《正態(tài)分布》同步練習(xí)（） 市賽一等獎(jiǎng)

《正態(tài)分布》同步練習(xí)一、選擇題1.設(shè)有一正態(tài)總體,它的概率密度曲線是函數(shù)f(x)的圖象,且f(x)=φμ,σ(x)=,則這個(gè)正態(tài)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差分別是().與8 與2 與10 答案:B解析:由正態(tài)密度函數(shù)的定義可知,總體的均值μ=10,方差σ2=4,即σ=2.2.設(shè)兩個(gè)正態(tài)分布N(μ1,)(σ1>0)和N(μ2,)(σ2>0)的密度函數(shù)圖象如圖所示,則有().A.μ1<μ2,σ1<σ2 B.μ1<μ2,σ1>σ2C.μ1>μ2,σ1<σ2 D.μ1>μ2,σ1>σ2答案:A解析:根據(jù)正態(tài)分布密度曲線的性質(zhì):正態(tài)分布密度曲線是一條關(guān)于直線x=μ對(duì)稱,在x=μ處取得最大值的連續(xù)鐘形曲線;σ越大,曲線越“矮胖”;σ越小,曲線越“瘦高”,結(jié)合圖象可知μ1<μ2,σ1<σ2.故選A.3.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(3,1),且P(2≤X≤4)=6,則P(X>4)=().8 76 5答案:B解析:P(X>4)=[1-P(2≤X≤4)]=×6)=7.4.已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(3,4),則E(2ξ+1)與D(2ξ+1)的值分別為().,4 ,8,8 ,16答案:D解析:由已知E(ξ)=3,D(ξ)=4,得E(2ξ+1)=2E(ξ)+1=7,D(2ξ+1)=4D(ξ)=16.5.(2022河北高陽中學(xué)高三月考)已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(2,σ2),且P(ξ<4)=,則P(0<ξ<2)等于().A.0.6 0.4 答案:C解析:P(ξ≥4)==,P(ξ≤0)=,P(0<ξ<2)==.6.設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,9),若P(X>C+1)=P(X<C-1),則C=(). .3 答案:C解析:∵X~N(2,9),∴P(X>C+1)=P(X<3-C).又P(X>C+1)=P(X<C-1),∴3-C=C-1.∴C=2.7.某人從某城市的南郊乘公交車前往北區(qū)火車站,由于交通擁擠,所需時(shí)間(單位:min)服從X~N(50,102),則他在時(shí)間段(30,70]內(nèi)趕到火車站的概率為().6 44 4答案:D解析:∵X~N(50,102),μ=50,σ=10,∴P(30<X≤70)=P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=4.二、填空題8.(2022山東桓臺(tái)一中月考)已知正態(tài)分布總體落在區(qū)間(-∞,的概率為,那么相應(yīng)的正態(tài)曲線Φμ,σ(x)在x=時(shí)達(dá)到最高點(diǎn).答案:解析:∵P(X<=,∴P(X≥=,即x=是正態(tài)曲線的對(duì)稱軸,∴當(dāng)x=時(shí)Φμ,σ(x)達(dá)到最高點(diǎn).9.設(shè)在一次數(shù)學(xué)考試中,某班學(xué)生的分?jǐn)?shù)服從ξ~N(110,202),且知滿分150分,這個(gè)班的學(xué)生共54人.則這個(gè)班在這次數(shù)學(xué)考試中及格(不小于90分)的人數(shù)和130分以上的人數(shù)的和約為.答案:54解析:因?yàn)棣蝵N(110,202),所以μ=110,σ=20,P(110-20<ξ≤110+20)=6.所以ξ>130的概率為6)=7.所以ξ≥90的概率為6+7=3.所以及格的人數(shù)為54×3≈45,130分以上的人數(shù)為54×7≈9.故所求的和約為45+9=54人.10.某班有50名學(xué)生,一次考試的成績(jī)?chǔ)?ξ∈N)近似服從正態(tài)分布N(100,102),已知P(90≤ξ≤100)=,估計(jì)該班數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?10分以上的人數(shù)為.答案:10解析:考試的成績(jī)?chǔ)畏恼龖B(tài)分布N(100,102),∴考試的成績(jī)?chǔ)侮P(guān)于ξ=100對(duì)稱.∵P(90≤ξ≤100)=,∴P(100≤ξ≤110)=.∴P(ξ>110)=.∴該班數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?10分以上的人數(shù)約為×50=10.三、解答題11.設(shè)X~N(1,22),試求:(1)P(-1<X≤3);(2)P(3<X≤5);(3)P(X≥5).解:因?yàn)閄~N(1,22),所以μ=1,σ=2,如圖.(1)P(-1<X≤3)=P(1-2<X≤1+2)=P(μ-σ<X≤μ+σ)=6.(2)因?yàn)镻(3<X≤5)=P(-3<X≤-1),所以P(3<X≤5)=[P(-3<X≤5)-P(-1<X≤3)]=[P(1-4<X≤1+4)-P(1-2<X≤1+2)]=[P(μ-2σ<X≤μ+2σ)-P(μ-σ<x≤μ+σ)]=6)=9.(3)因?yàn)镻(X≥5)=P(X≤-3),所以P(X≥5)=[1-P(-3<X≤5)]=[1-P(1-4<X≤1+4)]=[1-P(μ-2σ<X≤μ+2σ)]=4)=8.12.已知某種零件的尺寸X(單位:mm)服從正態(tài)分布,其正態(tài)曲線在(0,80)上是增函數(shù),在(80,+∞)上是減函數(shù),且f(80)=.(1)求正態(tài)分布密度函數(shù)的解析式:(2)估計(jì)尺寸在72mm~88mm解:(1)由于正態(tài)曲線在(0,80)上是增函數(shù),在(80,+∞)上是減函數(shù),所以正態(tài)曲線關(guān)于直線x=80對(duì)稱,且在x=80處取得最大值.因此得μ=80,,所以σ=8.故正態(tài)分布密度函數(shù)的解析式是f(x)=.(2)由μ=80,σ=8,得μ-σ=80-8=72,μ+σ=80+8=88,所以零件尺寸X在區(qū)間(72,88)內(nèi)的概率是6.因此尺寸在72mm~88mm間的零件大約占總數(shù)的%.13.正態(tài)總體當(dāng)μ=0,σ=1時(shí)的概率密度函數(shù)是φμ,σ(x)=,x∈R.(1)證明φμ,σ(x)是偶函數(shù);(2)求φμ,σ(x)的最大值;(3)利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)說明φμ,σ(x)的增減性.(1)證明:對(duì)于任意的x∈R,φμ,σ(-x)==φμ,σ(x),所以φμ,σ(x)是偶函數(shù).(2)解:令z=,當(dāng)x=0時(shí),z=0,e-z=1;當(dāng)x≠0時(shí),>0,ez>1,由于y=ez是關(guān)于z的增函數(shù),所以當(dāng)x=0(即z=0)時(shí),=e0取得最大值.這時(shí)φμ,σ(x)的最大值為e0=.(3)任取x1<0,x2<