空間立體的體積

關(guān)于空間立體的體積第一頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日1.已知平行截面面積的空間立體體積設(shè)所給立體垂直于x

軸的截面面積為A(x),則對(duì)應(yīng)于小區(qū)間因此所求立體體積為上連續(xù),的體積元素為OdV第二頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日例1解取坐標(biāo)系如圖底圓方程為yxoA(x)三角形邊長(zhǎng)高為：第三頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日2.旋轉(zhuǎn)體的體積

旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體．這直線稱為旋轉(zhuǎn)軸．圓柱圓錐圓臺(tái)第四頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日情形1G1xyoG1G1xyoxyoxyoxyoxyo?

G1繞x

軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積則以f(x)

為高，以dx

為底的窄邊矩形平面圖形G1：由連續(xù)曲線y=f(x)，直線x=a,x=b

及x軸所圍成的曲邊梯形.繞x

軸旋轉(zhuǎn)而成的圓柱體第五頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日的體積便是體積元素：G1xyoxyoxyoxyoxyoG1繞x

軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積：第六頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日例2解直線方程為建立坐標(biāo)系，如圖.連接坐標(biāo)原點(diǎn)O及點(diǎn)P(h,R)的直線，直線x=h及x

軸圍成一個(gè)直角三角形.將它繞x

軸旋轉(zhuǎn)一周構(gòu)成一個(gè)底半徑為R，高為h的圓錐體，計(jì)算該圓錐體的體積.第七頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日以dx為底的窄邊矩形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的圓柱體的體積為第八頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日用“柱殼法”：將旋轉(zhuǎn)體分割成一系列以y軸為中心軸的曲頂環(huán)柱體.xOyabG1G1繞y

軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積第九頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日o(dx)可以證明：體積元素G1繞y

軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積：xabG1oyy第十頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日情形2

G2繞y

軸旋轉(zhuǎn)G2繞x

軸旋轉(zhuǎn)cdy?

第十一頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日解例3第十二頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日（方法1）第十三頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日(方法2)柱殼法第十四頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日例4解體積元素為:(方法1)4–22xyo?MP??Q第十五頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日(方法2)4–22xyo第十六頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日例5(綜合題)解

(1)xyo1第十七頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日(2)(3)xyo1x第十八頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日第十九頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日第二十頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日例6(綜合題)解所以c=0,又由題設(shè)，知知識(shí)點(diǎn)：①平面圖形的面積②旋轉(zhuǎn)體的體積

③函數(shù)的極值、最值第二十一頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日第二十二頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日第二十三頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日內(nèi)容小結(jié)二、旋轉(zhuǎn)體的體積一、平行截面面積為已知的立體的體積繞軸旋轉(zhuǎn)一周繞軸旋轉(zhuǎn)一周繞非坐標(biāo)軸直線旋轉(zhuǎn)一周第二十四頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日備用題例1-1

一平面經(jīng)過半徑為R

的圓柱體的底圓中心,并與底面交成

角,解

如圖所示取坐標(biāo)系,則圓的方程為垂直于x

軸的截面是直角三角形,其面積為計(jì)算該平面截圓柱體所得立體的體積.第二十五頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日利用對(duì)稱性思考

可否選擇y

作積分變量?此時(shí)截面面積函數(shù)是什么?如何用定積分表示體積?第二十六頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日提示:第二十七頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日計(jì)算由橢圓所圍圖形繞x

軸旋轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積.解(方法1)

利用直角坐標(biāo)方程則(利用對(duì)稱性)例2-1第二十八頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日(方法2)利用橢圓參數(shù)方程則特別當(dāng)b=a

時(shí),就得半徑為a的球體的體積第二十九頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日例3-1解(1)

繞x

軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積為xOy第三十頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日分別繞

y

軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積之差.這個(gè)圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積可以看成平面圖形OABC

與

OBC1CBA(2)

繞y

軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積分析xOy第三十一頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日(方法1)OB

的方程為)AB

的方程為)1CBAxOy從而所求的體積為第三十二頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日第三十三頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日(方法2)xOy由公式得第三十四頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日試用定積分求圓繞x

軸上半圓為：下解(方法1)利用對(duì)稱性旋轉(zhuǎn)而成的環(huán)體體積

V.例3-2xyo第三十五頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日(方法2)

用柱殼法注上式可變形為右半圓為左此式反映了環(huán)體微元的另一種取法(如圖所示).?o第三十六頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日設(shè)平面圖形A

由與圖形A繞直線x＝2旋轉(zhuǎn)解若選

x為積分變量，則旋轉(zhuǎn)體的體積為若選

y為積分變量,則

例4-1所確定,求一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.第三十七頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日例4-2在

x≥0時(shí)為連續(xù)的非負(fù)函數(shù),繞直線x＝t

旋轉(zhuǎn)一周證明:證利用柱殼法所成旋轉(zhuǎn)體體積,則第三十八頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日故第三十九頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日解例5-1(2003年考研)第四十頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日由于該切線過原點(diǎn)，得即從而切線方程為