SPH方法的基礎(chǔ)認(rèn)識(shí)

光滑粒子流體動(dòng)力學(xué)(SPH)SmoothedParticlesHydrodynamistic--Ameshfreeparticlemethod光滑粒子流體動(dòng)力學(xué)方法(SPH):是一種模擬流體流動(dòng)的無(wú)網(wǎng)格、自適應(yīng)的純拉格朗日的粒子法。目錄SPH的產(chǎn)生、發(fā)展與應(yīng)用SPH方法的特點(diǎn)SPH基本方程的構(gòu)造：場(chǎng)函數(shù)及導(dǎo)數(shù)的核近似法和粒子近似法SPH相關(guān)概念

光滑函數(shù)的構(gòu)造構(gòu)造條件構(gòu)造方法基于Navier-Stokers方程的SPH方程應(yīng)用SPH近似法將Navier-Stokers方程進(jìn)行空間離散為SPH方程形式。介紹SPH方法相關(guān)的主要數(shù)值問題。展望SPH的提出：SPH最初提出是用于解三維開放空間天體物理學(xué)問題，天體物理學(xué)中的一系列離散的行星物質(zhì)點(diǎn)不適合用連續(xù)的基于網(wǎng)格的方法進(jìn)行模擬，基于無(wú)網(wǎng)格的粒子法：SPH被提出。SPH的發(fā)展背景：在模擬流體動(dòng)力學(xué)問題中傳統(tǒng)的基于網(wǎng)格方法的如FDM和FEM存在明顯的局限性，比如爆炸或高速?zèng)_擊過程中存在的大變形、運(yùn)動(dòng)物質(zhì)交界面、變形邊界和自由表面的特性是基于網(wǎng)格的數(shù)值方法難以求解的。SPH的廣泛應(yīng)用：在SPH法中，系統(tǒng)的狀態(tài)由一系列的粒子來描述，這些粒子包含著獨(dú)自的材料性質(zhì)，而且以牛頓經(jīng)典力學(xué)作為控制方程，所以可以將流體這一連續(xù)介質(zhì)離散為一系列的粒子來表示，通過追蹤粒子的運(yùn)動(dòng)就可以容易得到整個(gè)物理系統(tǒng)的特性，所以確定自由表面、運(yùn)動(dòng)交界面和變形邊界不在是一項(xiàng)艱難的工作，并且在材料上任意一點(diǎn)的場(chǎng)變量的時(shí)間歷程也可以得到。所以SPH方法廣泛應(yīng)用于流體力學(xué)中。SPH的特點(diǎn)：無(wú)網(wǎng)格：?jiǎn)栴}域用粒子表示，將粒子作為場(chǎng)變量近似的計(jì)算框架，無(wú)需劃分網(wǎng)格單元，更避免了網(wǎng)格扭曲與網(wǎng)格重構(gòu)的麻煩。自適應(yīng)：場(chǎng)函數(shù)核近似是在每一時(shí)間步當(dāng)前時(shí)刻連續(xù)域內(nèi)的任意粒子的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，故SPH方程不受粒子隨時(shí)間變化而任意分布的影響。拉格朗日性質(zhì)與粒子性質(zhì)的和諧結(jié)合：將粒子近似法應(yīng)用于拉格朗日描述下的基于密度、速度、能量等變量場(chǎng)的偏微分方程組的離散。

SPH基本方程的構(gòu)造SPH基本方程的構(gòu)造常按兩個(gè)關(guān)鍵步：

第一步為積分表示法，又稱場(chǎng)函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)核近似法；

第二步為粒子近似法。第一步：核近似法W為光滑函數(shù)，需滿足條件：第一個(gè)條件為正規(guī)化條件：第二個(gè)條件是當(dāng)光滑程度趨于零時(shí)具有狄拉克函數(shù)性質(zhì)：第三個(gè)條件是緊支性條件：是與點(diǎn)處光滑函數(shù)相關(guān)的常數(shù)，并確定光滑函數(shù)的有效范圍（非零），此有效范圍稱作點(diǎn)處光滑函數(shù)的支撐域.

場(chǎng)函數(shù)核近似：為三維坐標(biāo)向量的函數(shù)；為包含的積分體積；為光滑長(zhǎng)度。場(chǎng)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的核近似法:

場(chǎng)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的SPH積分表達(dá)式允許空間變量的梯度由場(chǎng)函數(shù)的值和光滑函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來確定，而不是由函數(shù)本身的導(dǎo)數(shù)來確定，這種性質(zhì)可以減少對(duì)場(chǎng)函數(shù)連續(xù)性的要求，結(jié)果穩(wěn)定性更強(qiáng)。啊啊啊第二步：粒子近似法：

將SPH核近似法相關(guān)的連續(xù)積分表達(dá)式轉(zhuǎn)化為支持域內(nèi)所有粒子疊加求和的離散化形式：

在粒子處的函數(shù)粒子近似式：啊場(chǎng)函數(shù)空間導(dǎo)數(shù)的粒子近似式：在上述方程中，梯度與粒子相關(guān)，故在粒子處的函數(shù)粒子近似式最終可寫成：

應(yīng)當(dāng)注意的是，在粒子近似法中，方程引入了粒子的質(zhì)量和密度。對(duì)于密度是關(guān)于場(chǎng)變量的流體力學(xué)問題而言，這種方法非常適用。SPH相關(guān)概念支持域：域內(nèi)所有的點(diǎn)的信息都被用于決定x處的點(diǎn)的信息。影響域：一個(gè)點(diǎn)對(duì)周圍產(chǎn)生影響的范圍。在無(wú)網(wǎng)格方法中，影響域只與節(jié)點(diǎn)有關(guān)，而支持域與任意位置點(diǎn)相關(guān)，作為一種粒子法，SPH方法旨在粒子上對(duì)場(chǎng)變量進(jìn)行計(jì)算，也就是說，位置永遠(yuǎn)位于粒子（節(jié)點(diǎn)）上。因此，在SPH方法中，粒子同時(shí)具有支持域和影響域。光滑函數(shù)的構(gòu)造光滑函數(shù)在SPH近似法中起著重要作用，它決定了函數(shù)表達(dá)式的精度和計(jì)算效率。一：光滑函數(shù)主要特性總結(jié)歸納如下：

第一為正規(guī)化條件：

第二為滿足緊支性條件：此性質(zhì)將SPH近似從全局坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到局部坐標(biāo)，這種轉(zhuǎn)換將得到一系列稀疏矩陣，這對(duì)于計(jì)

算效率非常重要。

第三為在點(diǎn)上的粒子支持域內(nèi)任意一點(diǎn)處有（非負(fù)性）光滑函數(shù)非負(fù)，確保對(duì)一些物理現(xiàn)象的物理意義的描述是非常重要的。第四為：當(dāng)粒子間的距離增大時(shí)，粒子的光滑函數(shù)值應(yīng)該是單調(diào)遞減的。隨著兩個(gè)相互作用的粒子間距離增大，它們的相互作用力減小。

第五為：當(dāng)光滑長(zhǎng)度趨向于0時(shí)，光滑函數(shù)應(yīng)該滿足狄拉克函數(shù)條件：此性質(zhì)確保了當(dāng)光滑長(zhǎng)度趨向于0時(shí)，近似值趨向于函數(shù)值。第六為：光滑函數(shù)應(yīng)為偶函數(shù)（對(duì)稱性質(zhì)）。此性質(zhì)表示與給定粒子距離相同但不同位置上的粒子對(duì)給定粒子的影響應(yīng)該是相同的。第七為：光滑函數(shù)應(yīng)該充分光滑。對(duì)于一個(gè)函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的近似，光滑函數(shù)必須充分連續(xù)以得到好的結(jié)果。二：函數(shù)和它的前兩階導(dǎo)數(shù)要達(dá)到階近似，光滑函數(shù)用該滿足：

和

構(gòu)造光滑函數(shù)及其相關(guān)問題

假設(shè)光滑函數(shù)只取決于粒子間相對(duì)距離相關(guān)的多項(xiàng)式，那么在影響寬度是的支持域內(nèi)就可以假設(shè)為以下形式：

將代入光滑函數(shù)的條件方程組，從總的線性方程組中計(jì)算參數(shù)，函數(shù)就可以確定光滑函數(shù)。由此可以看出光滑函數(shù)的最終表達(dá)式可以作為函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的積分表達(dá)式中的通用權(quán)函數(shù)。相關(guān)問題：光滑函數(shù)的中心峰值非常重要，其決定了粒子本身對(duì)近似所做的貢獻(xiàn)。若函數(shù)近似的最高精度為二階，那么光滑函數(shù)矩越小，光滑函數(shù)的精度越高，光滑函數(shù)具有較大的中心峰值。

基于Navier-Stokers方程的SPH方程

在廣義流體力學(xué)中，運(yùn)用SPH的核近似法和粒子近似法對(duì)Navier-Stokers方程進(jìn)行空間離散化推導(dǎo)出適用于廣義流體力學(xué)的SPH方程，可得到一系列與時(shí)間相關(guān)的常微分方程組，這一系列的常微分方程可通過對(duì)時(shí)間的積分求解。一：應(yīng)用SPH近似法將Navier-Stokers方程進(jìn)行空間離散為

SPH方程形式。二：介紹SPH方法相關(guān)的主要數(shù)值問題。一：應(yīng)用SPH近似法將Navier-Stokers方程進(jìn)行空間離散為SPH方程形式質(zhì)量守恒：

密度法：連續(xù)性密度法：

動(dòng)量守恒：

能量守恒：二：介紹SPH方法相關(guān)的主要數(shù)值問題。Monaghan人工粘度:處理沖擊波為體重的低耗散和非物理穿透問題?？勺兓饣L(zhǎng)度：根據(jù)每個(gè)粒子自身的密度配置獨(dú)立的光滑長(zhǎng)度。粒子間相互作用的對(duì)稱化:每個(gè)粒子具有獨(dú)立的光滑長(zhǎng)度，為保持粒子間相互作用對(duì)稱性，需對(duì)光滑長(zhǎng)度進(jìn)行修正。人工壓縮率：把不可壓縮流體流體考慮為實(shí)際可壓縮的，引進(jìn)壓力梯度。邊界處理：1.補(bǔ)充邊界上或臨近邊界處粒子的支持域內(nèi)粒子數(shù)，減少粒子積分近似缺陷，故在布置時(shí)采用加密布置或多層布置；

2.在固定邊界分布一組虛粒子來阻止鄰近邊界粒子非物理穿透。

展望SPH方法的應(yīng)用范圍非常廣．由計(jì)算流體力學(xué)(CFD)到計(jì)算固體力學(xué)(CSM)．由微觀、宏觀到天文尺度．由離散系統(tǒng)到連續(xù)系統(tǒng)。在流體力學(xué)領(lǐng)域，SPH方法可以應(yīng)用于模擬具有各種不同特性的流體問題，雖然SPH方法還處在起步和發(fā)展階段，現(xiàn)在還沒有得到廣泛的應(yīng)用，但是它的粒子性、自適應(yīng)性等是其他數(shù)值模擬方法所無(wú)法比擬的。模擬計(jì)算方面：粒子的初始分布，光