13專題七類比、拓展探究題類型一 圖形旋轉(zhuǎn)引起的探究

第二部分攻克專題得高分專題七類比、拓展探究題類型一圖形旋轉(zhuǎn)引起的探究

典例精講例

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(2017河南)如圖①，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，AD＝AE，連接DC，點(diǎn)M，P，N分別為DE，DC，BC的中點(diǎn)．(1)觀察猜想圖①中，線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是________，位置關(guān)系是________；(2)探究證明把△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖②的位置，連接MN，BD，CE，判斷△PMN的形狀，并說明理由；(3)拓展延伸把△ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD＝4，AB＝10，請(qǐng)直接寫出△PMN面積的最大值．例1題圖(1)【思維教練】線段之間的數(shù)量關(guān)系為倍數(shù)關(guān)系，根據(jù)題意可知，MP，PN分別為△DEC，△BCD的中位線，根據(jù)三角形的性質(zhì)即可證明；線段之間的位置關(guān)系有平行或相交(垂直與不垂直)，觀察圖形可知，MP與PN相交，根據(jù)PM∥CE，PN∥BD，以及∠B＋∠ACB＝90°，通過平行線的性質(zhì)和三角形的外角和定理，通過等量轉(zhuǎn)化即可證明．解：PM＝PN，PM⊥PN；【解法提示】∵AB＝AC，AD＝AE，∴BD＝CE，∵M(jìn)，P，N分別為DE，DC，BC的中點(diǎn)，∴PMCE，PNBD，∴PM＝PN，∠DPM＝∠DCE，∠CNP＝∠B，∥∥【自主作答】∴∠DPN＝∠PNC＋∠PCN＝∠B＋∠PCN.∵∠A＝90°，∴∠B＋∠ACB＝90°，∴∠MPN＝∠MPD＋∠DPN＝∠DCE＋∠PCN＋∠B＝∠ACB＋∠B＝90°，∴PM⊥PN.(2)【思維教練】通過旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，證明△ABD≌△ACE，利用中位線定理和平行線的性質(zhì)，通過等量代換即可得到結(jié)論．【自主作答】解：△PMN為等腰直角三角形．理由如下：由題可知：△ABC和△ADE均為等腰直角三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＋∠DAC＝∠DAC＋∠CAE，∴∠BAD＝∠EAC，∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE.又∵M(jìn)，P分別是DE，CD的中點(diǎn)，∴PM是△CDE的中位線，∴PMCE.同理：PNBD.∥∥∴PM＝PN，∠MPD＝∠ECD，∠PNC＝∠DBC.∴∠MPD＝∠ECD＝∠ACD＋∠ACE＝∠ACD＋∠ABD，∠DPN＝∠PNC＋∠PCN＝∠DBC＋∠PCN，∴∠MPN＝∠MPD＋∠DPN＝∠ACD＋∠ABD＋∠DBC＋∠PCN＝∠ABC＋∠ACB＝90°，∴△PMN為等腰直角三角形；(3)【思維教練】由(2)可判斷△PMN的形狀，當(dāng)點(diǎn)A、C、E在同一條直線上，且點(diǎn)C，E在點(diǎn)A異側(cè)時(shí)，計(jì)算即可．【自主作答】解：.【解法提示】∵△PMN為等腰直角三角形，∴S△PMN＝PM2，要使△PMN的面積最大，即PM最大．由(2)得，PM＝CE，即當(dāng)CE最大時(shí)，MP最大．如解圖所示，當(dāng)點(diǎn)C、E在點(diǎn)A異側(cè)，且在同一條直線上時(shí)，CE最