第4章無限長單位脈沖響應(yīng)(IIR)濾波器的設(shè)計方法

第4章無限長單位脈沖響應(yīng)（IIR）濾波器設(shè)計

4.1濾波器的基本原理4.2模擬濾波器設(shè)計方法4.3根據(jù)模擬濾波器設(shè)計IIR濾波器4.4從模擬濾波器低通原型到各種數(shù)字濾波器的頻率變換4.5從低通數(shù)字濾波器到各種數(shù)字濾波器的頻率變換4.6IIR數(shù)字濾波器的最優(yōu)化設(shè)計方法概述:

許多信息處理過程，如信號的過濾，檢測、預(yù)測等都要用到濾波器，數(shù)字濾波器是數(shù)字信號處理中使用得最廣泛的一種線性系統(tǒng)，是數(shù)字信號處理的重要基礎(chǔ)。數(shù)字濾波器的功能（本質(zhì)）是將一組輸入的數(shù)字序列通過一定的運算后轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪唤M輸出的數(shù)字序列。實現(xiàn)方法主要有兩種：數(shù)字信號處理硬件和計算機軟件。數(shù)字濾波器——線性時不變系統(tǒng)。數(shù)字濾波器的設(shè)計步驟：1）按照任務(wù)要求確定濾波器的性能要求。2）用一個因果穩(wěn)定的離散線性時不變系統(tǒng)的H(z)或h(n)去逼近這個性能要求，即求H(z)或h(n)的表達式。確定系數(shù)、或零極點、，以使濾波器滿足給定的性能要求——第四章、第五章討論

3）數(shù)字濾波器的實現(xiàn)。包括選擇運算結(jié)構(gòu)，確定運算和系數(shù)存儲的字長，選用通用計算機及相應(yīng)的軟件或?qū)Ｓ脭?shù)字濾波器硬件實現(xiàn)這一系統(tǒng)。

選擇合適的字長和有效數(shù)字的處理方法等(第六章)。4.1濾波器的基本原理濾波：濾除信號中不需要的分量，保留有用的分量。離散系統(tǒng)的數(shù)字模型：離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)：離散系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)：4.1.1濾波器的分類

模擬

遞歸系統(tǒng)IIR

數(shù)字

非遞歸系統(tǒng)FIR從功能上：低通LPlowpass高通HPhighpass帶通BPbandpass帶阻BSbandstop模擬低通濾波器AFLP模擬高通濾波器AFHP模擬帶通濾波器AFBP模擬帶阻濾波器AFBS數(shù)字低通濾波器DFLP數(shù)字高通濾波器DFHP數(shù)字帶通濾波器DFBP數(shù)字帶阻濾波器DFBS4.1.2可實現(xiàn)濾波器的特性11-δ1δ2ωc0ωrπ通帶過渡帶阻帶ω通帶波動最小阻帶衰耗

設(shè)計方法：

1）先設(shè)計一個合適的模擬濾波器，然后變換成滿足預(yù)定指標的數(shù)字濾波器。 由于模擬的網(wǎng)絡(luò)綜合理論已經(jīng)發(fā)展得很成熟模擬濾波器有簡單而嚴格的設(shè)計公式，設(shè)計起來方便、準確、可將這些理論推廣到數(shù)字域，作為設(shè)計數(shù)字濾波器的工具。

2）最優(yōu)化設(shè)計方法分兩步：

a)

確定一種最優(yōu)準則，如最小均方誤差準則，即使設(shè)計出的實際頻率響應(yīng)的幅度特性（與所要求的理想頻率響應(yīng)的均方誤差最小，此外還有其他多種誤差最小準則，

b)

在此最佳準則下，求濾波的系數(shù)和通過不斷地迭代運算，改變、，直到滿足要求為止。

以上兩種設(shè)計方法中，著重講第一種，因為數(shù)字濾波器在很多場合所要完成的任務(wù)與模擬濾波器相同，如作低通、高通、帶通及帶阻網(wǎng)絡(luò)等，這時數(shù)字濾波也可看作是“模仿”模擬濾波器。在IIR濾波器設(shè)計中，采用這種設(shè)計方法目前最普遍。由于計算機技術(shù)的發(fā)展，最優(yōu)化設(shè)計方法的使用也逐漸增多。

模擬濾波器的設(shè)計就是根據(jù)一組設(shè)計規(guī)范設(shè)計模擬系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)，使其逼近某個理想濾波器特性。因果系統(tǒng)中式中ha(t)為系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，是實函數(shù)?！嗖浑y看出4.2模擬濾波器設(shè)計方法定義幅度平方函數(shù)

式中Ha(s)—模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)

Ha(jΩ)—濾波器的頻率響應(yīng)

|Ha(jΩ)|—濾波器的幅頻響應(yīng)又S=jΩ，Ω2=-S2∴A(Ω2)=A(-S2)|S=jΩ問題：由A(-S2)→Ha(S)

對于給定的A(-S2)，先在S復(fù)平面上標出A(-S2)的極點和零點，由(1)式知，A(-S2)的極點和零點總是“成對出現(xiàn)”，且對稱于S平面的實軸和虛軸，選用A(-S2)的對稱極、零點的任一半作為Ha(s)的極、零點，則可得到Ha(s)。為了保證Ha(s)的穩(wěn)定性，應(yīng)選用A(-S2)在S左半平面的極點作為Ha(s)的極點，零點可選用任一半。例4.1設(shè)已知，求對應(yīng)的解：N為濾波器階數(shù)其幅度平方函數(shù)：特點：具有通帶內(nèi)最大平坦的振幅特性，且隨f↗，幅頻特性單調(diào)↘。4.2.1巴特沃思(Butterworth)濾波器

巴特沃思濾波器振幅平方函數(shù)圖1中，N增加，通帶和阻帶的近似性越好，過渡帶越陡。Ω/Ωc<1時,(Ω/Ωc)2N《1，A(Ω2)→1。Ω/Ωc>1時，(Ω/Ωc)2N

》1,Ω增加，A(Ω2)快速減小。Ω=Ωc,，,幅度衰減，相當于3dB衰減點。

振幅平方函數(shù)的極點：令分母為零，得Butterworth濾波器的振幅平方函數(shù)有2N個極點，它們均勻?qū)ΨQ地分布在|S|=Ωc的圓周上。三階A(-S2)的極點分布

考慮到系統(tǒng)的穩(wěn)定性，知AF的系統(tǒng)函數(shù)是由S平面左半部分的極點（SP1，SP2，SP3）組成的，它們分別為：系統(tǒng)函數(shù)為：令，得歸一化的三階BWAF：如果要還原的話，則有歸一化的三階BWAF：歸一化的二階BWAF：歸一化的一階BWAF：補充：確定除數(shù)N及Ωc1.確定N(已知通帶邊頻Ω1、通帶波動δ、阻帶邊頻Ωr、阻帶最小衰耗At)2.確定Ωc若已知衰減為3dB的頻率點，此頻率點即為Ωc4.2.2切比雪夫（chebyshev）濾波器

特點：誤差值在規(guī)定的頻段上等幅變化。巴特沃茲濾波器在通帶內(nèi)幅度特性是單調(diào)下降的，如果階次一定，則在靠近截止頻率處，幅度下降很多，或者說，為了使通常內(nèi)的衰減足夠小，需要的階次（N）很高，為了克服這一缺點，采用切比雪夫多項式逼近所希望的。切比雪夫濾波器的在通帶范圍內(nèi)是等幅起伏的，所以同樣的通帶衰減，其階數(shù)較巴特沃茲濾波器要小。可根據(jù)需要對通帶內(nèi)允許的衰減量（波動范圍）提出要求，如要求波動范圍小于1db。

振幅平方函數(shù)為—有效通帶截止頻率—與通帶波紋有關(guān)的參量，大，波紋大。

0<<1

VN（x）—N階切比雪夫多項式，定義為

如圖1,通帶內(nèi)變化范圍1~Ω＞Ωc，隨Ω/Ωc

↗，→0(迅速趨于零)當Ω=0時，

N為偶數(shù)，，min，

N為奇數(shù)，，max，

切比雪夫濾波器的振幅平方特性

給定通帶波紋值分貝數(shù)后，可求。有關(guān)參數(shù)的確定:a、通帶截止頻率Ωc

，預(yù)先給定

b、通帶波動為c、階數(shù)N—由阻帶的邊界條件確定。（、A事先給定）4.2.3橢圓（Elliptic）濾波器特點：幅值響應(yīng)在通帶和阻帶內(nèi)都是等波紋的，對于給定的階數(shù)和給定的波紋要求，橢圓濾波器能獲得較其它濾波器更窄的過渡帶寬，就這點而言，橢圓濾波器是最優(yōu)的。其振幅平方函數(shù)為

RN（Ω，L）—雅可比橢圓函數(shù)

L—表示波紋性質(zhì)的參量N=5，的特性曲線

可見，在歸一化通帶內(nèi)（-1≤Ω≤1），在（0，1）間振蕩，而超過ΩL后，在間振蕩。這一特點使濾波器同時在通帶和阻帶具有任意衰減量。

下圖為典型的橢園濾波器振幅平方函數(shù)

橢圓濾波器的振幅平方函數(shù)

圖中ε和A的定義同切比雪夫濾波器ΩrΩr當Ωc、Ωr、ε和A確定后，階次N的確定方法為：式中為第一類完全橢圓積分

上面討論了三種最常用的模擬低通濾波器的特性和設(shè)計方法，設(shè)計時按照指標要求，合理選用。一般，相同指標下，橢圓濾波器階次最低，切比雪夫次之，巴特沃茲最高，參數(shù)的靈敏度則恰恰相反。以上討論了由A（Ω2）→Ha(s),下面討論由Ha(s)→H(Z)的變換設(shè)計法。4.2.4模擬高通、帶通及帶阻濾波器的設(shè)計設(shè)計過程：1）將模擬濾波器的參數(shù)指標通過頻率變換轉(zhuǎn)化成原型模擬低通濾波器的參數(shù)指標。2）設(shè)計滿足指標要求的原型模擬低通濾波器。3）通過頻率變換將原型模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)變換為其他類型（高通、帶通和帶阻）的模擬濾波器。4.2.5用MATLAB設(shè)計模擬濾波器1.巴特沃思模擬濾波器設(shè)計1）求巴特沃思濾波器的階數(shù)[N,Wn]=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,’s’)Wp,Ws：通帶、阻帶邊界頻率(rad/s)Rp,Rs：通帶波動、最小阻帶衰減(dB)N：階數(shù)Wn：3dB點頻率’s’：表示模擬域2）給定階數(shù)計算濾波器的零極點和增益因子[z,p,k]=buttap(N)z：零點，實際是一個空向量p：歸一化(3dB的邊界頻率為1)的N個極點N：階數(shù)k：增益因子3）給定階數(shù)和邊界頻率設(shè)計濾波器[B,A]=butter(N,Wn,’type’,’s’)Wn：3dB點邊界頻率；若Wn=[W1,W2]，則設(shè)計2N階帶通或帶阻B：系統(tǒng)函數(shù)分子的系數(shù)設(shè)計低通和帶通，’type’可缺省，高通’high’，帶阻’stop’A：系統(tǒng)函數(shù)分母的系數(shù)2.切比雪夫模擬濾波器設(shè)計1）計算濾波器的階數(shù)[N,Wn]=cheb1ord(Wp,Ws,Rp,Rs,’s’)Wp,Ws：通帶、阻帶邊界頻率(rad/s)Rp,Rs：通帶波動、最小阻帶衰減(dB)N：階數(shù)Wn：通帶邊界頻率’s’：表示模擬域2）計算濾波器的零極點和增益因子[z,p,k]=cheb1ap(N,Rp)3）給定階數(shù)和指標參數(shù)設(shè)計濾波器[B,A]=cheby1(N,Rp,Wn,’type’,’s’)3.橢圓模擬濾波器設(shè)計1）計算濾波器的階數(shù)[N,Wn]=ellipord(Wp,Ws,Rp,Rs,’s’)2）計算濾波器的零極點和增益因子[z,p,k]=ellipap(N,Rp)3）給定階數(shù)和指標參數(shù)設(shè)計濾波器[B,A]=ellip(N,Rp,Rs,Wn,’type’,’s’)4.頻率變換1）低通到高通變換[B,A]=lp2hp(num,den,w0)num,den：低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子分母的系數(shù)w0：高通濾波器的通帶邊界角頻率B,A：高通濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子分母的系數(shù)2）低通到帶通變換[B,A]=lp2bp(num,den,w0,Bw)w0：帶通濾波器的中心角頻率Bw：帶通濾波器的通帶帶寬(rad/s)3）低通到帶阻變換[B,A]=lp2bs(num,den,w0,Bw)w0：帶阻濾波器的中心角頻率Bw：帶阻濾波器的阻帶帶寬(rad/s)例4.2設(shè)計滿足下列指標的模擬低通濾波器，分別采用巴特沃思濾波器、切比雪夫濾波器和橢圓濾波器。clear;fc=1000;fr=2000;rp=1;rs=40;wc=2*pi*fc;wr=2*pi*fr;[N,wn]=buttord(wc,wr,rp,rs,'s');[B,A]=butter(N,wn,'s');omega=[0:200:10000*pi];h=freqs(B,A,omega);gain=20*log10(abs(h));plot(omega/(2*pi),gain);xlabel('頻率/Hz');ylabel('幅度/dB')title('巴特沃思濾波器')grid巴特沃思濾波器：N=8B=[0,0,0,0,0,0,0,0,6.2187×1030]A=[1,3.6222×104,6.5603×108,7.7093×1012,6.4060×1016,3.8498×1020,1.6360×1024,4.5108×1027,6.2187×1030]切比雪夫濾波器：N=5B=[0,0,0,0,0,1.2028×1018]A=[1,5.8862×103,6.6672×107,2.4170×1011,9.0479×1014,1.2028×1018]橢圓濾波器：N=4B=[0,0,0,0,0.5017×1014]A=[1,5.9008×103,5.9759×107,1.9936×1011,5.6301×1014]4.3根據(jù)模擬濾波器設(shè)計IIR濾波器

利用模擬濾波器設(shè)計數(shù)字濾波器，就是從已知的模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)設(shè)計數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)，這歸根到底是一個由S平面到Z平面的變換，這種映射變換應(yīng)遵循兩個基本原則：

1）H(z)的頻響與Ha(s)的頻響保持一致，即s平面的虛軸必須映射到z平面的單位圓上。

2）因果穩(wěn)定的Ha(s)應(yīng)能映射成因果穩(wěn)定H(z)。也就是s平面的左半平面Re[s]＜0應(yīng)該映射到z平面的單位圓以內(nèi)|z|<1。4.3.1脈沖響應(yīng)不變法脈沖響應(yīng)不變法是從濾波器的脈沖響應(yīng)出發(fā)，使數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)序列h(n)正好等于模擬濾波器的沖激響應(yīng)ha(t)的采樣值，即

h(n)=ha(nT),T為采樣周期。如以Ha(s)及H(z)分別表示ha(t)的拉氏變換及h(n)的z變換，即

Ha(s)=L[ha(t)],

H(z)=Z

[h(n)]

計算H(z):脈沖響應(yīng)不變法特別適用于用部分分式表達系統(tǒng)函數(shù)，模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)若只有單階極點，且分母的階數(shù)高于分子階數(shù)N＞M，則可表達為部分分式形式；

其拉氏反變換為：

單位階躍

對ha(t)采樣得到數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)序列

再對h(n)取Z變換，得到數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)：第二個求和為等比級數(shù)之和，要收斂的話，

必有所以有

根據(jù)理想采樣序列拉氏變換與模擬信號拉氏變換的關(guān)系s平面與z平面的映射關(guān)系當時，這表明s平面的虛軸映射為z平面的單位圓。當時，這表明s左半平面映射為z平面的單位圓內(nèi)部，而s右半平面則映射為z平面的單位圓外部。由于，所以，當自0至變化時，的對應(yīng)值為0至

。S平面上每一條寬為的橫帶部分，都將重疊地映射到Z平面的整個平面上:

每一橫帶的左半部分映射到Z平面單位圓以內(nèi)，每一橫帶的右半部分映射到Z平面單位圓以外，軸映射到單位圓上，軸上每一段,都對應(yīng)于繞單位圓一周。S平面Z平面根據(jù)理想采樣序列拉氏變換與模擬信號拉氏變換的關(guān)系脈沖響應(yīng)不變法將模擬濾波器變換為數(shù)字濾波器時，首先對Ha(s)作周期延拓，然后映射為H(z)脈沖響應(yīng)不變法將模擬濾波器變換為數(shù)字濾波器頻響函數(shù)的關(guān)系

正如第二章的采樣定律中所討論的，如果模擬濾波器的頻響帶限于折疊頻率ΩS/2以內(nèi)，

這時數(shù)字濾波器的頻響才能不失真地重現(xiàn)模擬濾波器的頻響（存在于折疊頻率ΩS/2以內(nèi)）

但任何一個實際的模擬濾波器，其頻響都不可能是真正帶限的，因此不可避免地存在頻譜的交疊，即混淆，如圖，這時，數(shù)字濾波器的頻響將不同于原模擬濾波器的頻響而帶有一定的失真。模擬濾波器頻響在折疊頻率以上衰減越大，失真則越小，這時，采用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計的數(shù)字濾波器才能得到良好的效果。

如果是Ha(s)是穩(wěn)定的，即其極點全部都在s左半平面內(nèi)，對應(yīng)的H(z)的極點也全部都在z平面的單位圓內(nèi)，所以H(z)也是穩(wěn)定的。2.Ha(s)的虛軸映射到H(z)的單位圓上，逼近程度在-π/T≤Ω≤π/T的范圍內(nèi)是好的，ω=ΩT。3.由于頻率混疊效應(yīng)，所以脈沖響應(yīng)不變法只適用于帶限的模擬濾波器，如，LP、BP，HP、BS不宜采用脈沖響應(yīng)不變法例4.3將一個具有如下系統(tǒng)函數(shù)

的模擬濾波器數(shù)字化。解：

模擬濾波器的頻率響應(yīng)為:數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)為:

顯然與采樣間隔T有關(guān),T越小,衰減越大,混疊越小,當fs=24Hz,混疊可忽略不計

4.3.2雙線性變換法脈沖響應(yīng)不變法的主要缺點是頻譜交疊產(chǎn)生的混淆，這是從S平面到Z平面的標準變換z＝esT的多值對應(yīng)關(guān)系導(dǎo)致的,為了克服這一缺點，設(shè)想變換分為兩步：第一步：將整個S平面壓縮到S1平面的一條橫帶里；第二步：通過標準變換關(guān)系將此橫帶變換到整個Z平面上去。由此建立S平面與Z平面一一對應(yīng)的單值關(guān)系，消除多值性，也就消除了混淆現(xiàn)象。s平面s1平面z平面雙線性變換法的映射關(guān)系

為了將S平面的jΩ軸壓縮到S1平面jΩ1軸上的－π/T到π/T一段上，可通過以下的正切變換實現(xiàn)：這里C是待定常數(shù)，可使模擬濾波器的頻率特性與數(shù)字源波器的頻率特性在不同頻率點有對應(yīng)關(guān)系。經(jīng)過這樣的頻率變換，當Ω由時,Ω1由-π/T經(jīng)過０變化到π/T，即S平面的整個jΩ軸被壓縮到S1平面的2π/T一段。通常取C=2/T,再將S1

平面通過標準變換關(guān)系映射到Z平面，即令將這一關(guān)系解析擴展至整個S平面，則得到S平面到S1平面的映射關(guān)系：最后得S平面與Z平面的單值映射關(guān)系：雙線性換法的主要優(yōu)點是S平面與Z平面一一單值對應(yīng)，S平面的虛軸(整個jΩ)對應(yīng)于Z平面單位圓的一周，S平面的Ω=0處對應(yīng)于Z平面的ω=0處，對應(yīng)即數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)終止于折疊頻率處，所以雙線性變換不存在混迭效應(yīng)。

現(xiàn)在我們看看，這一變換是否符合我們一開始提出的由模擬濾波器設(shè)計數(shù)字濾波器時，從S平面到Z平面映射變換的基本要求：

即s左半平面映射在單位圓內(nèi)，s右半平面映射在單位圓外，因此穩(wěn)定的模擬濾波器通過雙線性變換后，所得到的數(shù)字濾波器也是穩(wěn)定的。如圖

雙線性變換的頻率非線性關(guān)系

小結(jié)

1)與脈沖響應(yīng)不變法相比，雙線性變換的主要優(yōu)點：S平面與Z平面是單值的一一對應(yīng)關(guān)系（靠頻率的嚴重非線性關(guān)系得到的），即整個jΩ軸單值的對應(yīng)于單位圓一周，關(guān)系式為：可見，ω和Ω為非線性關(guān)系，如圖2。

雙線性變換的頻率非線性關(guān)系

由圖中看到，在零頻率附近，Ω～ω接近于線性關(guān)系，Ω進一步增加時，ω增長變得緩慢， (ω終止于折疊頻率處)，所以雙線性變換不會出現(xiàn)由于高頻部分超過折疊頻率而混淆到低頻部分去的現(xiàn)象。

2)雙線性變換缺點：Ω與ω成非線性關(guān)系，導(dǎo)致：

a.數(shù)字濾波器的幅頻響應(yīng)相對于模擬濾波器的幅頻響應(yīng)有畸變，(使數(shù)字濾波器與模擬濾波器在響應(yīng)與頻率的對應(yīng)關(guān)系上發(fā)生畸變)。例如，一個模擬微分器，它的幅度與頻率是直線關(guān)系，但通過雙線性變換后，就不可能得到數(shù)字微分器b.線性相位模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后，得到的數(shù)字濾波器為非線性相位。c.要求模擬濾波器的幅頻響應(yīng)必須是分段恒定的，故雙線性變換只能用于設(shè)計低通、高通、帶通、帶阻等選頻濾波器。

雖然雙線性變換有這樣的缺點，但它目前仍是使用得最普遍、最有成效的一種設(shè)計工具。這是因為大多數(shù)濾波器都具有分段常數(shù)的頻響特性，如低通、高通、帶通和帶阻等，它們在通帶內(nèi)要求逼近一個衰減為零的常數(shù)特性，在阻帶部分要求逼近一個衰減為∞的常數(shù)特性，這種特性的濾波器通過雙線性變換后，雖然頻率發(fā)生了非線性變化，但其幅頻特性仍保持分段常數(shù)的特性。

例如，一個考爾型的模擬濾波器Ha(s)，雙線性變換后，得到的H(z)在通帶與阻帶內(nèi)都仍保持與原模擬濾波器相同的等起伏特性，只是通帶截止頻率、過渡帶的邊緣頻率，以及起伏的峰點、谷點頻率等臨界頻率點發(fā)生了非線性變化，即畸變。這種頻率點的畸變可以通過預(yù)畸來加以校正。預(yù)畸變：

即將模擬濾波器的臨界頻率事先加以畸變，然后通過雙線性變換后正好映射到所需要的頻率上。

利用關(guān)系式：

將所要設(shè)計的數(shù)字濾波器臨界頻率點，變換成對應(yīng)的模擬域頻率，利用此設(shè)計模擬濾波器，再通過雙線性變換，即可得到所需的數(shù)字濾波器，其臨界頻率正是。如圖所示。雙線性變換時頻率的預(yù)畸

３)計算H(z)

雙線性變換比脈沖響應(yīng)法的設(shè)計計算更直接和簡單。由于s與z之間的簡單代數(shù)關(guān)系，所以從模擬傳遞函數(shù)可直接通過代數(shù)置換得到數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)。置換過程:

頻響：

這些都比脈沖響應(yīng)不變法的部分分式分解便捷得多，一般，當著眼于濾波器的時域瞬態(tài)響應(yīng)時，采用脈沖響應(yīng)不變法較好，而其他情況下，對于IIR的設(shè)計，大多采用雙線性變換。4.3.3用MATLAB設(shè)計IIR濾波器1.脈沖響應(yīng)不變法[BZ,AZ]=impinvar(B,A,Fs)BZ,AZ：數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)Fs：采樣頻率2.雙線性變換法[BZ,AZ]=bilinear(B,A,Fs)例4.4設(shè)采樣周期(采樣頻率)，分別用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法設(shè)計一個三階巴特沃思濾波器，其3dB邊界頻率為N=3;fc=1000;fs=4000;T=1/fs;wc=2*pi*fc*T;%脈沖響應(yīng)不變法Wc1=wc/T;[B,A]=butter(N,Wc1,'s');[num1,den1]=impinvar(B,A,fs);[h1,w]=freqz(num1,den1);1）低通濾波器設(shè)計%雙線性變換法Wc2=2/T*tan(wc/2);[B,A]=butter(N,Wc2,'s');[num2,den2]=bilinear(B,A,fs);[h2,w]=freqz(num2,den2);%畫圖f=w*fs/(2*pi);plot(f,abs(h1),'-.',f,abs(h2),'-');grid;xlabel('頻率/Hz');ylabel('幅值')axis([0,fs/2,0,1])運行結(jié)果：num1=00.58130.21140den1=1.0000-0.39840.2475-0.0432num2=0.16670.50000.50000.1667den2=1.0000-0.00000.3333-0.0000例4.5設(shè)計一切比雪夫數(shù)字高通濾波器，它的通帶為400~500Hz，通帶內(nèi)容許有0.5dB的波動，阻帶內(nèi)衰減在小于317Hz的頻帶內(nèi)至少為19dB，采樣頻率為1000Hz，clearfc=400;d=0.5;fr=317;At=19;fs=1000;T=1/fs;%先求模擬高通濾波器的邊界頻率wc=2*pi*fc/fs;wr=2*pi*fr/fs;Wc=2/T*tan(wc/2);Wr=2/T*tan(wr/2);2）高通濾波器設(shè)計%設(shè)計切夫雪夫模擬高通濾波器[N,wn]=cheb1ord(Wc,Wr,d,At,'s');[B,A]=cheby1(N,d,wn,'high','s');%用雙線性變換法設(shè)計數(shù)字濾波器[num,den]=bilinear(B,A,fs)[h,w]=freqz(num,den);%畫圖f=w/pi*fs/2;plot(f,20*log10(abs(h)));axis([0,fs/2,-80,10]);grid;xlabel('頻率/Hz');ylabel('幅度/dB');運行結(jié)果：num=0.0154-0.04620.0462-0.0154den=1.00001.99001.57150.4583例4.6設(shè)計一巴特沃思帶通濾波器，其3dB邊界頻率分別為和，在阻帶處的最小衰減大于10dB，采樣頻率%第4章例4.6帶通濾波器的設(shè)計clear;fc=[90,110];d=3;fr=[80,120];At=10;fs=400;T=1/fs;wc=2*pi*fc/fs;wr=2*pi*fr/fs;3）帶通濾波器設(shè)計Wc=2/T*tan(wc/2);Wr=2/T*tan(wr/2);[N,wn]=buttord(Wc,Wr,d,At,'s');[B,A]=butter(N,wn,'s');[num,den]=bilinear(B,A,fs)[h,w]=freqz(num,den);f=w/pi*fs/2;plot(f,20*log10(abs(h)));axis([40,160,-30,10]);grid;xlabel('頻率/kHz');ylabel('幅度/dB');運行結(jié)果：num=0.02710.0000-0.05410.00000.0271den=1.0000-0.00001.4838-0.00000.5920例4.7一數(shù)字濾波器采樣頻率，要求濾除100Hz的干擾，其3dB的邊界頻率分別為95Hz和105Hz，采用一階巴特沃思濾波器。clear;fc=[95,105];fs=1000;T=1/fs;N=1;wc=2*pi*fc/fs;Wc=2/T*tan(wc/2);4）帶阻濾波器設(shè)計[B,A]=butter(N,Wc,'stop','s')[num,den]=bilinear(B,A,fs)[h,w]=freqz(num,den);f=w/(2*pi)*fs;plot(f,20*log10(abs(h)));axis([50,150,-30,10]);grid;xlabel('頻率/Hz');ylabel('幅度/dB');運行結(jié)果：num=0.9695-1.56950.9695den=1.0000-1.56950.93914.4從模擬濾波器低通原型到各種

數(shù)字濾波器的頻率變換模擬原型模擬低通、高通、帶通、帶阻數(shù)字低通、高通、帶通、帶阻模擬-模擬頻率變換模擬原型數(shù)字低通、高通帶通、帶阻模擬-數(shù)字頻率變換模擬-數(shù)字頻率變換一．低通變換通過模擬原型設(shè)計數(shù)字濾波器的四個步驟：1）確定數(shù)字濾波器的性能要求，確定各臨界頻率{ωk}。2）由變換關(guān)系將{ωk}映射到模擬域，得出模擬濾波器的臨界頻率值{Ωk}。脈沖響應(yīng)不變法雙線性變換法3）根據(jù){Ωk}設(shè)計模擬濾波器的Ha(s)4）把Ha(s)變換成H(z)（數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)）解：例4.8指標要求同例4.4，采樣頻率，用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計一個三階巴特沃思濾波器，其3dB邊界頻率為。 數(shù)字濾波器的邊界頻率為：模擬濾波器的邊界頻率為：歸一化模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：(1)脈沖響應(yīng)不變法得模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：得數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：一階：

可見，H(z)與采樣周期T有關(guān)，T越小，H(z)的相對增益越大。為此，實際應(yīng)用脈沖響應(yīng)不變法時稍作一點修改，即求出H(z)后，再乘以因子T,使H(z)只與有關(guān)，即只與fc和fs的相對值有關(guān)，而與采樣頻率fs無直接關(guān)系。例如，與的數(shù)字濾波器具有相同的傳遞函數(shù)，這一結(jié)論適合于所有的數(shù)字濾波器設(shè)計。最后得：解：例4.9設(shè)計指標與脈沖響應(yīng)不變法的例4.8相同，即

，，采用雙線性變換法，設(shè)計一個三階巴特沃思低通濾波器。 數(shù)字濾波器的邊界頻率為：模擬濾波器的邊界頻率為：歸一化模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：(2)雙線性變換法得模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：得數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：4.4.2高通變換由于模擬低通濾波器至模擬高通濾波器的變換就是s變量的倒量模擬低通濾波器與數(shù)字高通濾波器的變量關(guān)系高通原型變換

例4.10同例4.5設(shè)計一切比雪夫數(shù)字高通濾波器，它的通帶為400～500Hz，通帶內(nèi)容許有0.5dB的波動，阻帶內(nèi)衰減在小于317Hz的頻帶內(nèi)至少為19dB，采樣頻率為1000Hz。

解：歸一化頻率/Hz

切比雪夫高通濾波器幅度/dB解：例

設(shè)計

，的三階巴特沃思高通濾波器。 數(shù)字高通濾波器的邊界頻率為：模擬低通濾波器的邊界頻率為：歸一化模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：得模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：得數(shù)字高通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：4.3.3帶通變換

模擬低通如果數(shù)字頻域上帶通的中心頻率為，則帶通變換的目的是將:（頻率映射關(guān)系具有周期性,幅頻響應(yīng)具有原點對稱性）。

即將S的原點映射到，而將點映射到，滿足這一要求的雙線性變換為：設(shè)計：設(shè)計帶通時，一般只給出上、下邊帶的截止頻率作為設(shè)計要求。為了應(yīng)用以上變換，首先要將上下邊帶參數(shù)換算成中心頻率及模擬低通截止頻率。為此將代入變換關(guān)系式：例4.11同例4.6，設(shè)計一巴特沃思帶通濾波器，其3dB邊界頻率分別為f2=110kHz,f1=90kHz,在阻帶f3=120kHz處最小衰減大于10dB。采樣fs=400kHz求中心頻率：解：確定數(shù)字頻域的上下邊帶的角頻率求模擬低通的通帶截止頻率與阻帶邊界頻率：歸一化的系統(tǒng)函數(shù)：巴特沃茲帶通濾波器頻率/kHz幅度/dB4.3.4帶阻變換把帶通的頻率關(guān)系倒置就得到帶阻變換。

給定例4.13同例4.7，一數(shù)字濾波器采樣頻率fs=1kHz，要求濾除100Hz的干擾，其３dB的邊界頻率為95Hz和105Hz，原型歸一化低通濾波器為解：4.5從低通數(shù)字濾波器到各種數(shù)字濾波器的頻率變換（Z平面變換法）

上一節(jié)討論了由模擬網(wǎng)絡(luò)的低通原型來設(shè)計各種DF的方法，這種原型變換的設(shè)計方法同樣也可直接在數(shù)字域上進行。

DF低通原型函數(shù)這種變換是由所在的Z平面到H(z)所在的Z平面的一個映射變換。為便于區(qū)分變換前后兩個不同的Z平面，我們把變換前的Z平面定義為u平面，并將這一映射關(guān)系用一個函數(shù)g表示：

各種DF的H(z)于是，DF的原型變換可表為：為使兩個函數(shù)的頻響滿足一定的變換要求，Z的單位圓應(yīng)映射到u的單位圓上，若以分別表示u平面和Z平面的單位圓，則且必有，其中是的相位函數(shù)，即函數(shù)在單位圓上的幅度必須恒為1，稱為全通函數(shù)。函數(shù)的特性：1)是的有理函數(shù)。2)希望變換以后的傳遞函數(shù)保持穩(wěn)定性不變，因此要求u的單位圓內(nèi)部必須對應(yīng)于z的單位圓內(nèi)部。3)必須是全通函數(shù)。全通函數(shù)的基本特性：任何全通函數(shù)都可以表示為：其中為極點，可為實數(shù)，也可為共軛復(fù)數(shù)，但必須在單位圓以內(nèi)，即，以保證變換的穩(wěn)定性不變，*為取共軛。的所有零點都是其極點的共軛倒數(shù)N：全通函數(shù)的階數(shù)。

變化時，相位函數(shù)的變化量為。

不同的N和對應(yīng)各類不同的變換。

4.5.1數(shù)字低通——數(shù)字低通（LP）

LP-LP變換（有對稱性）LP→LP的變換中，和都是低通函數(shù)，只是截止頻率互不相同（或低通濾波器的帶寬不同），因此當時，相應(yīng)的，根據(jù)全通函數(shù)相位變化量為的性質(zhì)，可確定全通函數(shù)的階數(shù)N=1，且滿足以下兩條件：

其中