自動控制原理3.1

第三章時域分析法時域分析法：利用控制系統(tǒng)在時間域中的數(shù)學(xué)模型－微分方程直接對系統(tǒng)進(jìn)行分析的方法。特點：屬于直接分析方法能提供系統(tǒng)時間響應(yīng)的全部信息從數(shù)學(xué)角度：利用拉氏反變換法求出系統(tǒng)的輸出量的表達(dá)式，提供系統(tǒng)輸出響應(yīng)的全部信息。直觀、準(zhǔn)確不足：實際控制系統(tǒng)較復(fù)雜，高階微分方程求解計算量大僅通過微分方程不容易區(qū)分影響系統(tǒng)運動規(guī)律的主要因素和次要因素例從工程角度：并非簡單求取一個既定系統(tǒng)的運動，而是需要選擇系統(tǒng)中某些參數(shù)，甚至改變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)以獲取較好的控制性能。對時域分析法的要求：計算量不應(yīng)太大，并且不因方程階次升高而增加太多容易分析系統(tǒng)各主要參數(shù)對系統(tǒng)運動規(guī)律的影響借助于圖表或曲線可以直觀地表示出系統(tǒng)的運動特征時域分析法需要解決的問題：判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定（絕對穩(wěn)定）系統(tǒng)在輸入信號作用下，最終達(dá)到穩(wěn)定時響應(yīng)過程是否快速、平穩(wěn)控制是否準(zhǔn)確本章主要內(nèi)容：

1.控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析2.控制系統(tǒng)的動態(tài)特性分析3.控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)特性分析說明：在系統(tǒng)動態(tài)特性分析中，許多高階系統(tǒng)的時間響應(yīng)可以用二階系統(tǒng)的時間響應(yīng)近似代替，將著重研究二階系統(tǒng)性能指標(biāo)的計算方法。

第一節(jié)典型輸入信號系統(tǒng)輸出響應(yīng)：系統(tǒng)的時間響應(yīng)不僅取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)、參數(shù)，而且與系統(tǒng)的輸入信號有關(guān)。實際控制系統(tǒng)的輸入具有多樣性和隨機(jī)性。設(shè)定典型輸入信號目的：在分析、設(shè)計自動控制系統(tǒng)時，對不同的系統(tǒng)性能有比較的基礎(chǔ)。特點：能反映系統(tǒng)的實際工作情況可以用簡單的數(shù)學(xué)形式來描述信號易于通過實驗產(chǎn)生C(t)=L-1[(S)?R(S)](S)：系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)典型輸入信號有以下5種：1.

階躍函數(shù)定義：r(t)=Rt00t<0式中，R為階躍函數(shù)的階躍值（常數(shù)）單位階躍函數(shù)拉氏變換式為：R(S)=L[r(t)]=1/S在實際系統(tǒng)中，階躍函數(shù)等同于：一個大小不變的作用在t=0時刻突然施加于系統(tǒng)（如電源電壓突然波動）。在控制系統(tǒng)分析和設(shè)計中，單位階躍函數(shù)是應(yīng)用最多的一種評價系統(tǒng)動態(tài)性能的典型外作用。2.

斜坡函數(shù)（等速度函數(shù)）定義：r(t)=Rtt00t<0單位斜坡函數(shù)拉氏變換式為：

1

S2R(S)=L[r(t)]=在實際系統(tǒng)中等同于一個隨時間以恒定速度增長的作用施加于系統(tǒng)（如跟蹤通訊衛(wèi)星的天線控制系統(tǒng)）。3.

拋物線函數(shù)（等加速度函數(shù)）定義：r(t)=Rt2t00t<012單位加速度函數(shù)拉氏變換式為：

1

S3R(S)=L[r(t)]=在實際系統(tǒng)中等同于一個隨時間以等加速度變化的作用施加于系統(tǒng)（如宇宙飛船控制系統(tǒng)）。4.

單位脈沖函數(shù)（沖擊函數(shù)）定義：r(t)=(t)=t=00t0∫

(t)dt=1單位脈沖函數(shù)拉氏變換式為：R(S)=L[(t)]=1說明：單位脈沖函數(shù)只是數(shù)學(xué)上的概念5.

正弦信號函數(shù)定義：r(t)=ASint正弦函數(shù)的拉氏變換為：

A

S2+2R(S)=L[r(t)]=說明：同一個系統(tǒng)中，不同形式的輸入信號所對應(yīng)的輸出響應(yīng)是不同的。對于線性控制系統(tǒng)而言，它們所表征的系統(tǒng)運動特征是一致的。通常以單位階躍函數(shù)作為典型輸入作用，則可在一個統(tǒng)一的基礎(chǔ)上對各種控制系統(tǒng)的特性進(jìn)行比較和研究。在典型輸入信號作用的基礎(chǔ)上設(shè)計出的系統(tǒng)對實際輸入信號的響應(yīng)特性能夠滿足要求。

第二節(jié)階躍響應(yīng)的性能指標(biāo)一、基本術(shù)語1.控制系統(tǒng)時間響應(yīng)C(t)：在給定輸入信號作用下，系統(tǒng)輸出隨時間的變化規(guī)律。

C(t)=Ctt(t)+Css(t)2.

瞬態(tài)響應(yīng)Ctt(t)：系統(tǒng)在輸入信號作用下，輸出量從初始狀態(tài)接近最終狀態(tài)的響應(yīng)（自然響應(yīng)）。一個可以實際運行的系統(tǒng)，其暫態(tài)過程必須是衰減的。3.

穩(wěn)態(tài)響應(yīng)Css(t)

（也稱為強(qiáng)迫響應(yīng)）：時間趨于無窮大時系統(tǒng)輸出量的表現(xiàn)形式。穩(wěn)態(tài)響應(yīng)表征了控制系統(tǒng)輸出量復(fù)現(xiàn)輸入量的程度。根據(jù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)選擇情況，設(shè)定初始條件為0時，控制系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)有兩種形式：

非周期響應(yīng)

衰減振蕩響應(yīng)

例：一般二階系統(tǒng)響應(yīng)特點

當(dāng)b=9,a=9時，特征方程：S2+aS+b=0C(t)=L-1[G(S)R(S)]=L-1[G(S)(1/S)]閉環(huán)傳遞函數(shù)極點分布圖C(t)=1＋r1e-1.146t＋r2e-7.845t當(dāng)a=6,b=9時，當(dāng)a=6,b=2時，特征方程：S2+aS+b=0二、系統(tǒng)的極點、零點和系統(tǒng)響應(yīng)關(guān)系R(S)C(S)

S+a

aG(S)例：[S]j0–a其中,a為正實數(shù)。閉環(huán)極點分布圖：系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)(零狀態(tài)響應(yīng))的拉氏變換為：階躍響應(yīng)為：

原點處的極點（由輸入決定）產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，即：輸入函數(shù)的極點決定了穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的類型。S=–a處系統(tǒng)極點(G(S)極點)產(chǎn)生暫態(tài)響應(yīng)e–at，即：系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點決定了自然響應(yīng)的類型。描述系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)的參數(shù)：

a

階躍響應(yīng)為：

R(S)C(S)

S+a

aG(S)*實軸上的極點產(chǎn)生了指數(shù)函數(shù)的響應(yīng)。單位階躍響應(yīng)為：

[S]j0–a在負(fù)實軸上的極點越遠(yuǎn)離虛軸，該極點所對應(yīng)的暫態(tài)響應(yīng)項就越快地衰減到0。*零、極點共同決定了暫態(tài)響應(yīng)分量的幅值。1.

上升時間tr系統(tǒng)輸出階躍響應(yīng)由穩(wěn)態(tài)值10％上升到穩(wěn)態(tài)值的90％所需要的時間。階躍響應(yīng)由零值上升到第一個峰值所需的時間。2.

峰值時間tp三、系統(tǒng)性能指標(biāo)定義3.

最大超調(diào)量％

在峰值時間上，系統(tǒng)響應(yīng)C(tp)超出終值C()的量，它以占終值的百分比來表示。指C(t)與C()之間誤差達(dá)到規(guī)定的允許值，并且以后不再超過此值所需的最短時間，即：

|C(t)C()

|；式中為規(guī)定的誤差允許值，2％或5％。％=C(tp)C()C()100%4.

調(diào)整時間ts最大超調(diào)量：

%反映系統(tǒng)響應(yīng)過程的平穩(wěn)性。ess反映系統(tǒng)復(fù)現(xiàn)輸入信號的精確度。利用上述指標(biāo)可以表征系統(tǒng)在給定輸入下的運動特征。

tp、tr均表征系統(tǒng)響應(yīng)初始階段的快慢。

ts表示系統(tǒng)過渡過程的持續(xù)時間?？傮w反映系統(tǒng)的快速性說明：5.

穩(wěn)態(tài)誤差ess對于單位反饋系統(tǒng)，當(dāng)t時，系統(tǒng)響應(yīng)的實際值與期望值之差。

第三節(jié)一階系統(tǒng)時域分析一階系統(tǒng)(一階慣性系統(tǒng))：由一階微分方程描述的系統(tǒng)。R(S)=

TS+1

1E(S)R(S)C(S)–TS1傳遞函數(shù)為：G(S)=C(S)/一、一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)輸入信號的拉氏變換為：R(S)=1/S則輸出信號的拉氏變換為：C(S)=G(S)R(S)=TS+11

S1?r(t)RCC(t),其中T=RC單位階躍響應(yīng)為：C(t)=L-1TS+11

S1?=1et/T其中，Css=1代表穩(wěn)態(tài)分量，Ctt=e

t/T代表暫態(tài)分量說明：時間常數(shù)T是表征響應(yīng)特性的唯一參數(shù)t=T,C(T)=0.632t=2T,C(2T)=0.863t=3T,C(3T)=0.950t=4T,C(4T)=0.982ess=Lim[1c(t)]=0t結(jié)論：1.一階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)無超調(diào)(％=0)2.主要動態(tài)性能指標(biāo)是調(diào)節(jié)時間ts

，一般?。?/p>

ts＝3T(s)(對應(yīng)5％誤差范圍）ts＝4T(s)(對應(yīng)2％誤差范圍）系統(tǒng)時間常數(shù)越小，響應(yīng)過程的快速性越好3.一階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)無穩(wěn)態(tài)誤差(ess=0)二、一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)輸入信號的拉氏變換為：R(S)=1/S2則輸出信號的拉氏變換為：C(S)=G(S)R(S)=TS+11

S21?單位斜坡響應(yīng)為：TS+11

S21?C(t)=L-1=(tT)+Tet/TCss=tT代表穩(wěn)態(tài)分量，Ctt=Te

t/T代表暫態(tài)分量說明：一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)存在穩(wěn)態(tài)誤差，為：ess=Lim[tc(t)]=TtC(t)r(t)essC(t)t0穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)輸入有關(guān)。對于該單位反饋系統(tǒng)，希望輸出值E(S)R(S)C(S)–TS1

第四節(jié)二階系統(tǒng)時域分析一、典型二階系統(tǒng)TmS2+S+k

k(S)=系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)(二階系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)形式)為：

S2+2nS+n2

n2G(S)=式中為二階系統(tǒng)的阻尼比，n為無阻尼振蕩頻率。對于結(jié)構(gòu)不同的二階系統(tǒng)，

和n的物理含義不同。TmS2+S+k

k(S)=n=Tm

K

=kTm21傳遞函數(shù)無零點R(S)C(S)–

S2+2nS

n2典型二階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖所示：二階系統(tǒng)的特征方程為：

S2+2nS+n2＝0S1,2=nn21當(dāng)0<<1時，系統(tǒng)處于欠阻尼狀態(tài)當(dāng)＝1時，系統(tǒng)處于臨界阻尼狀態(tài)當(dāng)>1時，系統(tǒng)處于過阻尼狀態(tài)當(dāng)＝0時，系統(tǒng)處于無阻尼狀態(tài)說明：和n是二階系統(tǒng)兩個重要參數(shù)，系統(tǒng)的響應(yīng)特性完全由這兩個參數(shù)決定。方程的特征根為：

S2+2nS+n2

n2(S)=二、典型二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)1.

欠阻尼(0<<1)二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)系統(tǒng)特征方程為：

S2+2nS+n2＝0S1,2=njn12當(dāng)輸入為單位階躍函數(shù)時，即：r(t)=1(t)C(S)=(S)R(S)=

S1?

S2+2nS+n2

n2令：d=n12=njdS1,2=nn21由于0<<1，其閉環(huán)特征根為一對共軛復(fù)數(shù)根：振蕩的阻尼頻率0tc(t)由復(fù)數(shù)極點的實部n所產(chǎn)生的指數(shù)衰減由復(fù)數(shù)極點的虛部d所產(chǎn)生的正弦振蕩阻尼系數(shù)=指數(shù)衰減頻率自然響應(yīng)頻率C(t)=1

entcosn12t+12sinn12t說明：當(dāng)0<<1時，系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)是按指數(shù)規(guī)律衰減的振蕩曲線，振蕩的頻率由系統(tǒng)極點的虛部決定，衰減的快慢由系統(tǒng)極點的負(fù)實部決定。S1,2

=njn12=njd將上式簡化為：ent1212sinnt+

?C(t)=1式中：=tg-112=cos-1結(jié)論：欠阻尼二階系統(tǒng)單位階躍響是衰減振蕩。C(t)=1

entcosn12t+12sinn12t2.

臨界阻尼狀態(tài)（＝1）二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)(S+n)2

n2(S)=系統(tǒng)的特征根為:系統(tǒng)階躍響應(yīng)：entC(t)=1（1＋nt）結(jié)論：二階系統(tǒng)臨界阻尼狀態(tài)的單位階躍響應(yīng)曲線是單調(diào)上升的，不出現(xiàn)振蕩現(xiàn)象。(S+n)2

n2

S1

S+n1=C(S)=?

(S+n)2

n2

S1＝1時系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：

S2+2nS+n2

n2(S)=一對相等的負(fù)實根，在單位階躍輸入函數(shù)作用下，系統(tǒng)輸出拉式變換為：3.

過阻尼狀態(tài)(>1)二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)系統(tǒng)的特征根為：S1,2

=nn21系統(tǒng)的特征根為:12C(t)=12

n

eS1tS1eS2tS2結(jié)論：二階系統(tǒng)過阻尼狀態(tài)的單位階躍響應(yīng)曲線是單調(diào)上升的，不會超過穩(wěn)態(tài)值1，也不出現(xiàn)振蕩現(xiàn)象。一對不等的負(fù)實根在單位階躍輸入函數(shù)作用下，系統(tǒng)輸出為：在單位階躍輸入函數(shù)作用下，系統(tǒng)輸出為：C(t)=1

cos

(nt)結(jié)論：無阻尼狀態(tài)的二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)是等幅振蕩的。4.

無阻尼狀態(tài)（＝0）二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)二階系統(tǒng)的特征根：S1,2

=nn21＝0時系統(tǒng)的特征根為：一對純共厄虛根S1,2

=jn當(dāng)0<<1時，系統(tǒng)處于欠阻尼狀態(tài)S1,2=njn12當(dāng)＝1時，系統(tǒng)處于臨界阻尼狀態(tài),S1,2為一對相等負(fù)實根當(dāng)>1時，系統(tǒng)處于過阻尼狀態(tài)，S1,2為一對不相等負(fù)實根當(dāng)＝0時，系統(tǒng)處于無阻尼狀態(tài)，S1,2為一對相等共軛虛根說明：和n是二階系統(tǒng)兩個重要參數(shù)，系統(tǒng)的響應(yīng)特性完全由這兩個參數(shù)決定。二、典型二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)主要討論欠阻尼(0<<1)二階系統(tǒng)性能指標(biāo)。系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為：S2+2nS+n2＝0其閉環(huán)特征根：S1,2=njn121.上升時間tr根據(jù)定義，當(dāng)t=tr時，C(tr)1，代入：entr1212sinntr+

?C(tr)=11解得：tr=d

或：12

tr=n

結(jié)論：增大自然振蕩頻率n或減小阻尼比，均能減小tr，從而加快系統(tǒng)的初始響應(yīng)速度。12

ntr+

=

ent1212sinnt+

?C(t)=1得：=tg-112＝02.峰值時間tp根據(jù)定義，當(dāng)t=tp時，dC(t)dt=0得：

n12tp=n其中，n=1,2,...12tp=n

或：tp=d

ent1212sin

nt+

?C(t)=1dC(t)dt=entp

12

?sindtpn=0t=tp已知：3.

最大超調(diào)量p根據(jù)定義，當(dāng)t=tp時，系統(tǒng)輸出響應(yīng)C(t)出現(xiàn)最大值。ent1212sin

nt+

?C(t)=1e12

C(tp)=1＋12tp=n

e

12

?(sincos

+cossin)C(tp)=112=tg-112結(jié)論：最大超調(diào)量僅由阻尼比決定，越小，％越大。4.調(diào)整時間ts根據(jù)定義，當(dāng)t=ts時，應(yīng)有：

|C(ts)C()

|

；式中，為規(guī)定的誤差允許值。

可取為：2%或5%超調(diào)量定義為：%=C(tp)C()C()100%e12

=100%e12

C(tp)=1＋輸入r(t)=1時為1ent1212cosnt–

?C(t)=1當(dāng)t時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出為C()=1即：ents1212cos

nts–

?ents12整理得：ts

n

1ln121?。?.02時，ts

ln121n4+|C(ts)C()

|=1可簡化為：ts=，=0.05n

3ts=，=0.02n

4結(jié)論：調(diào)整時間ts與閉環(huán)極點的實部成反比，即：閉環(huán)極點離虛軸越遠(yuǎn)，系統(tǒng)調(diào)整時間越短。在欠阻尼情況下，ln121較小，可忽略。?。?.05時，ts

ln121n3+S1,2=njn12欠阻尼二階系統(tǒng)閉環(huán)極點：說明：從上述動態(tài)性能指標(biāo)的計算式可以看出，各指標(biāo)之間是有矛盾的。如：上升時間和超調(diào)量（響應(yīng)速度和阻尼程度）不能同時達(dá)到滿意的結(jié)果。TmS2+S+k

k(S)=

S2+2nS+n2

n2(S)=n=Tm

K

=kTm21kn提高了響應(yīng)速度k響應(yīng)平穩(wěn)性降低例:系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖所示，要求系統(tǒng)性能指標(biāo)為:％＝20％,tp=1s，試確定系統(tǒng)的k值和A值，并計算tr和

ts值。系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：

S2+(1+kA)S+k

k(S)=

S2+2nS+n2

n2(S)=解：R(S)C(S)–S(S+1)

kAS+1S(S+1)

k

1+(AS+1)(S)=S(S+1)

k?1n=

k2n=1+kA根據(jù)％＝20％12tr=n

tr

=0.65s

ts=1.86s(=0.05)

ts=，=0.05n

3與標(biāo)準(zhǔn)形式相比較，有：

S2+(1+kA)S+k

k(S)=

S2+2nS+n2

n2(S)=e12

=100%根據(jù)tp=1s可得=0.456，則：k=

n2=12.5，A=0.178可求取n

=3.53(rad/s)12=n

=tg-112例：系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖所示，當(dāng)KA=200時計算系統(tǒng)的暫態(tài)性能指標(biāo)，如果將KA增大到1500或減小到13.5時，系統(tǒng)的暫態(tài)特性有何變化？R(S)C(S)–S(S+34.5)5KA解：(1)當(dāng)KA=200時，系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：

S2+34.5S+5KA5KA(S)=

S2+2nS+n2

n2=

S2+34.5S+10001000=n=1000

=34.5/2n=0.546=31.62rad/s則：特征方程S2+34.5S+1000＝0

S1,2=17.25j26.5（一對共軛復(fù)數(shù)根）d=n

12=26.49rad/s=arctg12=0.993rad系統(tǒng)的暫態(tài)性能指標(biāo)：tp=d

=0.119s%

e12

=100%=12.9%ts

==0.124s,=0.05n

3ts==0.232s,=0.02n

4或：(2)當(dāng)KA=1500時，

S2+34.5S+5KA5KA(S)=

S2+34.5S+5150051500=n=7500

=34.5/2n=0.199=86.6rad/s則：特征方程S2+34.5S+51500

=0

S1,2=17.23j84.87

系統(tǒng)的暫態(tài)性能指標(biāo)：tp=d

=0.037s%

e12

=100%=52.8%ts

==0.174s,=0.05n

3

S1,2=17.25j26.5

%=12.9%ts==0.124s,=0.05(3)當(dāng)KA=13.5時，

S2+34.5S+5KA5KA(S)=

S2+34.5S+513.5513.5=則：特征方程S2+34.5S+67.5=0

S1=2.08,S2=32.43（一對不等負(fù)實根）極點S2遠(yuǎn)離S平面虛軸，對系統(tǒng)的影響忽略不計，系統(tǒng)按一階系統(tǒng)計算暫態(tài)響應(yīng)指標(biāo)。(S)

S+2.08513.5=T=1/2.08系統(tǒng)動態(tài)指標(biāo)：Ts=3T=1.44s說明：要求選擇合適的系統(tǒng)開環(huán)增益KA，既提高系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性，又減少調(diào)節(jié)時間。G(S)=

TS+1

k三、二階系統(tǒng)性能指標(biāo)與系統(tǒng)極點分布關(guān)系欠阻尼二階系統(tǒng)的極點分布：原點到極點的距離是自然振蕩頻率n。與負(fù)實軸夾角

=arccosS1,2=nn1212tp=n

d

=ts=n

4=d

4其中，d稱為振蕩的阻尼頻率。d稱為指數(shù)阻尼頻率。S1,2=nn12Tp,Ts和σ%的常數(shù)線:=arccostp1>tp212tp=n

ts

=n

4S1,2=nn12結(jié)論：tp

反比于閉環(huán)極點虛部，ts

反比于閉環(huán)極點實部，射線代表超調(diào)量。=arccos（為原點到極點射線與負(fù)實軸夾角）ts1>ts21%

<2%極點具有相同實部時的二階系統(tǒng)階躍響應(yīng)：ts=n

4=d

4d稱為指數(shù)阻尼頻率。極點具有相同虛部時的二階系統(tǒng)階躍響應(yīng)：ent1212sinnt+

?C(t)=1極點具有相同阻尼比時的二階系統(tǒng)階躍響應(yīng)：四、具有零點的二階系統(tǒng)分析說明：當(dāng)二階系統(tǒng)具有閉環(huán)零點時，它的階躍響應(yīng)與典型二階系統(tǒng)（無零點）不同。假設(shè)二階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：

S2+2nS+n2

n2(S+1)(S)=C(S)=(S)R(S)=如果系統(tǒng)為欠阻尼，輸入信號為單位階躍函數(shù)，有：

S1?

S2+2nS+n2

n2(S+1)其單位階躍響應(yīng)為：

ent12sin(dt+)+?C(t)=1ent12?

sindt

n為了定量說明附加零點對二階系統(tǒng)性能的影響，用參數(shù)

a

表示附加零點(Z=–1/

)與典型二階系統(tǒng)極點負(fù)實部n與虛軸距離之比，即：a=n

Z說明：系統(tǒng)階躍響應(yīng)既與、n

有關(guān)，還與零點(或a)有關(guān)。對于一定的值，以a為參變量，得出系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線圖如下：結(jié)論：(1)增加閉環(huán)零點，將使二階系統(tǒng)超調(diào)量增大，上升時間和峰值時間減少。(2)隨著附加零點從極點左側(cè)向極點靠攏，影響越明顯(3)當(dāng)零點距離虛軸很遠(yuǎn)時，零點的影響忽略不及。a=1a=a=4ntC(t)1.0a=n

Z典型二階系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線五、欠阻尼二階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)當(dāng)單位信號為單位斜坡函數(shù)時，C(S)=(S)R(S)=

S21?

S2+2nS+n2

n2將上式展開成部分分式，進(jìn)行拉式變換得：ent1212sinnt+

?C(t)=(t

)

+

n

2d式中，=2tg-112=2二階系統(tǒng)單位斜坡響應(yīng)穩(wěn)態(tài)分量為：Css(t)=t

n2暫態(tài)分量為：ent1212sinnt+

?Ctt(t)=

C(t)r(t)essC(t)t0系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為：ess=Lime(t)=t

n2說明：該穩(wěn)態(tài)誤差是一個常值誤差，只能通過改變系統(tǒng)參數(shù)來減小，但不能消除。ent1212sinnt+

?C(t)=(t)

+

n

2六、過阻尼二階系統(tǒng)的動態(tài)過程分析由于過阻尼系統(tǒng)響應(yīng)緩慢，通常不希望采用過阻尼系統(tǒng)。但是不排除在某些情況下：低增益、大慣性的溫度控制系統(tǒng)不允許時間響應(yīng)出現(xiàn)超調(diào)的指示、記錄儀表系統(tǒng)有些高階系統(tǒng)的時間響應(yīng)往往可用過阻尼系統(tǒng)的時間響應(yīng)近似。12C(t)=12

n

eS1tS1eS2tS2性能指標(biāo)：上升時間tr、調(diào)整時間tstr=1+1.5+2/n

ts=3T1（針對二階系統(tǒng)可降為一階系統(tǒng)）ts=4.75T1（針對臨界阻尼二階系統(tǒng)）六、高階系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)高階系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)近似分析法：忽略部分次要因素，找到系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的一對主導(dǎo)極點，利用分析二階系統(tǒng)響應(yīng)的方法解決高階系統(tǒng)。設(shè)控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：GB(S)=anSn+an-1Sn-1+...+a1S+a0bmSm+bm-1Sm-1+...+b0i=1

(S+Pi)nj=1

K(S+Zj)m=將傳遞函數(shù)分解成因子形式：

GB(S)=S+P1A1

+S+P2A2

+...+S+PnAn

=i=1

nS+PiAi

假設(shè)系統(tǒng)的所有閉環(huán)極點–Pi為各不相同的實數(shù)，并且都分布在S平面的左半面，則：單位階躍信號作用下，系統(tǒng)輸出的拉氏變換式為：

其中，Ai=Lim(S+Pi)C(S)s

–Pi系統(tǒng)的輸出響應(yīng)為：C(t)=

A0

+i=1

nAie-Pit說明：系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)C(t)是由各分量疊加而成，各分量在C(t)中所占的比重取決于|Ai|的大小。(1)如果GB(S)中有某一個零點–Zr和它的某一個極點–Pk距離很近，即：

|–Pk–(–Zr)

|<<

|–Pi–(–Zr)

|

|–Pk+Zr

|<<

|–Pi+Zr)

|R(S)=SA0

+i=1

nS+Pi

Ai

C(S)=GB(S)則：Ak=Lim(S+Pk)C(S)s–Pk=S(S+P1)...(S+Pk)...(S+Pn)K(S+Z1)...(S+Zr)...(S+Zm)(S+Pk)S=–Pk=(–Pk)(–Pk+P1)...(–Pk

+Pn)K(–Pk+Z1)...

(–Pk+Zr)...(–Pk+Zm)=(–Pi)(–Pi+P1)...(–Pi

+Pn)K(–Pi+Z1)...

(–Pi+Zr)...(–Pi+Zm)Ai因為

|–Pk+Zr

|<<

|–Pi+Zr)

|所以

|Ak

|<<

|Ai

|結(jié)論：如果系統(tǒng)GB(S)中有某個零點和它的某個極點距離很近，則該極點所對應(yīng)的輸出分量在響應(yīng)中所占比重很小，可忽略不計。(2)如果GB(S)中有某一個極點–Pk距離原點很遠(yuǎn)，即：

|–Pk

|>>

|–Pi

|

,|–Pk

|>>

|–Zj

|有：

|–Pk+Pi

||–Pk

|，i=1,2,...,n-1

|–Pk+Zj

||–Pk

|，j=1,2,...,m則：Ak=Lim(S+Pk)C(S)s–Pk=S(S+P1)...(S+Pk)…(S+Pn)K(S+Z1)...(S+Zm)(S+Pk)S=–Pk=(–Pk)(–Pk+P1)...(–Pk

+Pn)K(–Pk+Z1)...(–Pk+Zm)=(–Pk)nK(–Pk)m其中:n>m，且若|–Pk

|

，則Ak0結(jié)論：GB(S)中距離原點很遠(yuǎn)的極點所對應(yīng)的運動成分對于系統(tǒng)響應(yīng)的影響很小，可忽略不計。如果高階系統(tǒng)閉環(huán)極點中既有實數(shù)極點又有共軛復(fù)數(shù)極點，并且所有極點均分布在S左半面，在單位階躍信號作用下，系統(tǒng)輸出的拉氏變換式為：將C(S)分解成因子形式：C(S)=f=1

(S+Pf)qj=1

K(S+Zj)mk=1

(S2+2kkS+k2)

r1S,q+2r=n

C(S)=A0/S+i=1

qS+PiAi

k=1

rS2+2kkS+k2Bk

+C(t)=

A0

+i=1

qAie-PitekktSin(kt+)?k=1

r+kBk指數(shù)函數(shù)分量衰減正弦函數(shù)分量說明：對于實際控制系統(tǒng)而言，閉環(huán)零、極點在S平面的分布有多種形式，但閉環(huán)極點距離虛軸的距離只有遠(yuǎn)近之別。距離虛軸較近的閉環(huán)極點對應(yīng)的暫態(tài)分量衰減的較慢，這些分量在決定系統(tǒng)動態(tài)性能方面起主要作用。距離虛軸較遠(yuǎn)的閉環(huán)極點對應(yīng)的暫態(tài)分量衰減的很快，這些分量對系統(tǒng)動態(tài)性能影響忽略不計。例：C(t)=

A0

+i=1

qAie-PitekktSin(kt+)?k=1

r+kBk在單位階躍信號作用下，系統(tǒng)輸出響應(yīng)為：主導(dǎo)極點的定義如果一個穩(wěn)定系統(tǒng)的閉環(huán)零、極點分布符合以下模式：(1)左半[S]平面上距虛軸最近極點是一對共軛復(fù)數(shù)極點(2)這一對極點的附近沒有零點(3)系統(tǒng)的其它極點，有的恰有相鄰的零點與之抵消，有的又在這一對極點左方很遠(yuǎn)(5

n

)因此，將這一對共軛復(fù)數(shù)極點稱為主導(dǎo)極點。如果高階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)存在一對主導(dǎo)極點，則可以將高階系統(tǒng)降為二階系統(tǒng)，利用分析二階系統(tǒng)響應(yīng)的方法解決高階系統(tǒng)的動態(tài)性能。第六節(jié)

控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性自動控制系統(tǒng)正常運行的首要條件：穩(wěn)定自動控制理論研究的主要課題之一：控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析一、穩(wěn)定的基本概念與定義設(shè)線性控制系統(tǒng)處于某平衡狀態(tài)，由于擾動的作用，系統(tǒng)偏離了原來的平衡狀態(tài)。當(dāng)擾動消失后，經(jīng)過足夠長的時間，系統(tǒng)恢復(fù)到平衡狀態(tài)的性能，則稱該系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)。單擺示意圖Fabcd說明：穩(wěn)定性是系統(tǒng)本生固有的特性，僅取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，與輸入信號無關(guān)。自動控制理論的基本任務(wù)之一：如何分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并提出保證系統(tǒng)穩(wěn)定的措施1、線性控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的定義若控制系統(tǒng)在初始條件影響下，其過渡過程隨時間推移逐漸衰減到零，則稱系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，簡稱穩(wěn)定。反之，若在初始條件影響下，過渡過程隨時間的推移而發(fā)散，則稱系統(tǒng)為不穩(wěn)定。2、穩(wěn)定的條件設(shè)線性系統(tǒng)在初始條件為0時，作用一個理想單位脈沖(t),則系統(tǒng)輸出增量為脈沖響應(yīng)C(t)。相當(dāng)于：系統(tǒng)在擾動信號作用下，輸出信號偏離原平衡工作點的問題。若t時，擾動作用消失，系統(tǒng)脈沖響應(yīng)GB(S)=anSn+an-1Sn-1+...+a1S+a0bmSm+bm-1Sm-1+...+b0其中nmC(S)R(S)=LimC(t)t=0輸出增量收斂于原平衡工作點，則：=i=1

(S+Pi)

qj=1

K

(S+Zj)mk=1

(S2+2kkS+k2)

r線性系統(tǒng)是穩(wěn)定的。設(shè)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：C(t)=i=1

qAie-Pit+如果系統(tǒng)特征方程所有的根均位于S平面左半部，則：C(S)=(S2+2kkS+k2)

i=1

(S+Pi)qj=1

K(S+Zj)mk=1

r?1系統(tǒng)在單位脈沖信號作用下，ekktCos(k

)

t?k=1

rBk1–2k+ekktSin(k

)

t?k=1

rCk1–2k系統(tǒng)漸近穩(wěn)定LimC(t)t=0當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)的特征根全部具有負(fù)實部時，過渡過程隨著時間的推移逐漸衰減到0，系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。若特征根中具有一個或一個以上正實部根，過渡過程隨著時間的推移而發(fā)散，則稱系統(tǒng)為不穩(wěn)定的系統(tǒng)。若特征根一旦具有虛根，過渡過程處于等幅振蕩狀態(tài)，稱系統(tǒng)為臨界穩(wěn)定。經(jīng)典控制理論中，只有漸近穩(wěn)定的系統(tǒng)稱為穩(wěn)定系統(tǒng)。線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：系統(tǒng)閉環(huán)特征方程所有的根均位于S平面左半部。C(t)=i=1

qAie-Pit+ekktCos(k

)

t?k=1

rBk1–2k+ekktSin(k

)

t?k=1

rCk1–2k二、勞斯(Routh)判據(jù)1.系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件（1）一階系統(tǒng)特征方程：a1S+a0=0特征根：S=a0/a1特征根為負(fù)的條件：a0、a1必須大于零且不為零（1）二階系統(tǒng)特征方程：a2S2+

a1S+a0=0

S1,2=a1/2a2(a1/2a2)2a0/a2特征根：特征根全部位于S平面左半面的條件：

a0、a1、a2均為正值且不為零。（3）高階系統(tǒng)設(shè)高階系統(tǒng)的特征方程式為：anSn+an-1Sn-1+...+a1S+a0=an(Sp1)(Sp2)...(Spn)=0=(1)

an

an-1

Pii=1n=

an

an-2

PiPj,iji=1nj=1i=1=(1)n

an

a0

Pin...由此求得特征根與系數(shù)的關(guān)系：an-1、an

同號且不為0an-2、an

同號且不為0a0、an

同號且不為0系統(tǒng)所有特征根位于S左半平面的必要條件：①特征方程多項式所有的系數(shù)具有相同的符號②S多項式所有的系數(shù)都不為0例：S43S3+3S2

2S+2=0

系統(tǒng)不穩(wěn)定。2.勞斯判據(jù)（1）勞斯行列表勞斯行列表：借助特征方程式的系數(shù)編制的一個表格。設(shè)系統(tǒng)的特征方程式為：anSn+

an-1Sn-1+...+

a1S+a0=0編制出的勞斯表如下圖所示，表中的各元素均是由公式計算出來的。

anSn+

an-1Sn-1+

an-2Sn-2+

an-3Sn-3+...+

a1S+a0=0Sn

anan-2an-4an-6

...a0

Sn-1

an-1an-3an-5an-7

...Sn-2

b1b2b3b4

...Sn-3c1c2

c3c4...Sn-4d1d2d3d4...…S2e1e2S1f1S0a0b1=

an-1

1anan-2an-1an-3b2=

an-1

1anan-4an-1an-5c1=

b1

1an-1an-3

b1b2

c2=

b1

1an-1an-5

b1b3

...

...（2）判斷穩(wěn)定性（系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件）勞斯判據(jù)：勞斯行列表左邊第一列所有元素均為正值，即特征值均位于S左半平面。如果第一列元素出現(xiàn)負(fù)值，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，元素符號改變的次數(shù)等于特征方程右根的個數(shù)。例3-2系統(tǒng)的特征方程式為：S4+3S3+3S2+2S+2=0試用勞斯判據(jù)判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解:S4+

3S3+3S2+2S+2=0S4

1

3

2

S3

320S2

3

11

33

2

=7/3

3

11

23

0=20S1

7/3

1

327/3

2

=4/7

7/3

1

307/3

0

=0S04/717/324/7

0

=2結(jié)論：系統(tǒng)不穩(wěn)定，有2個根在S右半平面。運用勞斯判據(jù)時可能出現(xiàn)的兩種特殊情況：①構(gòu)造勞斯表過程中某行第一列元素為0例3-4系統(tǒng)特征方程式：S5+2S4+3S3+6S2+5S+3=0試用勞斯判據(jù)判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：S51

3

5S42

6

3S3

07/20S2?S1?S03

(很小正數(shù)）(6

7)/勞斯表第一列元素符號改變2次，說明系統(tǒng)不穩(wěn)定，有2個特征根位于S右半平面。3(424962)/(1214)＋+(3+)S3②構(gòu)造勞斯表過程中出現(xiàn)全零行（某行元素均為0）例3-4系統(tǒng)特征方程式：S5+7S4+6S3+42S2+8S+56=0試用勞斯判據(jù)判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：S51

6

8S474256S3000S2？？S1S056解決方法:利用全零行上一行元素構(gòu)成輔助多項式Q(S)即：P(S)=7S4+42S2+56對S求一階導(dǎo)數(shù)得新的多項式為：

P’(S)=28S3+84S2884

215628/3結(jié)論：勞斯表第一列元素并不改變，系統(tǒng)無右半平面的特征根。由于出現(xiàn)全零行，說明特征方程有位于S平面虛軸上的根，可由輔助方程求取。Q(S)=S4+3S2+2＝0解得：S1,2=

j，S3,4=

j1.414說明：勞斯表中出現(xiàn)全零行，表明特征多項式中含有偶多項式（含有S偶次冪的項），即：系統(tǒng)特征根存在共軛虛根。例：S3+S2+4S+4＝0

S3+S2+4S+4＝0S314S214S100S0

S3+S2+4S+4＝(S2+4)(S+1)=0S1,2=j23.

勞斯判據(jù)的應(yīng)用（1）分析系統(tǒng)中參數(shù)變化對穩(wěn)定性的影響，給出系統(tǒng)穩(wěn)定時參數(shù)的取值范圍。（2）系統(tǒng)相對穩(wěn)定性分析例3-3:以磁盤驅(qū)動讀取系統(tǒng)為例磁盤驅(qū)動讀取系統(tǒng)：磁盤可以方便、有效存儲信息。磁盤驅(qū)動讀取裝置目標(biāo)：將磁頭準(zhǔn)確定位，以便正確讀取磁盤磁道上的信息。需精確控制的變量：磁頭（安裝在滑動簧片）的位置?？刂浦笜?biāo)：位置精度指標(biāo)1um磁頭從磁道a到磁道b的時間<50ms1、磁盤驅(qū)動器磁頭的定位控制系統(tǒng)（閉環(huán)系統(tǒng)）利用電機(jī)驅(qū)動磁頭臂達(dá)到預(yù)期的目的。預(yù)期磁頭位置–

控制裝置

激勵電機(jī)和臂實際磁頭位置

傳感器2、建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（1）工作原理磁盤驅(qū)動讀取系統(tǒng)采用永磁直流電機(jī)驅(qū)動讀取臂的轉(zhuǎn)動，磁頭安裝在一個與手臂相連的簧片上。它讀取磁盤上各點不同的磁通量，將信號提供給放大器。（2）各環(huán)節(jié)數(shù)學(xué)模型的建立預(yù)期磁頭位置–

控制裝置

激勵電機(jī)和臂實際磁頭位置

傳感器傳感器環(huán)節(jié)：假設(shè)磁頭定位足夠精確得H(S)=1控制器環(huán)節(jié)：放大器＋校正網(wǎng)絡(luò)被控對象：直流電機(jī)－負(fù)載組合S(JS+b)(LfS+Rf)

KmUf(S)

(S)=一個磁頭定位系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下所示，試確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的k值范圍。解：該系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞