計算方法-3-函數擬合法

2023/1/151第三章曲線擬合計算方法

3.1最小二乘法實例：考察某種纖維的強度與其拉伸倍數的關系,下表是實際測定的24個纖維樣品的強度與相應的拉伸倍數是記錄:22023/1/15纖維強度隨拉伸倍數增加而增加并且24個點大致分布在一條直線附近---------(1)2023/1/153必須找到一種度量標準來衡量什么曲線最接近所有數據點一、最小二乘法的基本概念一般使用在回歸分析中稱為殘差稱為平方誤差42023/1/15在回歸分析中稱為誤差平方和從而確定(1)中的待定系數注意(1)式是一條直線因此將問題一般化52023/1/15按誤差平方和達到極小構造擬合函數的方法稱為最小二乘法。這一最小準則稱為最小二乘原理。仍定義平方誤差2023/1/156我們選取的度量標準是---------(2)---------(3)2023/1/1572023/1/158二、法方程組由可知因此可假設因此求最小二乘解轉化為二次函數92023/1/15由多元函數取極值的必要條件得即102023/1/15---------(4)即112023/1/15引入記號則由內積的概念可知---------(5)---------(6)顯然內積滿足交換律122023/1/15方程組(4)便可化為---------(7)將其表示成矩陣形式-----(8)2023/1/1513并且其系數矩陣為對稱陣所以法方程組的系數矩陣非奇異,即根據Cramer法則,法方程組有唯一解142023/1/15即是的最小值所以因此152023/1/15作為一種簡單的情況,基函數之間的內積為平方誤差2023/1/1516例1.回到本節(jié)開始的實例，從散點圖可以看出纖維強度和拉伸倍數之間近似與線性關系故可選取線性函數為擬合函數，其基函數為建立法方程組根據內積公式，可得172023/1/15法方程組為解得平方誤差為2023/1/1518擬合曲線與散點的關系如右圖:192023/1/15例2.求擬合下列數據的最小二乘解x=.24.65.951.241.732.012.232.522.772.99y=.23-.26-1.10-.45.27.10-.29.24.561解:因此假設擬合函數與基函數分別為202023/1/156.7941-5.347563.2589-5.34755.1084-49.008663.2589-49.00861002.5

1.6163-2.382726.7728通過計算,得法方程組的系數矩陣及常數項矩陣為212023/1/15用Gauss列主元消去法,得

-1.0410-1.26130.030735擬合的平方誤差為圖象如上圖222023/1/15例3.在某化學反應里,測得生成物濃度y%與時間t的數據如下，試建立y關于t的經驗公式t=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16y=4.00,6.40,8.00,8.80,9.22,9.50,9.70,9.86,10.00,10.20,10.32,10.42,10.50,10.55,10.58,10.60解:具有圖示的圖形的曲線很多，本題提供兩種形式2023/1/1523兩邊取對數,得得即為擬合函數基函數為解法方程組得平方誤差為2023/1/1524用最小二乘法得即無論從圖形還是從平方誤差考慮在本例中指數函數擬合比雙曲線擬合要好平方誤差為2023/1/1525三、加權最小二乘法各點的重要性可能是不一樣的重度:即權重或者密度，統(tǒng)稱為權系數定義加權平方誤差為-----(9)2023/1/1526使得2023/1/1527由多元函數取極值的必要條件得即2023/1/1528引入記號定義加權內積-----(10)2023/1/1529矩陣形式(法方程組)為方程組(10)式化為-----(11)---(12)2023/1/1530平方誤差為作為特殊情形,用多項式作擬合函數的法方程組為-----(13)2023/1/1531四、用正交多項式作最小二乘擬合*即正交多項式如何選取呢-----(14)2023/1/1532使得2023/1/1533由可知因此2023/1/1534而因此2023/1/1535可知最后可得正交多項式選取的方法:-----(15)由2023/1/1536使得由正交多項式的性質,法方程組2023/1/1537-----(16)-----(17)可化為即得即為利用正交多項式的最小二乘解2023/1/1538平方誤差為2023/1/1539例4.用最小二乘法求擬合這組數據的多項式解:從散點圖可知數據和二次多項式擬合較好因此選用二次多項