承加勁肋予以加強，并對支承加勁肋進行計算。通常應(yīng)在固定集中荷載作用處設(shè)置支承加勁肋，此時σc=0；對移動集中荷載，則只能修改梁截面，加大腹板厚度。28四、折算應(yīng)力在組合梁的腹板計算高度邊緣處，當同時受有較大的正應(yīng)力、剪應(yīng)力和局部壓應(yīng)力時，或同時受有較大的正應(yīng)力和剪應(yīng)力時（如連續(xù)梁的支座處或梁的翼緣截面改變處等），應(yīng)按下式驗算該處的折算應(yīng)力：（5-10）式中σ、τ、σc—腹板計算高度邊緣同一點上的彎曲正應(yīng)力、剪應(yīng)力和局部壓應(yīng)力。σ和σc均以拉應(yīng)力為正值，壓應(yīng)力為負值；β1—驗算折算應(yīng)力的強度設(shè)計值增大系數(shù)。當σ與σc異號時，取β1=1.2；當σ與σc同號時或σc=0,β1=1.1。29五、梁的剛度梁的剛度用正常使用荷載（取荷載標準值，不考慮荷載分項系數(shù)和動力系數(shù)）引起的最大撓度w來度量，要求不超過規(guī)范根據(jù)具體使用要求規(guī)定的容許撓度值[w],以保證梁的正常使用。梁的剛度不足，如樓蓋梁的撓度超過正常使用的某一限值時，一方面給人們一種不舒服和不安全的感覺，另一方面可能使其上部的樓面及下部的抹灰開裂，影響結(jié)構(gòu)的功能；吊車梁撓度過大，會加劇吊車運行時的沖擊和振動，甚至使吊車運行困難等等。梁的剛度按下式驗算：v≤[v]（5-1）

303梁的扭轉(zhuǎn)鋼梁的截面一般高而窄，且常采用開口薄壁形（如工字形、槽形等）截面，其側(cè)向抗彎剛度和抗扭剛度都較差。當梁的彎矩較大而受壓翼緣的側(cè)向支承較少時，可能發(fā)生側(cè)向彎曲扭轉(zhuǎn)整體失穩(wěn)（圖5-5）。為了更好理解梁的整體穩(wěn)定理論，本節(jié)將先對梁（主要對開口薄壁截面梁）的剪應(yīng)力、剪切中心和扭轉(zhuǎn)作簡單敘述。一、剪力流和剪切中心由梁的剪應(yīng)力計算公式(5-8)，可求得梁豎向受彎時截面的豎向剪應(yīng)力（圖5-8）。這在實體式截面（例如矩形截面）時為正確，但對薄壁構(gòu)件則存在一些不合理現(xiàn)象。31例如在工字形截面梁中，按式(5-8)所得腹板剪應(yīng)力順著腹板中軸線方向，是合理的；而翼緣剪應(yīng)力則有不合理處，主要是在翼緣與腹板的交接處發(fā)生翼緣剪應(yīng)力很小而腹板剪應(yīng)力大的劇烈突變。這是由于計算翼緣剪應(yīng)力時假定為沿翼緣全寬均勻分布,實際上翼緣外伸表面為自由表面，不存在水平剪應(yīng)力，因而也不會有成對相等產(chǎn)生的垂直于表面方向的翼緣豎向剪應(yīng)力，亦即剪應(yīng)力不會在翼緣全寬內(nèi)均勻分布。梁彎曲剪應(yīng)力截面上的分布應(yīng)如圖5-10所示。任意處的剪應(yīng)力為：；顯然，截面全部剪應(yīng)力的總合力等于豎向剪力V，水平合力則互相抵消平衡。32圖5-10梁的彎曲剪應(yīng)力為了實用的方便，常用薄壁截面單位長度上的剪力q=τt（N/mm）,將剪力q=τt按其方向用箭頭線畫在薄壁截面中軸線上時，將成為自下向上或自上向下的連續(xù)射線（圖5-10）；故q=τt稱為薄壁構(gòu)件豎向（或水平）彎曲產(chǎn)生的剪力流。33這種剪力流在任意截面上都是連續(xù)的，在板件交點處流入的與流出的剪力流相等；并且在截面端點處為零，中和軸處最大。對雙軸對稱截面[如圖5-10(a)工字形截面]，如果橫向荷載作用于形心軸上時，則梁只產(chǎn)生彎曲，不會扭轉(zhuǎn)。對于槽形、T形、L形等非雙軸對稱截面，當橫向荷載作用在非對稱軸的形心軸上時，梁除產(chǎn)生彎曲外，還伴隨有扭轉(zhuǎn)?，F(xiàn)以圖5-10(b)的槽形截面梁為例來說明。如圖5-10(c)所示，當橫向荷載V不通過截面的某一特定點S時，梁將產(chǎn)生彎曲并同時有扭轉(zhuǎn)變形，其外扭矩為Ve，若荷載逐漸平行地向腹板一側(cè)移動，外扭矩和扭轉(zhuǎn)變形就逐漸減?。恢钡胶奢d移到通過S點時，梁將只產(chǎn)生平面彎曲而不產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)，亦即S點正是梁彎曲產(chǎn)生的剪力流的合力作用線通過點。因此S點稱為截面的剪切中心。34荷載通過S點時梁只彎曲而無扭轉(zhuǎn)，故也稱為彎曲中心。根據(jù)位移互等定理，既然荷載通過S點時截面不發(fā)生扭轉(zhuǎn)即扭轉(zhuǎn)角為零，則構(gòu)件承受扭矩作用而扭轉(zhuǎn)時S點將無線位移，亦即截面將繞S點發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形，同時扭轉(zhuǎn)荷載的扭矩也是以S點為中心取矩計算,故S點也稱為扭轉(zhuǎn)中心。現(xiàn)根據(jù)截面內(nèi)力的平衡來求剪切中心S的位置。當梁承受通過S點的橫向荷載時，梁只產(chǎn)生三角形分布的彎曲應(yīng)力和按剪力流理論的剪應(yīng)力。截面彎曲應(yīng)力的合力正好等于彎矩M；截面剪力流的合力正好等于剪力V。而且合力作用線必然通過S才能正好與橫向荷載平衡。因此，求出剪力流合力的作用線位置也就是確定了剪切中心S的位置(圖5-10c)。35由H·h－V·e0=0

得

剪切中心的位置僅與截面形式和尺寸有關(guān)，而與外荷載無關(guān)。各種截面的剪切中心位置為：

軸對稱截面以及對形心成點對稱的截面［圖5-11(a)、(b)］,剪切中心與截面形心相重合。單軸對稱截面，剪切中心在對稱軸上〔圖5-11（c）、(d)、（e）〕，其具體位置可通過計算確定。36由矩形薄板中線相交于一點組成的截面，每個薄板中的剪力通過這個交點，所以剪切中心在此交點上〔圖5-11(f)、(g)、(h)〕。圖5-11開口薄壁截面的剪切中心圖5-11給出常見截面剪切中心位置。37其中（c）中：

（d）中：

（e）中：

二、自由扭轉(zhuǎn)梁的扭轉(zhuǎn)有兩種形式，即自由扭轉(zhuǎn)和約束扭轉(zhuǎn)。開口薄壁構(gòu)件（如工字形、槽形截面等）扭轉(zhuǎn)時，原來為平面的橫截面不再成為平面，有的凹進而有的凸出，這種現(xiàn)象稱為翹曲。如果扭轉(zhuǎn)時軸向位移不受任何約束，截面可自由翹曲變形[圖5-12(a)]，稱為自由扭轉(zhuǎn)或圣維南扭轉(zhuǎn)。自由扭轉(zhuǎn)時，各截面的翹曲變形相同，縱向纖維保持直線且長度保持不變，截面上只有剪應(yīng)力，沒有縱向正應(yīng)力，因此又稱為純扭轉(zhuǎn)。

38如果由于支承情況或外力作用方式使構(gòu)件扭轉(zhuǎn)時截面的翹曲受到約束，稱為約束扭轉(zhuǎn)[圖5-12(b),(c)]。(a)自由扭轉(zhuǎn)；(b),(c)約束扭轉(zhuǎn)圖5-12構(gòu)件的扭轉(zhuǎn)形式任意截面桿件自由扭轉(zhuǎn)時的計算公式為：

Mt=GItdφ/dz（5-14）

39當截面由幾個狹長矩形板組成時（如工字形、T形、槽形、角形等），It可由下式計算：

（5-15）

k—考慮連接處的有利影響系數(shù)，其值由試驗確定。對角形截面可取k=1.0；T形截面k=1.15；槽形截面k=1.12；工字形截面k=1.25。自由扭轉(zhuǎn)（純扭轉(zhuǎn)）時，開口薄壁構(gòu)件截面只有剪切應(yīng)力，其分布情況為在壁厚范圍內(nèi)組成一個封閉的剪力流，如圖5-13所示。剪應(yīng)力的方向與壁厚中心線平行，大小沿壁厚直線變化，中心線處為零，壁內(nèi)、外邊緣處為最大。最大剪應(yīng)力值為：40（5-16）

圖5-13開口薄壁構(gòu)件純扭轉(zhuǎn)時的剪力流閉口薄壁構(gòu)件(如箱形和圓管截面等)自由扭轉(zhuǎn)時，截面上剪應(yīng)力的分布與開口截面完全不同，它不可能有如圖5-13在壁厚兩邊剪應(yīng)力方向相反的分布形式。桿件自由扭轉(zhuǎn)時不會發(fā)生截面各點互相凹凸翹曲變形（即截面依然保持平面），閉口截面壁厚兩側(cè)剪應(yīng)力方向相同。41由于是薄壁的，可以認為剪應(yīng)力沿厚度均勻分布，方向為切線方向（圖5-14），可以證明任一處壁厚的剪力τt為一常數(shù)。這樣，微元段ds上的剪力對原點的力矩為hτtds,總扭轉(zhuǎn)力矩為：

Mt=2τtA

（5-17）式中A—閉口截面壁厚中心線所圍成的面積。圖5-14閉口截面的純扭轉(zhuǎn)圖5-15箱形截面和開口截面42閉口截面的抗扭能力要比開口截面的抗扭能力大得多?，F(xiàn)以圖5-15的截面為例，圖5-15(a)為閉口截面；5-15(b)為截面尺寸完全相同的開口截面（某處有寬度為零的切口）。對閉口截面，腹板上剪應(yīng)力最大，其值為：

對開口截面，翼緣板上、下邊緣的剪應(yīng)力最大，其值為：二者比較，在相同扭矩作用下，此種截面尺寸情況的剪應(yīng)力開口截面為閉口截面的34倍。43三、約束扭轉(zhuǎn)實際梁由于桿端支承條件可能限制端部截面使其不能自由翹曲；或桿件沿全長的扭矩有變化，不同扭矩段自由扭轉(zhuǎn)時將有不同的截面翹曲而在交接處受到互相牽制。因此桿件的扭轉(zhuǎn)一般屬于約束扭轉(zhuǎn)。實際翹曲和變形將是根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件得到調(diào)整后的結(jié)果。由于翹曲和變形的調(diào)整，無論在扭矩不同或相同的桿件段內(nèi)，桿件扭轉(zhuǎn)率dφ/dz都不是等值，各縱向纖維將扭成不均勻的曲線形。同時，翹曲調(diào)整使各縱向纖維長度有變更并引起相應(yīng)正應(yīng)力（拉或壓，稱為翹曲正應(yīng)力），正應(yīng)力在截面內(nèi)為不均勻分布，但在全截面內(nèi)平衡。各縱向纖維的正應(yīng)力和相應(yīng)縱向應(yīng)變不相同，使桿件各部分產(chǎn)生不同方向的彎曲變形；各縱向纖維正應(yīng)力沿桿件長度有變化，則引起與之相平衡的剪應(yīng)力（稱為翹曲剪應(yīng)力）。

44約束扭轉(zhuǎn)應(yīng)按彈性力學(xué)理論求解，比較復(fù)雜。通常將全部扭轉(zhuǎn)分解為自由扭轉(zhuǎn)和翹曲扭轉(zhuǎn)兩部分的疊加。前者產(chǎn)生自由扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力以及扭轉(zhuǎn)角φ和截面翹曲變形；后者產(chǎn)生翹曲正應(yīng)力、剪應(yīng)力和相應(yīng)較復(fù)雜的變形。圖5-16工字形截面構(gòu)件的約束扭轉(zhuǎn)

45如圖5-16為固定端截面不能自由翹曲的懸臂工形截面桿件承受扭矩MT。由于截面翹曲受到一定限制，扭轉(zhuǎn)時上、下翼緣向相反方向側(cè)移時將成為曲線形，亦即上、下翼緣發(fā)生向相反方向的側(cè)向彎曲，引起相反方向的剪力V1和彎矩M1。假定腹板在扭轉(zhuǎn)后沒有彎曲變形，因而上、下翼緣側(cè)移后仍能與之保持垂直相交關(guān)系。上、下翼緣中相反方向的剪力V1將形成一個內(nèi)扭矩Mω=V1h(圖5-16)。這個由于截面不均勻翹曲引起翼緣側(cè)彎成曲線而形成的內(nèi)扭矩稱為翹曲扭矩。顯然，全部扭矩MT將由自由扭矩Mt和翹曲扭矩Mω共同抵抗承受，即：

MT=Mt+Mω（5-18）對懸臂桿件，在固定端處的截面翹曲受到完全約束，不能自由扭轉(zhuǎn)，故扭矩MT將全部由Mω承受。

46離固定端愈遠,Mω部分逐漸減小,Mt部分逐漸增大并成為主導(dǎo)。桿件愈短，則翹曲扭矩的范圍和影響將相對愈大。對距固定端為z的任意截面，設(shè)扭轉(zhuǎn)角為φ，上、下翼緣在水平方向的位移各為u,則：根據(jù)彎矩曲率關(guān)系，一個翼緣的彎矩為：一個翼緣的水平剪力為：

47式中Ｉ1—一個翼緣對腹板軸（y軸）的慣性矩。忽略腹板的影響，翹曲扭矩Mω應(yīng)為：令I(lǐng)1·h2/2=Iω，稱為翹曲常數(shù)（或稱扇性慣性矩）。綜上所述，桿件的自由扭轉(zhuǎn)是特殊情況，約束扭轉(zhuǎn)是一般情況。約束扭轉(zhuǎn)包括自由扭轉(zhuǎn)和翹曲扭轉(zhuǎn)兩部分，其平衡微分方程（5-19）

計算梁的扭轉(zhuǎn)和推導(dǎo)梁的整體穩(wěn)定公式時需用這個基本微分方程。484梁的整體穩(wěn)定

鋼梁截面一般做成高而窄的形式，豎向剛度較大，側(cè)向剛度較小。如果梁的跨中側(cè)向支承間距較大或無側(cè)向支承，在最大剛度主平面內(nèi)承受橫向荷載或彎矩作用，當荷載達到一定數(shù)值時，鋼梁將產(chǎn)生突然的側(cè)向彎曲，同時伴隨發(fā)生扭轉(zhuǎn)，喪失承載能力，這種現(xiàn)象叫做鋼梁喪失整體穩(wěn)定或鋼梁側(cè)向彎扭屈曲，或稱鋼梁側(cè)扭屈曲。如圖5-17所示的工字形截面梁，荷載作用在其最大剛度平面內(nèi)，當荷載較小時，梁的彎曲平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的。雖然外界各種因素會使梁產(chǎn)生微小的側(cè)向彎曲和扭轉(zhuǎn)變形，但外界影響消失后，梁仍能恢復(fù)原來的彎曲平衡狀態(tài)。

49圖5-17梁的整體失穩(wěn)但當荷載增大到某一數(shù)值后，梁在向下彎曲的同時，將突然發(fā)生側(cè)向彎曲和扭轉(zhuǎn)，喪失整體穩(wěn)定。梁維持其穩(wěn)定平衡狀態(tài)所能承擔的最大荷載或最大彎矩，稱為臨界荷載或臨界彎矩，相應(yīng)的最大彎曲壓應(yīng)力稱為臨界應(yīng)力。50一、梁整體穩(wěn)定的基本理論下面闡述一雙軸對稱工字形截面簡支梁純彎曲時的穩(wěn)定基本理論和公式，然后補充說明不同荷載類型和作用位置及單軸對稱工字形截面的情況。圖5-18梁的側(cè)向彎扭屈曲

51如圖5-18為一雙軸對稱工字形截面簡支梁，梁兩端各受力矩M作用，彎矩沿長度均勻分布。所謂簡支就是梁端被約束不能扭轉(zhuǎn)但可自由翹曲，能繞x軸和y軸轉(zhuǎn)動，但不能繞ｚ軸轉(zhuǎn)動，也不能側(cè)向移動（夾支座）。設(shè)固定坐標為x,y,z,當彎矩M達一定數(shù)值后，發(fā)生屈曲變形，此時相應(yīng)的坐標為x`、y`、z`，截面形心在x、ｙ軸方向的位移為u、v,截面扭轉(zhuǎn)角為。彎矩用雙箭頭向量表示，其方向按右手則確定。以下根據(jù)彈性桿件的隨遇平衡理論，在微小彎曲變形和扭轉(zhuǎn)變形的情況下建立微分方程。如圖5-18(c)梁在最大剛度平面內(nèi)彎曲，其彎矩的平衡方程為：52①

如圖5-18(d)梁側(cè)向彎曲其彎矩的平衡方程為：

②

如圖5-18(b)由于梁端部為夾支座，因此中部任意截面扭轉(zhuǎn)時，其縱向纖維發(fā)生了彎曲，屬約束扭轉(zhuǎn)。由式(5-19)可得此扭轉(zhuǎn)的微分方程為：③

式①可獨立求解，它是沿最大剛度平面的彎曲問題，與梁的彎扭屈曲無關(guān)。53式②，③具有兩個未知數(shù)，因此必須聯(lián)立求解。將式③再微分一次，并利用式②消去u``，則得到只有未知數(shù)的彎扭屈曲微分方程：

（5-20）

假定兩端簡支梁的扭轉(zhuǎn)角為正弦曲線分布，即：代入式（5-20）中，得54要使上式在任何z值都能成立，必須是方括號中數(shù)值為零，有：這是一個四階齊次常系數(shù)線性微分方程，解此方程可得M的最小解，就是雙軸對稱工字形截面簡支梁純彎曲時的臨界彎矩Mcr：（5-21）

當梁為單軸對稱截面（圖5-19）、不同支承情況或不同荷載類型時，可用能量法推導(dǎo)出類似的臨界彎矩公式：55式中y0—剪切中心的縱坐標，

EIy—截面?zhèn)认蚩箯潉偠?/p>

GIt—截面自由扭轉(zhuǎn)剛度

EIω—截面翹曲剛度

β1、β2、β3—系數(shù)，隨荷載類型而異，其值見表5-3圖5-19單軸對稱截面荷載類型β1β2β3

純彎曲1.0001.00滿跨均布荷載1.130.460.53跨度中點集中荷載1.350.550.4056a—剪切中心S至橫向荷載作用點的距離，荷載在剪切中心以上時取負值，反之取正值；I1、I2—分別為受壓翼緣和受拉翼緣對y軸的慣性矩;hl和h2為受壓翼緣和受拉翼緣形心至整個截面形心的距離。公式（5-22）同樣適用于雙軸對稱工字形截面梁，此時取I1=I2=Iy/2,y0=0,Cy=0；當為簡支梁受純彎曲時，β1=1，β2=0，上式歸結(jié)為（5-21）式。公式（5-22）中：β1是支承條件和荷載類型影響系數(shù)。在橫向荷載作用的情況下，其臨界彎矩都比純彎曲時高（表5-3）。這是由于純彎曲時梁所有截面彎矩均達到最大值，而橫向荷載作用情況下只有跨中達到最大值。57β2a反應(yīng)了荷載作用位置的影響。當荷載作用在剪切中心S位置時a=0。荷載作用于上翼緣比作用于下翼緣的臨界彎矩低。這是由于梁一旦扭轉(zhuǎn)，作用于上翼緣的荷載對剪心S產(chǎn)生不利的附加扭矩，使梁扭轉(zhuǎn)加劇，助長屈曲；而荷載作用在下翼緣產(chǎn)生的附加扭矩則會減緩梁的扭轉(zhuǎn)。β3Cy項是截面不對稱的影響項。對雙軸對稱截面Cy=0；對加強受壓翼緣的截面（圖5-19）Cy>0,使臨界彎矩增大，表明對整體穩(wěn)定有利；對加強受拉翼緣的截面Cy<0，使臨界彎矩減小，表明對整體穩(wěn)定不利。58綜上所述，影響梁整體穩(wěn)定的主要因素有：梁的截面形狀和尺寸，即梁的側(cè)向抗彎剛度EIy、抗扭剛度GIt越大，臨界彎矩Mcr越大；荷載的種類和荷載作用位置。荷載產(chǎn)生的彎矩圖越飽滿(接近純彎曲時的彎矩圖),臨界彎矩Mcr越小,純彎曲時的Mcr越最小；荷載作用于下翼緣比作用于上翼緣梁的臨界彎矩Mcr大；梁受壓翼緣的自由長度l1越大，臨界彎矩Mcr越小。59二、梁整體穩(wěn)定的計算方法由式（5-21），可寫出梁臨界應(yīng)力的計算式：對梁的整體穩(wěn)定進行計算，要求即：

式中Mx—繞強軸用的最大彎矩；

Wx—按受壓纖維確定的梁毛截面模量；

—梁的整體穩(wěn)定系數(shù)。60對雙軸對稱工字形截面簡支梁受純彎曲時，根據(jù)式（5-21）有：

（5-23）

將E=206×103N/mm2，E/G=2-6，fy=235N/mm2，Iy/l2=Aiy2/l2=A/λy2，Iω=(h2/4)Iy，It≈At12/3，，l2GIt/(π2EIω)≈(λyt1/4-4h)2代入上式可得：（5-24）

61對其它情況的工字形簡支梁，將式（5-25）加以修正就可采用。上述整體穩(wěn)定系數(shù)是按彈性穩(wěn)定理論求得的。研究證明，當求得的φb大于0.6時，梁已進人非彈性工作階段，部分截面應(yīng)力達到fy而成為塑性變形區(qū)，整體穩(wěn)定承載能力有明顯的降低，必須對φb進行修正。當梁的整體穩(wěn)定承載力不足時，可采用加大梁的截面尺寸或增加側(cè)向支承的辦法予以解決，前一種辦法中尤其是增大受壓翼緣的寬度最有效。必須指出的是：不論梁是否需要計算整體穩(wěn)定性，梁的支承處均應(yīng)采取構(gòu)造措施以阻止其端截面的扭轉(zhuǎn)（在力學(xué)意義上稱為“夾支”）。62三、規(guī)范規(guī)定的梁整體穩(wěn)定計算方法

1、鋼梁整體穩(wěn)定的計算公式和要求

《鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范》GB50017-2003規(guī)定：在最大剛度主平面內(nèi)單向受彎的鋼梁，其整體穩(wěn)定應(yīng)按下式計算：（5-25）

雙向受彎鋼梁同時在兩個主平面內(nèi)承受彎矩，其整體失穩(wěn)仍將是在弱軸側(cè)向的彎扭失穩(wěn)，理論分析較為復(fù)雜，一般近似按經(jīng)驗公式計算。規(guī)范規(guī)定雙向受彎工字形截面鋼梁整體穩(wěn)定按下式計算：（5-26）

63以上兩式中Mx,My—繞強軸(x軸)、弱軸(y軸)作用的彎矩；Wx、Wy—按受壓纖維確定的對x軸,y軸的毛截面抵抗矩；φb—繞強軸彎曲所確定的整體穩(wěn)定系數(shù)，按有關(guān)公式計算；γy—對弱軸的截面塑性發(fā)展系數(shù)，按表5-1。規(guī)范規(guī)定符合下列情況之一的鋼梁可不計算其整體穩(wěn)定性：(1)有剛性鋪板(各種鋼筋混凝土板和鋼板)密鋪在梁的受壓翼緣上并與其牢固連接，能阻止梁受壓翼緣的側(cè)向位移時。(2)工字形截面簡支梁受壓翼緣的自由長度l1與其寬度b1之比不超過下列數(shù)值時：跨中無側(cè)向支承點，荷載作用在上翼緣：跨中無側(cè)向支承點，荷載作用在下翼緣：跨中有側(cè)向支承點：64

(3)箱形截面簡支梁，其截面高寬比（圖5-20）滿足h/bo≤6，且l1/b0<95(235/fy)時（箱形截面的此條件很容易滿足）。

圖5-20箱形截面2、鋼梁整體穩(wěn)定系數(shù)φb的計算鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范》GB50017-2003規(guī)定：承受各種荷載的雙軸和單軸對稱組合工字形等截面簡支梁及軋制H型鋼簡支梁的φb計算公式如下：（5-27）

65式中A—梁毛截面面積；h、t1—梁全高和受壓翼緣厚度；λy=l1/iy—梁在側(cè)向支承點間對截面弱軸y-y的長細比，iy為梁毛截面對y軸的截面回轉(zhuǎn)半徑；ηb—截面不對稱影響系數(shù)：雙軸對稱工字形截面：ηb=0單軸對稱工字形截面：加強受壓翼緣ηb=0.8(2αb-1)加強受拉翼緣ηb=2αb-1—I1和I2分別為受壓翼緣和受拉翼緣對y軸的慣性矩。

βb—梁整體穩(wěn)定的等效彎矩系數(shù)

66規(guī)范規(guī)定，當按上述公式(5-27)確定的φb>0.6時，用下式求得的φ`b代替φb進行梁的整體穩(wěn)定計算：φ‘b=1.07-0.282/φb≤1.0（5-28）對軋制普通工字鋼簡支梁整體穩(wěn)定系數(shù)φb應(yīng)按附表6采用，當所得的φb值大于0.60時，應(yīng)按式(5-28)算得相應(yīng)φ’b代替φb值。對軋制槽鋼簡支梁，其整體穩(wěn)定系數(shù)，不論荷載形式和荷載作用點在截面高度上的位置均可按下式計算：（5-29）

h,b,t—分別為槽鋼截面的高度、翼緣寬度和平均厚度。按式(5-29)算得的φb值大于0.6時，應(yīng)按式(5-28)算得相應(yīng)的φ’b代替φb值67對雙軸對稱工字形等截面（含H型鋼）懸臂梁，其整體穩(wěn)定系數(shù)，可按式(5-27)計算，但式中系數(shù)βb應(yīng)按表5-6查得，λy=l1/iy(ll,為懸臂梁的懸伸長度)。當求得的φb值大于0.6時，應(yīng)按式(5-28)算得相應(yīng)的φ`b值代替φb值?！纠}5-1】某平臺梁格，荷載標準值為：恒載（不包括梁自重）1.5kN/m2，活荷載9kN/m2。次梁跨度為5m，間距為2.5m，截面為HN350×175×7×11，鋼材為Q235鋼，平臺鋪板不與次梁連牢，取次梁自重為0.5kN/m，驗算該次梁。【解】次梁承受的線荷載標準值為：qk＝（1.5×2.5＋0.5）＋9×2.5＝4.25＋22.5=26.75kN/m＝26.75N/mm荷載設(shè)計值為可變荷載效應(yīng)控制的組合：恒荷載分項系數(shù)為681.2,活荷載分項系數(shù)為1.3：q=4.25×1.2＋22.5×1.3＝34.35kN/m最大彎矩設(shè)計值為：HN350×175×7×11的截面特性：Ix=13700cm4，Wx=782cm3，A=63.66cm2,iy=3.93cm。由于型鋼的腹板較厚，一般不必驗算抗剪強度；若將次梁連于主梁的加勁肋上，也不必驗算次梁支座處的局部承壓強度。由于平臺鋪板不與次梁連牢，需驗算梁的整體穩(wěn)定：69βb=0.69+0.13×0.898=0.807

φ`b=1.07-0.282/0.83=0.73驗算整體穩(wěn)定：截面無大削弱，可不驗算正截面強度。70驗算撓度：在全部荷載標準值作用下：

在可變荷載標準值作用下：715.梁的局部穩(wěn)定組合梁一般由板件組成翼緣和腹板，如果將這些板件不適當?shù)販p薄加寬，當板中壓應(yīng)力或剪應(yīng)力達到某一數(shù)值后，腹板或受壓翼緣有可能偏離其平面位置，出現(xiàn)波形鼓曲（圖5-22），這種現(xiàn)象稱為梁的局部失穩(wěn)。處理鋼構(gòu)件的板件局部穩(wěn)定，有兩種方法。其一是以屈曲為承載能力的極限狀態(tài)，并通過對板件寬厚比的限制，使之不在構(gòu)件整體失效之前屈曲。其二是允許板件在構(gòu)件整體失效之前屈曲，并利用其屈曲后強度，構(gòu)件的承載能力由局部屈曲后的有效截面確定。板件根據(jù)其寬厚比大小可分為厚板、薄板和寬薄板三種。其中薄板短方向?qū)挾萣與厚度t之比，大概是在下列范圍之內(nèi)：5～8＜b/t＜80～10072圖5-22梁局部失穩(wěn)

寬厚比小于上式范圍的板為厚板，計算時必須考慮板的剪切變形。而薄板的剪切變形與彎曲變形相比，則可略去不計，從而能在類似梁的平截面假定的基礎(chǔ)上建立實用計算理論。73一、矩形薄板的屈曲組成梁的板件（翼緣和腹板）要受到彎曲正應(yīng)力、剪應(yīng)力以及局部壓應(yīng)力的作用。我們首先討論在各種應(yīng)力單獨作用下板件的屈曲，然后討論這些應(yīng)力共同作用下的薄板穩(wěn)定問題。對于單向均勻受壓簡支矩形薄板的屈曲問題，在前面已經(jīng)討論，此處不再序述。周邊荷載作用下，根據(jù)彈性力學(xué)中的小撓度理論，可以得到薄板的屈曲平衡方程為：（5-30）

-板單位寬度的抗彎剛度：

74式中w—板的撓度；Nx,Ny—在x、y軸方向，沿板周邊中面單位寬度上所承受的力，壓力為正，拉力為負；Nxy—單位寬度的剪力；1、單向非均勻受壓的四邊簡支板

如圖5-23所示的單向非均勻受壓板，荷載沿板寬成線性非均勻分布，距原點y處的荷載為：（5-31）

式中ρ0=（σ1-σ2）/σ1—應(yīng)力梯度。σ1、σ2各為最大應(yīng)力和最小應(yīng)力，以壓應(yīng)力為正，拉應(yīng)力為負。75圖5-23非均勻受壓簡支板

均勻受壓時ρ0=0;純彎曲時ρ0=2;壓彎組合時ρ0值在0與2之間。其臨界應(yīng)力的表達式為：（5-32）

k—屈曲系數(shù)現(xiàn)略去運算過程，將屈曲系數(shù)k值畫成曲線后，為了應(yīng)用的方便，把各種不同ρ0值的k值歸納成為如下的近似式：0≤ρ0≤2/3時，

（5-33a）

762/3<ρ0≤1.4時，

（5-33b）

1.4<ρ0≤2時，

（5-33c）

均勻受壓時ρ0=0,k=4.0；純彎曲（如梁的腹板）時ρ0=2，k=24。2、四邊簡支板均勻受剪

四邊簡支受均勻剪應(yīng)力的板，由于與剪應(yīng)力等效的主拉應(yīng)力和主壓應(yīng)力數(shù)值相等并均呈45o方向，故屈曲時產(chǎn)生如圖5-24(b)所示大約45o方向的波形凹凸。均勻分布的剪應(yīng)力為τ，單位寬度的剪力為Nxy=τt,四邊簡支矩形板在均布剪應(yīng)力作用下的臨界應(yīng)力為：77（5-34）

屈曲系數(shù)k的理論計算結(jié)果如圖5-24(c)的曲線所示，其橫坐標l1/l2表示板的長邊尺寸(l1)和短邊尺寸（l2）之比。經(jīng)簡化后屈曲系數(shù)k計算式為：

（5-35）

圖5-24四邊簡支受剪板及其屈曲系數(shù)

783、一個邊緣受壓的四邊簡支板在工程實踐中，往往遇到矩形板在一個邊緣受壓的情況。例如吊車梁的腹板，承受由軌道上的輪壓在梁腹板上邊緣產(chǎn)生的非均勻分布壓應(yīng)力［圖5-25(a)］。此種單側(cè)受壓板，臨界應(yīng)力仍可采用式(5-31)的表達形式，即：（5-36）

圖5-25一側(cè)受壓板

79欲求此種情況的屈曲系數(shù)k值很困難，一般采用理論分析和試驗相結(jié)合的辦法來確定。現(xiàn)介紹兩種k值的近似取值方法。(1)當考慮壓應(yīng)力為圖5-25(a)的非均勻分布時，四邊簡支板的近似k值為：時，

（5-37）

此種取值方法首先在蘇聯(lián)規(guī)范中應(yīng)用，我國規(guī)范也從50年代開始沿用。實際取用的值，還要考慮由試驗確定的翼緣對腹板邊緣的彈性約束作用。80(2)當考慮壓應(yīng)力為圖5-25(b)的均勻分布時，四邊簡支板的k值可采用巴斯納(K·Baslar)推薦的近似值：（5-38）

對于吊車梁的腹板，其均布壓應(yīng)力σc取為輪壓F除以at和bt中的較小者，而且還應(yīng)考慮翼緣對腹板的約束作用，取屈曲系數(shù)為：（5-39）

此種取值方法被美國長期使用。81二、各種應(yīng)力共同作用下的薄板穩(wěn)定以上介紹的是矩形板在各種應(yīng)力單獨作用下的臨界應(yīng)力。實際上鋼梁的腹板通常承受兩種或兩種以上應(yīng)力的共同作用，現(xiàn)分情況介紹其穩(wěn)定計算方法。1、僅用橫向加勁肋加強的梁腹板

梁腹板在二橫向加勁肋之間的區(qū)格（圖5-26），通常同時受到彎曲正應(yīng)力σ，均布剪應(yīng)力τ，可能還有局部壓應(yīng)力σc的共同作用。當這些應(yīng)力某種組合達到一定值時，腹板將由平板穩(wěn)定狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)槲⑶钠胶鉅顟B(tài)。設(shè)有橫向加勁肋的腹板區(qū)格，當彎曲正應(yīng)力和剪應(yīng)力同時作用時（圖5-27a），臨界條件是：

82圖5-26用橫向加勁肋加強的梁腹板

當單向均勻壓應(yīng)力和剪應(yīng)力共同作用時（圖5-27b），臨界條件是：83參照以上兩式和澳大利亞及英國規(guī)范，現(xiàn)規(guī)范對三種應(yīng)力并存的僅設(shè)橫向加勁肋的區(qū)格采用下列局部穩(wěn)定相關(guān)公式：

（5-40）

式中σ、τ、σc分別為板件的正應(yīng)力、剪應(yīng)力和橫向局部壓應(yīng)力，和這些應(yīng)力對應(yīng)的三個分母則分別為各應(yīng)力單獨作用時的臨界應(yīng)力。84圖5-27承受多種應(yīng)力的區(qū)格

2、兼有橫向肋和縱向肋的梁腹板

兼有橫向肋和縱向肋的梁腹板，縱向加勁肋將把腹板分為上下兩個區(qū)格(圖5-28)。上區(qū)格在彎矩作用下非均勻受壓，受有正應(yīng)力和剪應(yīng)力，在橫向集中荷載作用下不僅在上邊緣有局部應(yīng)力σc，下邊緣還有局部壓應(yīng)力0.3σc。85圖5-28同時用橫向肋和縱向肋加強的梁腹板

腹板上區(qū)格為狹長的板條，與接近于正方形的區(qū)格相比，它的穩(wěn)定承載力有所提高。圖5-29給出寬高比等于1和5的區(qū)格在雙向壓應(yīng)力作用下的相關(guān)曲線的對比，比值α＝5的狹長板，曲線比α＝1的正方形板高得多，并且接近于圓弧，即可用下式近似表達：86這一相關(guān)關(guān)系式可用于圖(5-28)的上區(qū)格，該圖的縱向壓應(yīng)力是非均勻的，最大應(yīng)力σ達到臨界狀態(tài)的條件是屈曲系數(shù)kσ=5.13，把非均勻應(yīng)力化作均勻分布的平均應(yīng)力(σ+0.55σ)/2=0.775σ時，屈曲系數(shù)相應(yīng)地變?yōu)?.13×0.775=4，即恰好是均勻受壓板的屈曲系數(shù)。圖(5.30)給出寬高比等于1和4的板在橫向壓力和剪力共同作用下的相關(guān)曲線，也表明狹長板的穩(wěn)定承載力比正方形板高得多。α=4時的相關(guān)曲線也和圓比較接近。綜合以上情況，上區(qū)格的局部穩(wěn)定相關(guān)公式取為：

87（5-41）

式中σ、τ、σc分別為板件的正應(yīng)力、剪應(yīng)力和橫向局部壓應(yīng)力，和這些應(yīng)力對應(yīng)的三個分母則分別為各應(yīng)力單獨作用時的臨界應(yīng)力。

圖5-29雙向受壓板的相關(guān)屈曲圖5-30受剪和橫向壓力的板的相關(guān)屈曲

88下區(qū)格的受力情況和僅設(shè)橫向加勁肋的情況相似，區(qū)格邊長比也和后者相差不多。因此局部穩(wěn)定的相關(guān)公式也和僅設(shè)橫向加勁肋者相似，即：對于下板段（靠近受拉翼緣的板段），受力狀態(tài)與僅有橫向肋的腹板近似，所以其屈曲臨界條件表達式與式（5-40）相似，為：（5-42）

不過實際作用應(yīng)力應(yīng)取為圖5-27(c)所示的σ2和σc2（等于0.3σc），和這些應(yīng)力對應(yīng)的三個分母則分別為各應(yīng)力單獨作用時的臨界應(yīng)力。三、梁局部穩(wěn)定計算的規(guī)范規(guī)定

89前述板件屈曲應(yīng)力計算公式是由彈性穩(wěn)定理論求解理想的彈性板得出的。所謂理想板，一是沒有幾何和力學(xué)缺陷，二是邊緣為理想鉸支或者是理想嵌固。鋼構(gòu)件都是由幾快板件相互連接組成的，各板之間存在相互約束作用。兩板銜接的邊，既不是鉸支又不是嵌固邊，而是廣義的彈性約束邊。對較弱的板來說，是正約束，即為彈性嵌固邊。對較強的板，情況相反，屬負約束?？紤]相互約束，則前述臨界應(yīng)力的公式可統(tǒng)一表達為：（5-43）

式中k—屈曲系數(shù)；χ—嵌固系數(shù)，即彈性嵌固板的屈曲系數(shù)和四邊簡支板屈曲系數(shù)之比，對正約束板χ＞1。90當板件寬厚比b/t較小時，上式給出的臨界應(yīng)力將超過構(gòu)件的比例極限甚至屈服強度進入非彈性范圍。鋼材不是完全彈性材料，梁整體穩(wěn)定的臨界應(yīng)力超過0.6f時就需要進行非彈性修正，而式（5-43）是腹板局部穩(wěn)定臨界應(yīng)力無限彈性的計算公式，直接使用顯然是不適宜的。因此，實用上要對前述板件屈曲應(yīng)力計算公式進行彈塑性修正。對熱軋型鋼梁，由于軋制條件，熱軋型鋼板件寬厚比較小，一般都能滿足局部穩(wěn)定要求，不需要計算。而對冷彎薄壁型鋼梁的受壓或受彎板件，寬厚比不超過規(guī)定的限制時，認為板件全部有效；當超過此限制時，則只考慮一部分寬度有效（稱為有效寬度），應(yīng)按現(xiàn)行《冷彎薄壁型鋼結(jié)構(gòu)技術(shù)規(guī)范》計算。這里主要敘述一般鋼結(jié)構(gòu)組合梁中翼緣和腹板的局部穩(wěn)定。911、受壓翼緣梁局部穩(wěn)定梁的受壓翼緣可看作一單向均勻受壓板。將E=206×103N/mm2和ν＝0.3代人式(5-34)得：（5-44）

式中ｔ—板的厚度；ｂ—板的寬度；對不需要驗算疲勞的梁，按規(guī)范用式(5-6)和式(5-7)計算其抗彎強度時，已考慮塑性部分伸人截面，因而整個翼緣板已進人塑性，但在和壓應(yīng)力相垂直的方向，材料仍然是彈性的。這種情況屬正交異性板，其臨界應(yīng)力的精確計算比較復(fù)雜。一般可在式(5-43)中用E代替E(η≤1)，為切線模量Et與彈性模量E之比)來考慮這種彈塑性的影響。所以有：92（5-45）

受壓翼緣板的懸伸部分，為三邊簡支板而板長a趨于無窮大的情況，其屈曲系數(shù)k=0.425。支承翼緣板的腹板一般都比較薄(負約束)，對翼緣板沒有什么約束作用，因此取彈性約束系數(shù)χ=1.0。如取η=0.25,為充分發(fā)揮材料強度，翼緣的合理設(shè)計是采用一定厚度的鋼板，讓其臨界應(yīng)力σcr不低于鋼材的屈服點fy，使翼緣不喪失穩(wěn)定，即σcr≥fy有：則：

（5-46）

93當梁在繞強軸的彎矩Mx作用下的強度按彈性設(shè)計（即取γx=1.0）時，寬厚比b/t值可放寬為：（5-47）

對箱形梁翼緣板(圖5-20)在兩腹板之間的部分，相當于四邊簡支單向均勻受壓板，其k=4.0。令χ=1.0，η＝0.25，代入式（5-45）中得：

（5-48）

2、梁腹板局部穩(wěn)定

鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范規(guī)定，承受靜力荷載和間接承受動力荷載的組合梁，宜考慮腹板屈曲后強度

；而直接承受動力荷載的吊94車梁及類似構(gòu)件或其他不考慮屈曲后強度的組合梁，則按以下規(guī)定配置加勁肋，并計算各板段的穩(wěn)定性。1—橫向加勁肋；2—縱向加勁肋；3—短加勁肋圖5-31腹板加勁肋的布置

95當h0/tw≤80時，對有局部壓應(yīng)力（σc≠0）的梁，應(yīng)按構(gòu)造配置橫向加勁肋(a≤2.0h0)[圖5-31(a)]；但對無局部壓應(yīng)力（σc=0）的梁，可不配置加勁肋。當h0/tw>80時，應(yīng)按計算配置橫向加勁肋[圖5-31(a)]。其中，當h0/tw>170（受壓翼緣扭轉(zhuǎn)受到約束，如連有剛性鋪板、制動板或焊有鋼軌時）或h0/tw>150（受壓翼緣扭轉(zhuǎn)未受到約束時）或按計算需要時，應(yīng)在彎曲應(yīng)力較大區(qū)格的受壓區(qū)增加配置縱向加勁肋[圖5-31(b)、(c)]。局部壓應(yīng)力很大的梁，必要時尚宜在受壓區(qū)配置短加勁肋［圖5-31(d)］。任何情況下h0/tw均不應(yīng)超過250。此處h0為腹板的計算高度，對焊接梁h0等于腹板高度hw；對螺栓連接的梁為腹板與上、下翼緣連接螺栓的最近距離[圖5-31(c)]，對單軸對稱梁，當確定是否要配置縱向加勁肋時，h0應(yīng)取腹板受壓區(qū)高度hc的2倍。96（3）梁的支座處和上翼緣受有較大固定集中荷載處宜設(shè)置支承加勁肋。為避免焊接后的不對稱殘余變形并減少制造工作量，焊接吊車梁宜盡量避免設(shè)置縱向加勁肋，尤其是短加勁肋。通常，梁的加勁肋和翼緣使腹板分成若干四邊支承的矩形區(qū)格。這些區(qū)格一般受有彎曲正應(yīng)力、剪應(yīng)力，以及局部壓應(yīng)力作用。在彎曲正應(yīng)力單獨作用下，腹板的失穩(wěn)形式如圖5-32(a)所示，凸凹波形的中心靠近其壓應(yīng)力合力的作用線；在剪應(yīng)力單獨作用下，腹板在45o方向產(chǎn)生主應(yīng)力，主拉應(yīng)力和主壓應(yīng)力數(shù)值上都等于剪應(yīng)力。在主壓應(yīng)力作用下，腹板失穩(wěn)形式如圖5-32(b)所示，為大約45o方向傾斜的凸凹波形；在局部壓應(yīng)力單獨作用下，腹板的失穩(wěn)形式如圖5-32（c）所示，產(chǎn)生一個靠近橫向壓應(yīng)力作用邊緣的鼓曲面。97圖5-32梁腹板的失穩(wěn)橫向加勁肋主要防止由剪應(yīng)力和局部壓應(yīng)力可能引起的腹板失穩(wěn)，縱向加勁肋主要防止由彎曲壓應(yīng)力可能引起的腹板失穩(wěn)，短加勁肋主要防止由局部壓應(yīng)力可能引起的腹板失穩(wěn)。計算時，一般先布置加勁肋，然后計算各區(qū)格板的平均作用應(yīng)力和相應(yīng)的臨界應(yīng)力，使其滿足穩(wěn)定條件。若不滿足或是富裕過多，則再調(diào)整加勁肋間距，重新計算。下面介紹規(guī)范規(guī)定的各種加勁肋配置時腹板穩(wěn)定計算方法。98⑴、僅用橫向加勁肋加強的腹板腹板在各區(qū)格（兩個橫向肋之間的板段）同時受有彎曲正應(yīng)力σ、剪應(yīng)力τ、一個邊緣壓應(yīng)力σc（無支承加勁肋時）共同作用（圖5-26），穩(wěn)定條件可采用式（5-40），即腹板各區(qū)格穩(wěn)定計算式為：（5-40）

式中σ—所計算腹板區(qū)格內(nèi)，由平均彎矩產(chǎn)生的腹板計算高度邊緣的彎曲壓應(yīng)力；τ—所計算腹板區(qū)格內(nèi)，由平均剪力產(chǎn)生的腹板平均剪應(yīng)力,

τ=V/(hwtw,)；99σc—腹板邊緣的局部壓應(yīng)力，應(yīng)按式(5-9)計算，但一律取ψ=1.0。式中F取為吊車輪壓設(shè)計值。當?shù)踯嚍檩p級或中級工作制者，輪壓設(shè)計值可乘以折減系數(shù)0.9。σcr、τcr、σc,cr—各種應(yīng)力單獨作用下板的臨界應(yīng)力。各單項臨界應(yīng)力值都不應(yīng)超過各自的屈服強度。引進抗力分項系數(shù)后，都不應(yīng)超過強度設(shè)計值。按下面方法計算：①σcr的計算式僅設(shè)橫向加勁肋時，彈性范圍臨界應(yīng)力σcr都由公式(5-43)計算，但是對嵌固系數(shù)χ作了修改和簡化，即區(qū)分梁上翼緣（受壓翼緣）扭轉(zhuǎn)受到完全約束和未受到約束兩種情況，分別取χ=1.66和1.23；塑性范圍臨界應(yīng)力σcr=fy；在彈性范圍的式(5-43)和塑性范圍的σcr=fy之間還需要有彈塑性過渡區(qū)。因此?，F(xiàn)行規(guī)范把臨界應(yīng)力的計算都分為三個公式，分別屬100于塑性、彈塑性和彈性范圍。單軸對稱的工字形截面梁，受彎時中和軸不在腹板高度中央，通常為了保持整體穩(wěn)定，受壓翼緣大于受拉翼緣，腹板邊緣壓應(yīng)力小于邊緣拉應(yīng)力（圖5-33）。在這種情況下σ1的臨界應(yīng)力按式(5-43)計算時，系數(shù)k應(yīng)大于23.9。在實際設(shè)計中，可以保留k=23.9，而把腹板高度用二倍受壓區(qū)高度即2hc代替。

圖5-33單軸對稱梁

現(xiàn)行規(guī)范采用國際上通行的表達方法，臨界應(yīng)力的表達式都和腹板的通用高厚比（亦稱正則化寬厚比）掛鉤。對彎曲正應(yīng)力，通用高厚比是：

101（5-49）

上式可使不同鋼號的板件用同一公式計算。在上式中代入k=23.9和χ＝1.66或1.23，并以2hc代替ho，得到下列二式：梁受壓翼緣扭轉(zhuǎn)受到約束時：（5-50a）

梁受壓翼緣扭轉(zhuǎn)未受到約束時：

（5-50b）

102臨界彎曲應(yīng)力的表達式為：當λb≤0.85時：σcr=f

（5-51a）當0.85<λb≤1.25時：σcr=[1－0.75(λb–0.85)]f

（5-51b）當λb>1.25時：（5-51c）式中λb—用于腹板受彎計算時的通用高厚比;

hc—梁腹板彎曲受壓區(qū)高度,對雙軸對稱截面2hc=h0。公式(5-51)三式分別屬于塑性、彈塑性和彈性范圍。確定它們之間界限的依據(jù)如下：對于既無幾何缺陷又無殘余應(yīng)力的理想彈塑性板，并不存在彈塑性過渡區(qū)。塑性范圍和彈性范圍的分界點是λb＝1.0,因為當λb＝1.0時σcr=fy。實際工程中的板由于存在缺陷，在λb未達1.0之前臨界應(yīng)力就開始下降。考慮這些因素，我們?nèi)?030.85，腹板邊緣應(yīng)力達到強度設(shè)計值時高厚比為130（翼緣扭轉(zhuǎn)未受約束）和150（翼緣扭轉(zhuǎn)受到約束），比較合理。規(guī)范規(guī)定，計算梁整體穩(wěn)定時，當穩(wěn)定系數(shù)φb大于0.6時即需作非彈性修正，相應(yīng)的λb為(1/0.6)1/2=1.29。考慮到殘余應(yīng)力的不利影響對腹板穩(wěn)定不如對梁整體穩(wěn)定大，取1.25。②τcr的計算式對于受剪腹板穩(wěn)定系數(shù)和腹板長寬比a/h0有關(guān)，即：當a/h0≤1.0時：kτ=4+5.34(h0/a)2當a/h0>1.0時：kτ=5.34+4.0(h0/a)2

取χ=1.23可得：當a/h0≤1.0時：（5-52a）

104當a/h0>1.0時：

（5-52b）

臨界剪應(yīng)力的計算公式是：當λs≤0.8時：τcr=fv（5-53a）當0.8<λs≤1.2時：τcr=[1－0.59(λs–0.8)]fv（5-53b）當λb>1.2時：（5-53c）式中λs—用于腹板受剪計算時的通用高厚比;這里，塑性界限和彈性界限分別取在λs=0.8和1.2，前者參考歐盟規(guī)范EC3-ENV一1993采用。通常認為鋼材剪切比例極限為0.8fvy，再引進板件幾何缺陷影響系數(shù)0.9，彈性界限應(yīng)為[1/(0.8×0.9)]1/2＝1.18，調(diào)整為1.2。105③σc,cr的計算式對于承受局部壓應(yīng)力的腹板穩(wěn)定系數(shù)和腹板長寬比a/h0有關(guān)，即：當0.5≤a/h0<1.5時：χk=10.9+13.4(1.83-a/h0)3當1.5≤a/h0≤2.0時：χk=18.9-5a/h0所以有：當0.5≤a/h0<1.5時：

（5-54a）

當1.5≤a/h0≤2.0時：（5-54b）

106局部壓應(yīng)力臨界值的計算公式是：當λc≤0.9時：σc,cr=f

（5-55a）當0.9<λc≤1.2時：σc,cr=[1－0.79(λc–0.9)]f

（5-55b）當λc>1.2時：（5-55c）式中λc—用于腹板受局部壓力計算時的通用高厚比;局部壓應(yīng)力和彎曲應(yīng)力同屬正應(yīng)力，但是，腹板中引起橫向非彈性變形的殘余應(yīng)力不如縱向者大，所以規(guī)范把彈塑性界限取為1.2，而不是1.25。關(guān)于塑性范圍的界限缺少參考資料，為了避免過渡段影響過大，取為0.9。在以上三組臨界應(yīng)力公式(5-51)、（5-53）和（5-55）中，第一個和第二個公式都引進了抗力分項系數(shù)，對高厚比足夠小的腹板，臨界應(yīng)力等于強度設(shè)計值f或fv，而不是屈服強度fy或fvy。但是第三個公式都有系數(shù)1.1，它是抗力分項系數(shù)的近似值。

107與式(5-49)相對照可以看出，式（5-51c）的臨界應(yīng)力就是彈性屈服應(yīng)力的理論值，即不再含抗力分項系數(shù)。彈性和塑性范圍區(qū)別對待的原因，是板處于彈性范圍時，存在較大的屈曲后強度，安全系數(shù)可以相對小一些，只保留荷載分項系數(shù)就夠了。⑵、兼有橫向和縱向加勁肋的腹板梁腹板的縱向加勁肋設(shè)置在距離板上邊緣（受壓翼緣側(cè)）1/4－1/5高度處，把腹板劃分為上、下兩個區(qū)格。上區(qū)格是個狹長板幅，在彎矩的作用下非均勻受壓，在橫向集中荷載作用下則不僅在上邊緣有局部壓應(yīng)力σc，下邊緣還有局部壓應(yīng)力0.3σc（圖5-34）。㈠上區(qū)格(受壓翼緣與縱向肋之間的區(qū)格)的穩(wěn)定條件可采用相關(guān)公式（5-41），即：108圖5.34縱向加勁肋上面的區(qū)格

（5-41）

式中σcr1、τcr1、σc,cr1按下列方法計算：①σcr1按式（5-51）計算，但式中的λb改用下列的λb1代替：上區(qū)格高度均取平均值h1=0.225h0，在彎曲應(yīng)力作用下，上區(qū)格為非均勻受壓，由σ變到0.55σ，其屈曲系數(shù)為：109梁受壓翼緣扭轉(zhuǎn)受到約束時，取嵌固系數(shù)χ=1.4，相應(yīng)的通用高厚比：（5-56a）

梁受壓翼緣扭轉(zhuǎn)未受到約束時，取嵌固系數(shù)χ=1.0，則有：

（5-56b）

②τcr1按式（