金融工程鄭振龍第14章期權(quán)價(jià)格的敏感性和期權(quán)的套期保值

14.0期權(quán)價(jià)格的敏感性和期權(quán)的套期保值在前面幾章中，我們簡(jiǎn)要分析了決定和影響期權(quán)價(jià)格的主要因素，以及這些因素對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響方向。在這章我們將把各種因素對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響程度量化，即計(jì)算出期權(quán)價(jià)格對(duì)這些因素的敏感性。本章將介紹期權(quán)價(jià)格對(duì)其標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格、到期時(shí)間、波動(dòng)率和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率四個(gè)參數(shù)的敏感性指標(biāo)，并以此為基礎(chǔ)討論相關(guān)的動(dòng)態(tài)套期保值問(wèn)題。1Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,200814.1Delta與期權(quán)的套期保值期權(quán)的Delta（）用于衡量期權(quán)價(jià)格對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變動(dòng)的敏感度，它等于期權(quán)價(jià)格變化與標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變化的比率。準(zhǔn)確地說(shuō)，它是表示在其它條件不變情況下，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的微小變動(dòng)所導(dǎo)致的期權(quán)價(jià)格的變動(dòng)。用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示，期權(quán)的Delta值等于期權(quán)價(jià)格對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的偏導(dǎo)數(shù)。從幾何上看，它是期權(quán)價(jià)格與標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格關(guān)系曲線的切線的斜率。2Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,200814.1.1期權(quán)Delta值的計(jì)算令f表示期權(quán)的價(jià)格，S表示標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格，表示期權(quán)的Delta，則：

據(jù)此我們可以算出無(wú)收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)的值為：無(wú)收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)的值為：3Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,200814.1.2期權(quán)Delta值的性質(zhì)和特征分析從概率分布的性質(zhì)可知，，因此無(wú)收益資產(chǎn)看漲期權(quán)的值總在0與1之間；而無(wú)收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)的值則總是在-1到0之間。反過(guò)來(lái)，無(wú)收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)空頭值就總在-1和0之間；而無(wú)收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)空頭的值則總在0與1之間。4Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,200814.1.2期權(quán)Delta值的性質(zhì)和特征分析無(wú)收益資產(chǎn)看漲期權(quán)和看跌期權(quán)值與標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的關(guān)系

5Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,2008無(wú)收益資產(chǎn)看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)值與到期期限之間的關(guān)系

14.1.2期權(quán)Delta值的性質(zhì)和特征分析6Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,2008無(wú)收益資產(chǎn)看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)Delta值與r之間的關(guān)系

14.1.2期權(quán)Delta值的性質(zhì)和特征分析7Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,200814.1.3證券組合的Delta值當(dāng)證券組合中含有標(biāo)的資產(chǎn)、該標(biāo)的資產(chǎn)的各種期權(quán)和其他衍生證券的不同頭寸時(shí)，該證券組合的值就等于組合中單個(gè)資產(chǎn)值的總和（注意這里的標(biāo)的資產(chǎn)都應(yīng)該是相同的）：

其中，wi表示第i種證券的數(shù)量，表示第i種證券值。8Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,200814.1.4Delta中性狀態(tài)與套期保值由于標(biāo)的資產(chǎn)和相應(yīng)的衍生證券可取多頭或空頭，因此其值可正可負(fù)。這樣，若組合內(nèi)標(biāo)的資產(chǎn)和期權(quán)及其他衍生證券數(shù)量配合適當(dāng)?shù)脑挘麄€(gè)組合的值就可能等于0。我們稱(chēng)值為0的證券組合處于中性狀態(tài)。當(dāng)證券組合處于中性狀態(tài)時(shí)，組合的價(jià)值在短時(shí)間內(nèi)不受標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)的影響，從而實(shí)現(xiàn)相對(duì)于標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的套期保值。但值得強(qiáng)調(diào)的是，除了標(biāo)的資產(chǎn)本身和遠(yuǎn)期合約的值恒等于1，其他衍生產(chǎn)品的值可能隨時(shí)不斷變化。因此證券組合處于中性狀態(tài)只能維持一個(gè)很短的時(shí)間。所以，我們只能說(shuō)，當(dāng)證券組合處于中性狀態(tài)時(shí)，該組合價(jià)值在一個(gè)“短時(shí)間”內(nèi)不受標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)的影響，從而實(shí)現(xiàn)了“瞬時(shí)”套期保值。(案例14.1)9Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,200814.1.4Delta中性狀態(tài)與套期保值如果出售一份看漲期權(quán)，就需要買(mǎi)入一份看漲期權(quán)或是通過(guò)中性構(gòu)造一個(gè)“合成的看漲期權(quán)多頭”，收入和費(fèi)用相抵消，套期保值到底有何意義呢？對(duì)于一個(gè)穩(wěn)健經(jīng)營(yíng)的金融機(jī)構(gòu)來(lái)說(shuō)，不能讓自己處于風(fēng)險(xiǎn)暴露中而不作為，而中性套期保值方法就提供了風(fēng)險(xiǎn)管理的一種手段。首先，專(zhuān)業(yè)的金融運(yùn)營(yíng)和風(fēng)險(xiǎn)運(yùn)營(yíng)機(jī)構(gòu)，往往能夠以比市場(chǎng)價(jià)格優(yōu)惠的費(fèi)率進(jìn)行套期保值。其次，一家高效運(yùn)營(yíng)的現(xiàn)代金融機(jī)構(gòu)，往往先在總資產(chǎn)組合層面上計(jì)算對(duì)某一標(biāo)的資產(chǎn)的凈值，先在公司內(nèi)部實(shí)現(xiàn)初步的風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖，再到外部市場(chǎng)上進(jìn)行凈值的套期保值，從而可以降低套期保值的成本。最后，金融機(jī)構(gòu)可以結(jié)合自身的資產(chǎn)狀況、市場(chǎng)預(yù)期和風(fēng)險(xiǎn)目標(biāo)來(lái)管理指標(biāo)，不同目標(biāo)值的設(shè)定就可以實(shí)現(xiàn)不同風(fēng)險(xiǎn)管理策略。10Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,200814.2Theta與套期保值期權(quán)的Theta（）用于衡量期權(quán)價(jià)格對(duì)時(shí)間變化的敏感度，是在其它條件不變情況下期權(quán)價(jià)格變化與時(shí)間變化的比率，即期權(quán)價(jià)格對(duì)時(shí)間t的偏導(dǎo)數(shù)。11Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,200814.2.1期權(quán)Theta值的計(jì)算根據(jù)B-S-M期權(quán)定價(jià)公式，對(duì)于無(wú)收益資產(chǎn)的歐式和美式看漲期權(quán)而言：對(duì)于無(wú)收益資產(chǎn)的歐式看跌期權(quán)而言：12Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,200814.2.2期權(quán)Theta值的性質(zhì)和特征分析當(dāng)越來(lái)越臨近到期日時(shí)，期權(quán)的價(jià)值逐漸衰減，因此期權(quán)的常常是負(fù)的。它代表的是期權(quán)的價(jià)值隨著時(shí)間推移而變化的程度。期權(quán)的值同時(shí)受S、T-t、r和的影響。

無(wú)收益資產(chǎn)看漲期權(quán)Theta值與S的關(guān)系

無(wú)收益資產(chǎn)看漲期權(quán)Theta值與有效期之間的關(guān)系

13Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,200814.2.3Theta與套期保值由于時(shí)間的推移是確定的，沒(méi)有風(fēng)險(xiǎn)可言。因此無(wú)需對(duì)時(shí)間進(jìn)行套期保值。但值與及下文的Gamma值有較大關(guān)系。同時(shí)，在期權(quán)交易中，尤其是在差期交易中，由于值的大小反映了期權(quán)購(gòu)買(mǎi)者隨時(shí)間推移所損失的價(jià)值，因而無(wú)論對(duì)于避險(xiǎn)者、套利者還是投資者而言，值都是一個(gè)重要的敏感性指標(biāo)。14Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,200814.3Gamma與套期保值期權(quán)的Gamma（）是一個(gè)與聯(lián)系密切的敏感性指標(biāo)，可以認(rèn)為是的敏感性指標(biāo)，它用于衡量該證券的值對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變化的敏感度，它等于期權(quán)價(jià)格對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的二階偏導(dǎo)數(shù)，也等于期權(quán)的對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的一階偏導(dǎo)數(shù)。從幾何上看，它反映了期權(quán)價(jià)格與標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格關(guān)系曲線的凸度。15Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,200814.3.1期權(quán)Gamma值的計(jì)算根據(jù)B-S-M無(wú)收益資產(chǎn)歐式期權(quán)定價(jià)公式，我們可以算出無(wú)收益資產(chǎn)看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)的值為：16Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,200814.3.2期權(quán)Gamma值的性質(zhì)和特征分析無(wú)收益資產(chǎn)看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)值與S的關(guān)系

無(wú)收益資產(chǎn)看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)值與T-t的關(guān)系

17Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,200814.3.3證券組合的Gamma值標(biāo)的資產(chǎn)及遠(yuǎn)期和期貨合約的值均為0。這意味著只有期權(quán)有值。因此，當(dāng)證券組合中含有標(biāo)的資產(chǎn)和該標(biāo)的資產(chǎn)的各種期權(quán)和其他衍生產(chǎn)品時(shí)，該證券組合的值就等于組合內(nèi)各種期權(quán)值與其數(shù)量乘積的總和：其中，wi表示第i種期權(quán)的數(shù)量，表示第i種期權(quán)的值。18Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,200814.3.4Gamma中性狀態(tài)由于期權(quán)多頭的值總是正的，而期權(quán)空頭的值總是負(fù)的，因此若期權(quán)多頭和空頭數(shù)量配合適當(dāng)?shù)脑?，組合的值就等于零。我們稱(chēng)值為零的證券組合處于中性狀態(tài)。19Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,200814.3.5Delta、Theta和Gamma之間的關(guān)系我們?cè)懻撨^(guò)無(wú)收益資產(chǎn)的看漲期權(quán)價(jià)格f必須滿足B-S-M微分方程又因?yàn)橐虼擞校?/p>

該公式對(duì)無(wú)收益資產(chǎn)的單個(gè)期權(quán)和多個(gè)期權(quán)組合都適用。20Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,200814.3.5Delta、Theta和Gamma之間的關(guān)系Delta、Theta和Gamma三者之間的符號(hào)關(guān)系

21Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,200814.4Vega、RHO與套期保值期權(quán)的Vega（）用于衡量該證券的價(jià)值對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)率的敏感度，它等于期權(quán)價(jià)格對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)率的偏導(dǎo)數(shù)：

對(duì)無(wú)收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)而言：22Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,200814.4Vega、RHO與套期保值期權(quán)的Vega值與S的關(guān)系

23Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,200814.4Vega、RHO與套期保值當(dāng)我們調(diào)整期權(quán)頭寸使證券組合處于中性狀態(tài)時(shí)，新期權(quán)頭寸會(huì)同時(shí)改變證券組合的值，因此，若套期保值者要使證券組合同時(shí)達(dá)到中性和中性，至少要使用同一標(biāo)的資產(chǎn)的兩種期權(quán)。其中下標(biāo)p、1和2分別代表資產(chǎn)組合、期權(quán)1和期權(quán)2的相關(guān)參數(shù)。24Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,200814.4Vega、RHO與套期保值期權(quán)的RHO用于衡量期權(quán)價(jià)格對(duì)利率變化的敏感度，它等于期權(quán)價(jià)格對(duì)利率的偏導(dǎo)數(shù)：

對(duì)于無(wú)收益資產(chǎn)看漲期權(quán)而言對(duì)于無(wú)收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)而言期貨價(jià)格的rho值為：25Copyright?ZhengZhenlong&ChenRong,200814.5交易費(fèi)用與套期保值