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文檔簡介

2022年山西省長治市普通高校對口單招高等數(shù)學一自考預(yù)測試題(含答案)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(20題)1.曲線y=x2+5x+4在點(-1,0)處切線的斜率為

A.2B.-2C.3D.-3

2.方程x2+y2-z2=0表示的二次曲面是()。

A.球面B.旋轉(zhuǎn)拋物面C.圓柱面D.圓錐面

3.A.A.

B.e

C.e2

D.1

4.

A.

B.

C.

D.

5.A.1

B.0

C.2

D.

6.

7.設(shè)y=sin2x,則y'=A.A.2cosxB.cos2xC.2cos2xD.cosx

8.

9.設(shè)un≤aυn(n=1,2,…)(a>0),且收斂,則()A.必定收斂B.必定發(fā)散C.收斂性與a有關(guān)D.上述三個結(jié)論都不正確

10.

11.

12.A.A.xy

B.yxy

C.(x+1)yln(x+1)

D.y(x+1)y-1

13.設(shè)函數(shù)z=sin(xy2),則等于()。A.cos(xy2)

B.xy2cos(xy2)

C.2xyeos(xy2)

D.y2cos(xy2)

14.

15.∫cos3xdx=A.A.3sin3x+CB.-3sin3x+CC.(1/3)sin3x+CD.-(1/3)sin3x+C

16.設(shè)z=x2+y2,dz=()。

A.2ex2+y2(xdx+ydy)

B.2ex2+y2(zdy+ydx)

C.ex2+y2(xdx+ydy)

D.2ex2+y2(dx2+dy2)

17.

18.如圖所示,在半徑為R的鐵環(huán)上套一小環(huán)M,桿AB穿過小環(huán)M并勻速繞A點轉(zhuǎn)動,已知轉(zhuǎn)角φ=ωt(其中ω為一常數(shù),φ的單位為rad,t的單位為s),開始時AB桿處于水平位置,則當小環(huán)M運動到圖示位置時(以MO為坐標原點,小環(huán)Md運動方程為正方向建立自然坐標軸),下面說法不正確的一項是()。

A.小環(huán)M的運動方程為s=2Rωt

B.小環(huán)M的速度為

C.小環(huán)M的切向加速度為0

D.小環(huán)M的法向加速度為2Rω2

19.微分方程y"-y=ex的一個特解應(yīng)具有的形式為(下列各式中α、b為常數(shù))。A.aex

B.axex

C.aex+bx

D.axex+bx

20.

二、填空題(20題)21.

22.

23.

24.

25.設(shè)x2為f(x)的一個原函數(shù),則f(x)=_____

26.如果函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),則在(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ,使得f(b)-f(a)=________。

27.

28.

29.設(shè)f(x)在x=1處連續(xù),=2,則=________。

30.

31.

32.

33.函數(shù)y=cosx在[0,2π]上滿足羅爾定理,則ξ=______.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

三、計算題(20題)41.

42.求微分方程的通解.

43.求曲線在點(1,3)處的切線方程.

44.

45.求函數(shù)y=x-lnx的單調(diào)區(qū)間,并求該曲線在點(1,1)處的切線l的方程.

46.證明:

47.

48.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量,則

49.研究級數(shù)的收斂性(即何時絕對收斂,何時條件收斂,何時發(fā)散,其中常數(shù)a>0.

50.已知某商品市場需求規(guī)律為Q=100e-0.25p,當p=10時,若價格上漲1%,需求量增(減)百分之幾?

51.設(shè)拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B,在拋物線與x軸所圍成的平面區(qū)域內(nèi),以線段AB為下底作內(nèi)接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示).設(shè)梯形上底CD長為2x,面積為

S(x).

(1)寫出S(x)的表達式;

(2)求S(x)的最大值.

52.

53.設(shè)平面薄板所占Oxy平面上的區(qū)域D為1≤x2+y2≤4,x≥0,y≥0,其面密度

u(x,y)=2+y2,求該薄板的質(zhì)量m.

54.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數(shù).

55.求函數(shù)f(x)=x3-3x+1的單調(diào)區(qū)間和極值.

56.

57.

58.求函數(shù)一的單調(diào)區(qū)間、極值及其曲線的凹凸區(qū)間和拐點.

59.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解.

60.

四、解答題(10題)61.用鐵皮做一個容積為V的圓柱形有蓋桶,證明當圓柱的高等于底面直徑時,所使用的鐵皮面積最小。

62.

63.

64.(本題滿分8分)

65.求曲線y=ln(1+x2)的凹區(qū)間。

66.設(shè)ex-ey=siny,求y’

67.將f(x)=sin3x展開為x的冪級數(shù),并指出其收斂區(qū)間。

68.求曲線y=x3+2過點(0,2)的切線方程,并求該切線與曲線及直線x=1所圍成的平面圖形D的面積S。

69.

70.

五、高等數(shù)學(0題)71.求

的和函數(shù),并求

一的和。

六、解答題(0題)72.設(shè)z=f(xy,x2),其中f(x,y)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求

參考答案

1.C解析:

2.D因方程可化為,z2=x2+y2,由方程可知它表示的是圓錐面.

3.C本題考查的知識點為重要極限公式.

4.B本題考查的知識點為交換二次積分次序。由所給二次積分可知積分區(qū)域D可以表示為1≤y≤2,y≤x≤2,交換積分次序后,D可以表示為1≤x≤2,1≤y≤x,故應(yīng)選B。

5.C

6.A解析:

7.C由鏈式法則可得(sin2x)'=cos2x*(2x)'=2cos2x,故選C。

8.C

9.D由正項級數(shù)的比較判定法知,若un≤υn,則當收斂時,也收斂;若也發(fā)散,但題設(shè)未交待un與υn的正負性,由此可分析此題選D。

10.B

11.A

12.C

13.D本題考查的知識點為偏導(dǎo)數(shù)的運算。由z=sin(xy2),知可知應(yīng)選D。

14.C解析:

15.C

16.A∵z=ex+y∴z"=ex2+y22x;zy"=ex2+y22y∴dz=ex2+y22xdx+ex2+y22ydy

17.C解析:

18.D

19.B方程y"-y=0的特征方程是r2-1=0,特征根為r1=1,r2=-1。

方程y"-y=ex中自由項f1(x)=ex,α=1是特征單根,故應(yīng)設(shè)定y*=αxex,因此選B。

20.D

21.

本題考查的知識點為定積分計算.

可以利用變量替換,令u=2x,則du=2dx,當x=0時,a=0;當x=1時,u=2.因此

或利用湊微分法

本題中考生常在最后由于粗心而出現(xiàn)錯誤.如

這里中丟掉第二項.

22.

23.11解析:

24.-sinx

25.由原函數(shù)的概念可知

26.f"(ξ)(b-a)由題目條件可知函數(shù)f(x)在[a,b]上滿足拉格朗日中值定理的條件,因此必定存在一點ξ∈(a,b),使f(b)-f(a)=f"(ξ)(b-a)。

27.

本題考查的知識點為冪級數(shù)的收斂半徑.

注意此處冪級數(shù)為缺項情形.

28.

29.由連續(xù)函數(shù)的充要條件知f(x)在x0處連續(xù),則。

30.1

31.

本題考查的知識點為定積分的換元法.

32.x

33.π

34.

35.In2

36.

37.

本題考查的知識點為二階線性常系數(shù)齊次微分方程的求解.

二階線性常系數(shù)齊次微分方程求解的-般步驟為:先寫出特征方程,求出特征根,再寫出方程的通解.

38.

39.

40.

41.

42.

43.曲線方程為,點(1,3)在曲線上.

因此所求曲線方程為或?qū)憺?x+y-5=0.

如果函數(shù)y=f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)存在,則表明曲線y=f(x)在點

(x0,fx0))處存在切線,且切線的斜率為f′(x0).切線方程為

44.由一階線性微分方程通解公式有

45.

46.

47.

48.由等價無窮小量的定義可知

49.

50.需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1%需求量減少2.5%需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p,

∴當P=10時,價格上漲1%需求量減少2.5%

51.

52.

53.由二重積分物理意義知

54.

55.函數(shù)的定義域為

注意

56.

57.

58.

列表:

說明

59.解:原方程對應(yīng)的齊次方程為y"-4y'+4y=0,

60.

61.

于是由實際問題得,S存在最小值,即當圓柱的高等于地面的直徑時,所使用的鐵皮面積最小。于是由實際問題得,S存在最小值,即當圓柱的高等于地面的直徑時,所使用的鐵皮面積最小。

62.

63.

64.本題考查的知識點為曲線的切線方程.

65.

66.

67.

68.

69.

70.

71.設(shè)設(shè)

72

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