【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】2011屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 3.5 數(shù)列的綜合應(yīng)用課件 文 大綱人教版

【考綱下載】1.能運(yùn)用數(shù)列的概念、公式、性質(zhì)解決簡單的實(shí)際問題．2．能運(yùn)用觀察、歸納、猜想的手段，建立有關(guān)等差(比)數(shù)列、遞推數(shù)列模型.第5講數(shù)列的綜合應(yīng)用1．?dāng)?shù)列應(yīng)用問題的常見模型

(1)等差模型：一般地，如果增加(或減少)的量有一個(gè)固定的具體量時(shí)，該模型是等差模型，增加(或減少)的量就是公差，其一般形式是：an＋1－an＝d(常數(shù))．

(2)等比模型：一般地，如果增加(或減少)的百分比是一個(gè)固定的數(shù)時(shí)，該模型是等比模型．(3)混合模型：在一個(gè)問題中，同時(shí)涉及到等差數(shù)列和等比數(shù)列的模型．(4)生長模型：如果某一個(gè)量，每一期以一個(gè)固定的百分?jǐn)?shù)增加(或減少)，同時(shí)又以一個(gè)固定的具體量增加(或減少)時(shí)，我們稱該模型為生長模型．如分期付款問題，樹木的生長與砍伐問題等．(5)遞推模型：如果容易找到該數(shù)列任意一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an－1(或前幾項(xiàng))間的遞推關(guān)系式，那么我們可以用遞推關(guān)系的知識(shí)求解問題．2．?dāng)?shù)列與其他分支的知識(shí)的綜合應(yīng)用

(1)主要為數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式、三角、解析幾何、極限等知識(shí)的綜合．

(2)解此類綜合題，首先要認(rèn)真審題，弄清題意，分析出涉及哪些數(shù)學(xué)分支內(nèi)容，

在每個(gè)分支中各是什么問題；其次，要精心分解，把整個(gè)大題分解成若干個(gè)小題或“步驟”，使它們成為在各自分支中的基本問題；最后，分別求解這些小題或步驟，從而得到整個(gè)問題的結(jié)論．1．(2009·四川卷)等差數(shù)列{an}的公差不為零，首項(xiàng)a1＝1，a2是a1和a5

的等比中項(xiàng)，則數(shù)列{an}的前10項(xiàng)之和是(

)

A．90 B．100 C．145 D．190解析：∵

＝a1·a5，∴(a1＋d)2＝a1(a1＋4d)．∴d2＝2a1d，而d≠0，∴d＝2a1＝2.S10＝10×1＋

×2＝100.答案：B2．(2009·江西卷)公差不為零的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若a4是a3與a7的 等比中項(xiàng)，S8＝32，則S10等于(

)

A．18 B．24 C．60 D．90解析：由題意可知

S10＝10×(－3)＋

×2＝60.

答案：C3．黑白兩種顏色的正六邊形地面磚按如下圖的規(guī)律拼成若干個(gè)圖案，則

第n個(gè)圖案中有白色地面磚的塊數(shù)是(

)A．4n＋2B．4n－2C．2n＋4D．3n＋3解析：白色地面磚的塊數(shù)為等差數(shù)列，首項(xiàng)為6，公差為4，即得通項(xiàng)為4n＋2.答案：A4．一張厚度為0.1mm的矩形紙，每次將此紙沿對(duì)邊中點(diǎn)連線對(duì)折，一共

折疊20次(假定這樣的折疊是可以完成的)，這樣折疊后紙的總厚度h1

與一座塔的高度h2＝100m的大小關(guān)系為h1________h2.

解析：設(shè)厚度構(gòu)成數(shù)列{an}，則a1＝0.1，a2＝0.2，a3＝0.4，…，

a21＝0.1·220，即{an}為公比為2的等比數(shù)列而220>1000000，∴h1>h2.

答案：>對(duì)于同一個(gè)數(shù)列，某些項(xiàng)在一定的條件下可以成為等比數(shù)列，另一些項(xiàng)在特定條件下也可以成為等差數(shù)列，尋找這個(gè)數(shù)列項(xiàng)之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【例1】

設(shè){an}是公比大于1的等比數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．已知S3＝7， 且a1＋3,3a2，a3＋4構(gòu)成等差數(shù)列．

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)；

(2)令bn＝ln

a3n＋1，n＝1,2，…，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.

思維點(diǎn)撥：設(shè)出等比數(shù)列，從等差數(shù)列建立方程，再判定{bn}的特征．解：(1)由已知得解得a2＝2.設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，由a2＝2，可得a1＝，a3＝2q，又S3＝7，可知＋2＋2q＝7，即2q2－5q＋2＝0.解得q1＝2，q2＝由題意得q>1，∴q＝2.∴a1＝1.故數(shù)列{an}的通項(xiàng)為an＝2n－1(n∈N*)．(2)由于bn＝ln

a3n＋1，n＝1,2，…，由(1)得a3n＋1＝23n，∴bn＝ln23n＝3nln2，又bn＋1－bn＝3ln2，∴{bn}是等差數(shù)列．∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝故Tn＝

ln2，n＝1,2，….變式1：設(shè){an}是等差數(shù)列，{bn}是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù) 列，且a1＝b1＝1，a3＋b5＝21，a5＋b3＝13.

求{an}，{bn}的通項(xiàng)公式．解：設(shè){an}的公差為d，{bn}的公比為q，依題意有q>0且解得d＝2，q＝2，∴an＝1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝qn－1＝2n－1.【例2】在一次人才招聘會(huì)上，有A，B兩家公司分別開出它們的工資標(biāo)準(zhǔn)：A公司許 諾第一年月工資數(shù)為1500元

，以后每年月工資比上一年月工資增加230

元；B公司許諾第一年月工資數(shù)為2000元，以后每年月工資在上一年的月工 資基礎(chǔ)上遞增5%，設(shè)某人年初被A，B兩家公司同時(shí)錄取，試問：

(1)若該人分別在A公司或B公司連續(xù)工作n年，則他在第n年的月工資收入分 別是多少？

(2)該人打算連續(xù)在一家公司工作10年，僅從工資收入總量較多作為應(yīng)聘的標(biāo) 準(zhǔn)(不計(jì)其他因素)，該人應(yīng)該選擇哪家公司，為什么？

(3)在A公司工作比在B公司工作的月工資收入最多可以多多少元(精確到1元)？ 并說明理由．解：(1)此人在A，B公司第n年的月工資數(shù)分別為：an＝1500＋230×(n－1)(n∈N*)bn＝2000(1＋5%)n－1(n∈N*)．(2)若該人在A公司連續(xù)工作10年，則他的工資收入總量為12(a1＋a2＋…＋a10)＝304200(元)，若該人在B公司連續(xù)工作10年，則他的工資收入總量為12(b1＋b2＋…＋b10)≈301869(元)，因?yàn)樵贏公司收入的總量高些，因此該人應(yīng)該選擇A公司．(3)問題等價(jià)于求cn＝an－bn＝1270＋230n－2000×1.05n－1(n∈N*)的最大值．當(dāng)n≥2時(shí)，cn－cn－1＝230－100×1.05n－2，當(dāng)cn－cn－1>0，即230－100×1.05n－2>0時(shí)，1．05n－2<2.3，得n<19.1，因此，當(dāng)2≤n≤19時(shí)，cn－1<cn；于是，當(dāng)n≥20時(shí)，cn<cn－1，∴c19是數(shù)列{cn}的最大項(xiàng)，c19＝a19－b19≈827(元)．即在A公司工作比在B公司工作的月工資收入最多可以多827元．銀行按規(guī)定每經(jīng)過一定的時(shí)間結(jié)算存(貸)款的利息一次，結(jié)算后即將利息并入本金，這種計(jì)算利息的方法叫復(fù)利．現(xiàn)在有某企業(yè)進(jìn)行技術(shù)改造，有兩種方案：甲方案——一次性貸款10萬元，第一年便可獲利1萬元，以后每年比前一年增加30%的利潤；乙方案——每年貸款1萬元，第一年可獲利1萬元，以后每年比前一年多獲利5千元．兩種方案的使用期限都是10年，到期一次性歸還本息．若銀行貸款利息均按年息10%的復(fù)利計(jì)算，試比較兩種方案哪個(gè)獲利更多．(計(jì)算結(jié)果精確到千元，參考數(shù)據(jù)：1.110≈2.594，1.310≈13.786)．變式2：解：甲方案10年獲利的和1＋(1＋30%)＋(1＋30%)2＋…＋(1＋30%)9＝≈42.62(萬元)．到期時(shí)銀行貸款的本息和為10(1＋10%)10≈10×2.594＝25.94(萬元)．∴甲方案扣除貸款本息后凈獲利42.62－25.94≈16.7(萬元)；乙方案逐年獲利組成一個(gè)等差數(shù)列，10年共獲利1＋(1＋0.5)＋(1＋2×0.5)＋…＋(1＋9×0.5)＝

＝32.5(萬元)而貸款本息和為1.1×[1＋(1＋10%)＋…＋(1＋10%)9]＝1.1×≈17.53(萬元)．∴乙方案扣除貸款本息后，凈獲利為32.5－17.53≈15.0(萬元)．比較可知，甲方案獲利多于乙方案獲利.函數(shù)、數(shù)列、不等式是高中重要的知識(shí)交匯點(diǎn)，以數(shù)列為背景的不等式證明問題及以函數(shù)為背景的數(shù)列構(gòu)造問題在全國各省市的高考試題中都扮演著重要的角色．函數(shù)、數(shù)列、不等式的交匯問題具有命題操作過程簡單，構(gòu)造技巧強(qiáng)的特點(diǎn)，因此一直受到高考命題者的青睞．差d≠0，a1＝1，且a1，a2，a7成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn；(2)設(shè)bn＝

數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，

求證：2Tn－9bn－1＋18> (n>1)【例3】(2009·皖南八校第二次聯(lián)考)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，公思維點(diǎn)撥：(1)利用已知條件求a1和d；(2)由(1)求出bn，再求Tn，然后證明2Tn－9bn－1＋18≥4與

≤4.解：(1)∵a1，a2，a7成等比數(shù)列，∴

即(a1＋d)2＝a1(a1＋6d)，又a1＝1，d≠0，∴d＝4.∴Sn＝na1＋ d＝n＋2n(n－1)＝2n2－n.

證明：(2)由(1)知bn＝∴{bn}是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，∴Tn＝ ＝n2＋n，∴2Tn－9bn－1＋18＝2n2＋2n－18(n－1)＋18＝2n2－16n＋36＝2(n2－8n＋16)＋4＝2(n－4)2＋4≥4，當(dāng)且僅當(dāng)n＝4時(shí)取等號(hào)①當(dāng)且僅當(dāng)n＝，即n＝3時(shí)取等號(hào)．②又①②中等號(hào)不能同時(shí)取到，∴2Tn－9bn－1＋18>(n>1).【方法規(guī)律】1．深刻理解等差(比)數(shù)列的性質(zhì)，熟悉它們的推導(dǎo)過程是解題的關(guān)鍵．兩類數(shù) 列性質(zhì)既有類似的部分，又有區(qū)別，要在應(yīng)用中加強(qiáng)記憶．同時(shí)，用好性質(zhì)也 會(huì)降低解題的運(yùn)算量，從而減少差錯(cuò)．2． 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式要分兩種情況：公比等于1和公比不等于1.最容易忽視公比等于1的情況，要注意這方面的練習(xí)．3． 在等差數(shù)列與等比數(shù)列中，經(jīng)常要根據(jù)條件列方程(組)求解，在解方程(組)

時(shí)，仔細(xì)體會(huì)兩種情形中解方程(組)的方法的不同之處．4．?dāng)?shù)列的滲透力很強(qiáng)，它和函數(shù)、方程、三角形、不等式等知識(shí)相互聯(lián)系，優(yōu)化組合，無形中加大了綜合的力度．解決此類題目，必須對(duì)蘊(yùn)藏在數(shù)列概念和方法中的數(shù)學(xué)思想有所了解，深刻領(lǐng)悟它在解題中的重大作用，常用的數(shù)學(xué)思想方法有：“函數(shù)與方程”、“數(shù)形結(jié)合”、“分類討論”、“等價(jià)轉(zhuǎn)換”等．

5．在現(xiàn)實(shí)生活中，人口的增長、產(chǎn)量的增加、成本的降低、存貸款利息的計(jì)算、分期付款問題等，都可以利用數(shù)列來解決，因此要會(huì)在實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型，并用它解決實(shí)際問題.【高考真題】(14分)(2009·四川卷)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，對(duì)任意的正整數(shù)n，都

有an＝5Sn＋1成立，記bn＝

(n∈N*)．(1)求數(shù)列{an}與數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Rn，是否存在正整數(shù)k，使得Rk≥4k成立？若存在，找出一個(gè)正整數(shù)k；若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)記cn＝b2n－b2n－1(n∈N*)，設(shè)數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Tn，求證：對(duì)任意正整數(shù)n，都有Tn<.【規(guī)范解答】解：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝5a1＋1，∴a1＝－

.又∵an＝5Sn＋1，an＋1＝5Sn＋1＋1.∴an＋1－an＝5an＋1，即an＋1＝－

an.∴數(shù)列{an}成等比數(shù)列，其首項(xiàng)為a1＝－

，公比q＝－，∴an＝

n.∴bn＝

.……3分(2)不存在正整數(shù)k，使得Rk≥4k成立．下面證明：對(duì)任意的正整數(shù)n，都有Rn<4n成立．由(1)知bn＝4＋

∵b2k－1＋b2k＝8＋

＋＝8＋

＝8－

<8.(b2m－1＋b2m)<8m＝4n；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，設(shè)n＝2m－1(m∈N*)，則Rn＝(b1＋b2)＋(b3＋b4)＋…＋(b2m－3＋b2m－2)＋b2m－1<8(m－1)＋4＝8m－4＝4n.∴對(duì)一切的正整數(shù)n，都有Rn<4n.∴不存在正整數(shù)k，使得Rk≥4k成立．……8分∴當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)n＝2m(m∈N*)，則Rn＝(b1＋b2)＋(b3＋b4)＋…＋(3)證明：由(1)知bn＝4＋

.∴cn＝b2n－b2n－1＝

又b1＝3，b2＝

.∴c1＝

.當(dāng)n＝1時(shí)，T1< .當(dāng)n≥2時(shí)，Tn<

命題設(shè)置遞推式an＝5Sn＋1，一方面考查考生對(duì)基本遞推關(guān)系an＝

的正確理解，對(duì)數(shù)列遞推關(guān)系的掌握情況，另一方面借此引出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式bn＝