量子力學(xué)2波函數(shù)與薛定格方程

第二章波函數(shù)與薛定格方程問題:(1)如何描述微觀粒子的狀態(tài)？

(2)微觀粒子的狀態(tài)變化時應(yīng)遵循什么樣的運動規(guī)律？

§1

波函數(shù)一.“波動性”與“粒子性”矛盾的分析:1)研究對象-----微觀粒子:既不是經(jīng)典意義上的粒子,

也不是經(jīng)典意義上的波.例:通過對光的認識過程可知,光就是光

--------它既不是粒子也不是波.2)“波動性”與“粒子性”的矛盾與分析:歷史上曾有過的錯誤認識:a)波包:夸大了波動性的一面,從而實際上抺殺了粒子性的一面-----有片面性.b)波是大量粒子集體運動的表現(xiàn):這種觀點夸大了粒子性的一面,從而實際上抺殺了波動性的一面而被實踐證明是錯誤的.3)分析:現(xiàn)在的研究對象——微觀粒子:

具有一定的質(zhì)量,電荷等屬性被稱為物質(zhì)的“原子性”,“整體性”或“粒子性”。但不是經(jīng)典的粒子,拋棄了“軌道”概念.具有干涉,衍射現(xiàn)象——本質(zhì)上是波的相干迭加性.但又不是經(jīng)典的波,具有明確的局域性.結(jié)論:1926年,玻恩(M.Born)把微觀粒子的“原

子性”和“波的相干迭加性”統(tǒng)一起來,提出了“幾率波”的概念.4)電子雙縫衍射實驗:目的:

通過分析電子雙縫衍射實驗,去尋找正確理解和認識象電子這樣的微觀客體的行為特征的途徑.名人名言

Feynman認為:

這一實驗設(shè)計的包含了量子力學(xué)的一切秘密之處,它把自然的疑難,特異和神奇性百分之百地擺在你的面前.降低所發(fā)射的

電子束的強度,使其低到足以

分開每一個事件特點：實驗A)

電子是逐個到達熒光屏上的，所謂逐個的意思就是對每個事件在屏上只能觀察到一個亮點，而且各亮點涉及到的范圍很小。不會出現(xiàn)一大片光斑或光暈（粒子性的表現(xiàn)）。

實驗結(jié)果①

先只打開縫1并遮上縫2開始對應(yīng)于每個事件的亮點在屏上出現(xiàn)的位置是隨機的。但積累了大量事件后就可看到單縫衍射的圖樣。反之亦然。②當兩個縫同時打開時：開始亮點在屏上出現(xiàn)的位置仍是隨機的但積累了大量事件后就可看到的結(jié)果并不是①中兩個單縫衍射的圖樣簡單相加，而是雙縫的衍射的圖樣。結(jié)論:既不是經(jīng)典的粒子也不是經(jīng)典的波.C)

為說明問題，實驗按以下順序進行：B)

只要時間足夠長就可記錄下大量的事件，其結(jié)果就會看到衍射條紋（波動性的表現(xiàn)）。若以來描述電子衍射花樣的強度分布的存在的A)相干迭加的結(jié)果充分顯示了微觀粒子與經(jīng)典粒子的區(qū)別

.若是經(jīng)典粒子,如細沙粒或子彈,它們一個一個地穿過狹縫,雖然兩個縫都是打開的,但穿過縫2的粒子是無法感知縫1,反之亦然.所以只能出現(xiàn)經(jīng)典的結(jié)果。.B)如何理解相干迭加的這一結(jié)果呢?試想遵循下面的推理:對實驗結(jié)果的解釋μμ某處衍射條紋的強度該處附近出現(xiàn)亮點的次數(shù)打在該處附近的電子的數(shù)目μ一個電子在該處附近出現(xiàn)的幾率結(jié)論:以

描述電子衍射花樣的強度分布,則應(yīng)正比于電子在該處附近出現(xiàn)的幾率.2Y8BulletDouble-slitInterference結(jié)論:(1)函數(shù)(r)在雙縫衍射中對電子的狀態(tài)具有重要意義,即可以用(r)來描寫經(jīng)雙縫衍射后電子在到達屏上時所處的狀態(tài).(2)使用(r)的描述,可以統(tǒng)一“波動性”與“粒子性”的矛盾------“幾率波”二.波函數(shù):1)量子力學(xué)中使用波函數(shù)來描述微觀粒子的運動狀態(tài),

一般以(r,t)來表示.①波函數(shù)本身它并不是一個力學(xué)變量------這是與經(jīng)典力學(xué)的一個重要區(qū)別.------從一開始量子力學(xué)就與經(jīng)典力學(xué)完全不同②它可以向我們提供被研究的微觀粒子的各種力學(xué)量的取值及其變化的全部信息.2)波函數(shù)的幾率解釋:①

為微觀粒子t時刻在r處附近r

→

r+dr區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)的幾率.②歸一化條件:③(r)與C(r)(C為一常數(shù))所描寫的是同一個微觀狀態(tài).A)“幾率波”與經(jīng)典波動有本質(zhì)的不同:y0Cy0X

對經(jīng)典波動:波動方程前乘以C,相當與波的振幅被放大了C倍,強度被放大了C2倍,因此它們是完全不同的兩個波.討論:B)歸一化系數(shù):設(shè)(r,t)為一個沒被歸一化的波函數(shù),若有常數(shù)C滿足:其中或C被稱為(r,t)的歸一化系數(shù).若有(r,t)=C(r,t)且(r,t)和(r,t)描述的是同一個狀態(tài).C)波函數(shù)位相的不確定性:當為實數(shù)時與描述的是同一個狀態(tài)且都是歸一化的現(xiàn)象被稱為波函數(shù)位相的不確定性.3)波函數(shù)的標準化條件:

物理上要求：波函數(shù)滿足單值、連續(xù)和有限的條件.

有限性它不排除對某些孤立點有:但04)自由粒子平面波的波函數(shù):總體思路由經(jīng)典平面波波動方程的復(fù)數(shù)形式，利用德布羅意關(guān)系式，把經(jīng)典理論中描寫粒子性的物理量E和P揉入其中，形成自由粒子的波函數(shù)的表達式。再去經(jīng)受實踐的檢驗。其復(fù)數(shù)形式為：A）經(jīng)典的沿X方向傳播的平面波的波動方程：波的強度波的強度取其實部則可還原為其實數(shù)形式。復(fù)數(shù)形式的優(yōu)點：a)方便運算。B)自由粒子與平面波:自由粒子不受外界作用,其動量為確定值德布羅意關(guān)系式對應(yīng)的波長與波矢為恒定平面波b)初位相f以的形式出現(xiàn)，因此可以被包含在復(fù)振幅A中。C）量子力學(xué)中自由粒子的波函數(shù)：)(0),(xpEtixetx--Y=Yh對應(yīng)代換關(guān)系量子力學(xué)經(jīng)典力學(xué)),(txy),(txYn頻率hE/能量l波長xph/動量A振幅0Y復(fù)振幅量子力學(xué)中自由粒子的波函數(shù)一般情況下的表示:特點1)具有波動方程的形式.2)包含經(jīng)典理論中描述粒子特征的物理量

E

和p在空間各點發(fā)現(xiàn)自由粒子的概率相同。這時粒子的動量是完全確定的，但其位置就完全不確定。常數(shù)=Y2),(trr對自由粒子

波函數(shù)統(tǒng)計詮釋涉及對微觀世界本質(zhì)的認識與爭論至今仍未完結(jié)。哥本哈根學(xué)派愛因斯坦設(shè)歸一化因子為C，則歸一化的波函數(shù)為(x)=C

exp(-2x2/2)例題：將波函數(shù)歸一化解:由:可得:則歸一化后的波函數(shù)為利用積分公式:得:量子力學(xué)與經(jīng)典力學(xué)§2

薛定格方程一.自由粒子薛定格方程的建立:自由粒子波函數(shù)1)為討論其隨時間的變化兩邊對t求偏導(dǎo)得:2)它啟發(fā)我們波函數(shù)隨時間的變化與能量有關(guān)：自由粒子的能量表達式為:在直角坐標系中的形式為：這個式子當然也可寫為:3)注意到自由粒子波函數(shù)對坐標的導(dǎo)數(shù)是與動量有關(guān)的,而且對自由粒子來講，能量是可以由動量完全確定下來的。因此要討論波函數(shù)對坐標的導(dǎo)數(shù):同理4)再由:同理有：5)所以有:6)把1)和5)代入2)的兩邊可得:----自由粒子波函數(shù)所滿足的薛定格方程該方程的特點:A)是一個線性微分方程,迭加原理適用.若體系具有一系列不同的可能狀態(tài)則也是其可能的狀態(tài)B)方程系數(shù)中不包含與微觀粒子狀態(tài)有關(guān)的參量.通過上述過程，能得到自由粒子波函數(shù)所滿足的微分方程，這是好的。但是得到該方程的方法是我們所不感興趣的。有意義是我們?nèi)钥梢詮纳鲜鲞^程中得到一些重要的啟示。再把這些啟示進一步升華就可得到另外一種產(chǎn)生上述方程的方法。這種新方法的一個重要特征就是：可以在不知道自由粒子波函數(shù)的情況下，仍然能得到正確的關(guān)于自由粒子波函數(shù)隨時間變化的偏微分方程。給出我們這種啟示的是在前面的的推導(dǎo)過程中所出現(xiàn)過的下述等式：當然，在前述過程中這些等式是在自由粒子的波函數(shù)為已知的條件下被“推導(dǎo)”出來的。這些等式可以給出的啟發(fā)是：但是如果我們認為在不知道波函數(shù)的具體形式時這些等式也是正確的。當然，這一認識對于自由粒子的情況一定是沒有問題的。

②動量

px對波函數(shù)的作用與算符對波函數(shù)的作用是相同的。(其中x=x,y,z)

③動量平方

px2對波函數(shù)的作用與算符對波函數(shù)的作用是相同的。(其中x=x,y,z)那么就可以使用這些等式在不知道自由粒子波函數(shù)的情況下得到自由粒子波函數(shù)隨時間變化的偏微分方程。對其具體的操作過程可表通過下面三個步驟完成：

①能量E對波函數(shù)的作用與算符對波函數(shù)的作用是相同的。

①假設(shè)：對未知的波函數(shù)，上述等式都是正確的。即承認對未知的波函數(shù)下述的物理量與算符之間的對應(yīng)關(guān)系是正確的。

②寫出經(jīng)典力學(xué)的自由粒子的能量表達式：并對任意函數(shù)ψ可以得到等式：

③使用①中給出的算符，替換②中最后一個等式中相應(yīng)的各個物理量就可得到與前面經(jīng)過推導(dǎo)得到的完全相同的自由粒子的波函數(shù)所滿足的偏微分方程。----這就是自由粒子波函數(shù)所滿足的薛定格方程再強調(diào)一遍，這方法的一個重要特點就是：可以在不知道自由粒子波函數(shù)的情況下，仍然能得到正確的關(guān)于自由粒子波函數(shù)隨時間變化的偏微分方程。正是由于這個原因，使得使得這種方法更容易向一般的情況，即事先不知道波函數(shù)的具體形式，但是還要尋求波函數(shù)所滿足的微分方程的這種情況去推廣。二.一般情況下的薛定格方程:1)一維的情況：為了得到對于非自由粒子，即一般情況下的薛定格方程我們假設(shè)：前述的反映力學(xué)量與算符的對應(yīng)關(guān)系的等式在一般情況下，即非自由粒子的情況下也是正確的。

由此可以得到等式：使用前面的“算符關(guān)系等式”代換掉上式中的物理量可得到：2)三維情況：其中：

其中ψ（x,t）為未知的，可用來描寫該粒子狀態(tài)的波函數(shù)。在一維情況下，非自由粒子的經(jīng)典力學(xué)能量表達式應(yīng)寫為：

該方程于1926被Sch?dinger首次給出,并為此榮獲1933年諾貝爾物理獎.Sch?dinger方程是非相對論量子力學(xué)的基本動力學(xué)方程.其在量子力學(xué)中的地位與牛頓定律在經(jīng)典力學(xué)中的地位是相同的.

三維情況下的粒子經(jīng)典力學(xué)的能量表達式為：再使用“算符關(guān)系等式”代換掉上式中的物理量就可得到：

并由此可以得到等式：三.定態(tài)薛定格方程:1)定態(tài)薛定格方程A)分離變量:

若在所研究的問題中U=U(r)與時間t無關(guān),則可設(shè):(r,t)=(r)f(t)對薛定格方程分離變量可得:其中E為常數(shù).B)本征值與本征值方程:E為算符

或

的本征值而上述方程被稱為該算符的本征值方程.C)與時間有關(guān)部分的解:

由方程可解出:D)定態(tài):

這時

在這種狀態(tài)下微觀粒子在各處出現(xiàn)的幾率與時間無關(guān)-----因此被稱為定態(tài)

被稱為定態(tài)波函數(shù).

E)定態(tài)薛定格方程:

方程被稱為定態(tài)薛定格方程.定義:對定態(tài)情況時有:這里被稱為系統(tǒng)的哈密頓量.

定態(tài)薛定格方程也可表示為:這時E被稱為H的本征值,而(r)被稱為H的本征函數(shù).2)多粒子系統(tǒng)的定態(tài)薛定格方程:研究對象:總粒子數(shù)=N,粒子的質(zhì)量mi(i=1,2,3…N)粒子間的相互作用勢能為:外場與粒子間的相互作用勢能為:若V與Ui都與時間無關(guān),則我們可以研究其定態(tài)問題.以表示系統(tǒng)的定態(tài)波函數(shù).A)波函數(shù):其物理意義為:歸一化條件為:C)多粒子系統(tǒng)的定態(tài)薛定格方程:這里的E就是該多粒子系統(tǒng)的能量本征值.B)多粒子系統(tǒng)的哈密頓量:經(jīng)典力學(xué):量子力學(xué):2023/1/1432

微觀粒子的狀態(tài)可用波函數(shù)來描寫,而波函數(shù)隨時間的演化遵從薛定格方程:一、物理背景與簡化近似:§3、一維無限深勢阱簡化近似：x)(xU0U勢阱深度一維有限深勢阱物理背景：)(xU金

屬

體0U勢阱深度金屬中自由電子的勢能曲線xx￥?0U勢阱深度一維無限深勢阱Ur)(rU原子核0U勢阱深度原子核中質(zhì)子的勢能曲線物理背景簡化近似一維無限深勢阱的勢能函數(shù)axxU<<=00)(axxxU><￥=或0)(勢阱寬度a=二、一維無限深勢阱的定態(tài)薛定格方程：勢阱中粒子的經(jīng)典力學(xué)能量關(guān)系mPEx22=應(yīng)用前面得到的物理啟示22222xppxx??-oTùh)(d(x)d2222xExm=-h其定態(tài)薛定格方程可寫為：邊界條件0)(=x時axx3￡,0x￥?0U勢阱深度勢能曲線Ua0

Ⅰ區(qū)03=01=

Ⅱ區(qū)

Ⅲ區(qū)三、一維無限深勢阱問題的解：1、方程的通解：222kmE=h0dd222=+yykx)sin()(jy+=kxAx令:2、確定常數(shù)

f勢阱無限深所以阱外有：y(x)=0（x￡0x3a）由波函數(shù)連續(xù)性，

邊界條件

：

y(0)=0

y(a)=0j

=0y(0)=Asinj=0x=0處有ka=npF(a)=Asinka=0n=1.2.3……n=0?注意到在x=a處有3

、能量本征值

E

的確定：222kmE=hka=np22222manEEnhp==n=1.2.3……一維無限深勢阱中運動的微觀粒的能量只能取分立值。其中n---被稱為量子數(shù)。

能量的不連續(xù)這一結(jié)論并不用出自于普朗克假設(shè)。它是量子力學(xué)的自然結(jié)果?；鶓B(tài)能量10----波動性。22212maEhp=kxAxsin)(=1d)(20=òxxanaA2=122=aA4、確定能量本征波函數(shù)：ka=npxanAxnpsin)(=22222manEnhp=對應(yīng)于能量本征值為

的本征波函數(shù)。5、由歸一化條件確定系數(shù)A：歸一化條件為1)(2-=ò+￥￥dxxn(x)=0（

x￡0x3a）1sin20=òdxxanAapxanAxnpsin)(=a2（

0<x<a

）一維無限深勢阱定態(tài)薛定格方程全部解完。6、一維無限深勢阱問題小結(jié)：1）一維無限深勢阱中粒子的能級、波函數(shù)和概率密度n=1n=2n=3a22212maEhp=2nnw=124EE=1w2w3w139EE=0xnExaapsin21=xaap2sin22=xaap3sin23=n0xnEahtEinnnextx-=Y)(),(tinexanapnp2)sin(2-=駐波

？A)考慮

時間因子

是沿

x軸正向、負向傳播的波，形成

駐波。兩端為波節(jié)。只有某些波長的波才能形成駐波。n的取值不同,能量不同，腹的數(shù)目不同。波腹的數(shù)目等于

n的數(shù)目。a為半波長的整數(shù)倍.ieeii2sinqqq--=2）討論：C)束縛態(tài)與擴展態(tài):B)基態(tài)能量與測不準關(guān)系:束縛態(tài):在│r│

→

∞

時波函數(shù)為零的狀態(tài)稱為束縛態(tài).n(x)=0（

x￡0x3a)xanAxnpsin)(=束縛態(tài)擴展態(tài):如對自由粒子的波函數(shù)有:因此一般有:所以自由粒子的狀態(tài)為擴展態(tài).D)宇稱:可以證明對勢阱的勢能函數(shù)為:axxU<<=-a0)(axxxU><￥=

或-a)(勢阱寬度2a=的一維無限深勢阱中粒子其定態(tài)波函數(shù)為:該波函數(shù)具有下列性質(zhì):當n為偶數(shù)時:當n為奇數(shù)時:這來源于勢函數(shù)U(x)對x=0處的對稱性U(x)=U(-x)①宇稱算符:P稱為宇稱算符.以P表示把X變?yōu)樨揦的運算,則有:②P的本征值:由知P2的本征值為1,因此P的本征值為+1或-1,即有:偶宇稱奇宇稱四、量子力學(xué)處理問題的基本步驟：1)寫出哈密頓量及哈密頓算符.4)由初始條件和邊界條件,并依據(jù)波函數(shù)的

標準化條件的要求,求出能量本征值.3)解出通解,其中包含待定常數(shù):

能量本征值及一些待定常數(shù).5)求出與本征值相應(yīng)的本征波函數(shù).6)進行必要的討論.2)建立薛定格方程.§4、一維諧振子1)勢函數(shù):m—振子質(zhì)量，—固有頻率，x—離開平衡位置的位移2)哈密頓量:一、哈密頓量及哈密頓算符:3)哈密頓算符:由得:為定態(tài)問題。二.定態(tài)薛定格方程:1)定態(tài)薛定格方程:由得:2)明確邊界條件:因為嚴格的一維諧振子是個一維無限深勢阱

------只存在束縛態(tài).所以有:這就一維諧振子的波函數(shù)應(yīng)滿足的邊界條件.(1)三.解出定態(tài)薛定格方程的通解:1)方程的化簡:代入方程(1)可得:2)求出漸近解:注意到方程變?yōu)?該方程在∞時有:形式的解.且滿足邊界條件的漸近解為:(2)〖〗因為

不滿足邊界條件的要求,所以舍去.因此得方程在∞時的近似解為:3)厄米方程:設(shè)方程(2)的通解為:則有:代回方程(2)中可得:(3)

方程(3)在數(shù)學(xué)上被稱為厄米方程,顯然，只要由該方程求出函數(shù)u

就可得到方程(1)的解.4)厄米方程的級數(shù)解法:設(shè):則有:代回方程(3)中可得:在第一個求和號中取-

則有

+

，且有求和范圍由:(4)欲使該式對任何都等于零,就要求

各次冪的系數(shù)均為零:這樣，前面的方程就可寫為：則有:c)系數(shù)間的遞推關(guān)系:b)當時有:s=0或s=-1a)當時有:s=0或s=1因此,只需確定系數(shù)a0和a1,則其它的系數(shù)都可通過該遞推關(guān)系完全確定.5)根據(jù)波函數(shù)的標準化條件,確定能量本征值:

一般情況下

u()

=

H是一個無窮級數(shù).當∞時其漸近行為具有如下形式:A)對(4)中的結(jié)果進行分析:〖〗①②不滿足邊界條件的要求,也不滿足標準化條件中關(guān)于有限性的要求.B)解決辦法:為保證(x)的有限性且滿足邊界條件，就要求級數(shù)從某一項開始其系數(shù)等于零,這樣無窮級數(shù)就變成一個有限項的多項式,若有:C)確定能量本征值:注意到(若如此則不能滿足有限性的要求.)①設(shè):這時有s=0或s=1兩種情況:這時必有=偶數(shù)s=0時,定義:n=+s=為偶數(shù).s=1時,定義:n=+s=+1為奇數(shù).綜上有:n=+s=正整數(shù).n=0,1,2,3,...注意到:該式給出了薛定格方程(1)的能本征值.②可以說明,若設(shè)時s=0,s=-1,并不給出新的結(jié)果.6)求解本征波函數(shù):①注意到x

則有:其中

Hn

=Hnx稱厄米多項式.其具體的形式為:③Hn的最高次冪的項為2nn②可以證明有:n=0,E0=(1/2),H0n=1,E1=(3/2),H12n=2,E2=(5/2),H242-2-----------------------------n=n,En=(n+1/2),④波函數(shù)的歸一化:為此計算積分:分部積分一次可得:由厄米多項式表達式可得:而HnHn-1為關(guān)于的多項式,其最高次冪為:2nn2n-1n-1=22n-12n-1

它與相乘,當±時必為零.因此有:把這種分部積分反復(fù)進行n次可得:但有:和歸一化后的波函數(shù)為:7)討論:①正交性:一維諧振子的波函數(shù)n(x)滿足:(6)證明:對m

=

n的情況在歸一化時已討論過,

對m

,

n不相等的情況,不妨設(shè)m<n,這時有:對其分部積分m+1次后可得:0m=nm=n1注意到:所以有:這一結(jié)果被稱為一維諧振子本征波函數(shù)n(x)的正交性.②完備性:

完備性是指本征函數(shù)系具有如下的性質(zhì):相當一部分以x為自變量的函數(shù)可以按該函數(shù)系展開成級數(shù)的形式.如對函數(shù)f(x)可寫為:所謂“完備性”從某種意義上可以認為就是：展開式中的系數(shù)an

是可由f(x)和n(x)來唯一確定的。

對此可作如下說明:若把前式兩邊同乘以n*(x)并對x積分有:利用{n(x)}的正交性可得:則有:即:③本征波函數(shù)nx的函數(shù)曲線:節(jié)點:A)使函數(shù)nx=0的點稱為該函數(shù)的節(jié)點.

B)顯然nx的節(jié)點決定于Hn(x),而Hn是x的n次多項式,因此Hn(x)=0就有n個根,也就是說nx有n個節(jié)點.(除x=∞外)

n=0n=1n=2④粒子在各處出現(xiàn)的幾率的分布:由波函數(shù)的幾率解釋,粒子處在量子數(shù)為n的本征態(tài)時,其位置在xx+dx區(qū)間內(nèi)的幾為:⑤與經(jīng)典諧振子的比較:A)能量狀態(tài):經(jīng)典:可取連續(xù)值且可以為零.量子:只能可取分立值最小值E0=?ω/2不為零------測不準關(guān)系的體現(xiàn).B)幾率分布:量子:以基態(tài)波函數(shù)為例.顯然:經(jīng)典:與量子基態(tài)具有相同能量時即在找到粒子的幾率為零.而按量子力學(xué),在處找到粒子的幾率為:C)量子結(jié)果與經(jīng)典結(jié)果間的聯(lián)系:可以證明:當n>>1時,量子力學(xué)的結(jié)果在平均值上與經(jīng)典力學(xué)的結(jié)果相符合.差別只在于

|n(x)|2

是迅速振蕩著的.線性諧振子n=11時的幾率密度分布§4、勢壘貫穿與掃描遂穿顯微鏡一、E>U0時勢壘的反射與貫穿:1)勢函數(shù):2)薛定格方程:(I區(qū),III區(qū))(II區(qū))3)邊界條件:0aU0I區(qū)II區(qū)III區(qū)U(x)4)通解:令對E>0且E>U0的情況,其解可寫為:I區(qū):II區(qū):III區(qū):5)物理意義:

這里eikx和e-ikx分別表示沿X軸正方向和沿負方向傳播的波矢為k的平面波.所以:A為入射波振幅,A’為反射波振幅.C為透射波振幅,C’必須為零.6)解的情況:把上述通解代入邊界條件可得四個方程.從這四個方程中可解出B,B’,C及A’———它們?yōu)锳,k1,k2,a的函數(shù).其中有:二.幾率流密度:----幾率密度本段討論w(r,t)隨時間變化的情況：（1）一維時的情況：由薛定諤方程：1.幾率流密度:把該式取復(fù)數(shù)共軛可得：把這兩式代入前式可得：定義：-----幾率流密度上式可寫為：（2）三維時的情況：把該式取復(fù)數(shù)共軛可得：(1)(2)這里使用了有關(guān)的矢量運算公式：定義：-----幾率流密度上式可寫為：-----連續(xù)性方程（3）連續(xù)性方程的物理意義：由數(shù)學(xué)中的散度定理：可得：討論該式的物理意義。①質(zhì)量守恒方程：②電荷守恒方程----質(zhì)量密度----質(zhì)量流密度-----質(zhì)量守恒方程。----電荷密度----電流密度-----電荷守恒方程。③討論：這里的幾率守恒有定域的性質(zhì)：當微觀粒子在空間某處出現(xiàn)的幾率小了，必然在另一些地方出現(xiàn)的幾率增加了以使總的幾率保持不變。如討論：由定域條件可知必有：則可得：所以有：結(jié)論：在整個空間找到粒子的幾率與時間無關(guān)。如果波函數(shù)是已經(jīng)歸一化的，那末它將保持歸一化的性質(zhì)而不隨時間改變。①

入射波的幾率流密度:②

透射波與反射波的幾率流密度:同樣的計算可以說明有:③

透射系數(shù)與反射系數(shù):由定義:2、反射系數(shù)與透射系數(shù):R0這說明,既使在E>U0的情況下也有一部分粒子被反射回I區(qū).三、E<U0情況下的勢壘貫穿:1)E<U0時的情