第六章 空間幾何分析

第六章

航天任務(wù)空間幾何分析6.1球面三角基礎(chǔ)知識6.2定向天線波束覆蓋計算6.3地面站跟蹤弧段計算6.4

太陽角計算6.5地影時間計算6.6發(fā)射窗口分析16.1球面三角基礎(chǔ)知識6.1.1球面上的圓（定理）1)任意平面與圓球面相截的交線為圓，且有2)見圖6.1，當(dāng)h=0時，截面過球心O，并且r=R。此時過球心的平面與球面相截的交線為大圓。3）大圓將圓球和球面分為相等的兩個部分。圖6.1Rrh大圓圓球平面截圓O2

4）通過球面上不在同一直徑上的兩個點(diǎn)，能做且僅能做一個大圓。例如圖6.2球面上的A和D兩個點(diǎn)不在同一直徑上，各在OA和OD兩個（延長線的）直徑上。由于不在一條直線上的三個點(diǎn)可確定一個唯一的平面，所以通過球心O和A、D這兩個點(diǎn)所確定的平面，即是通過球心的唯一的平面(參見圖6.2

AOD)

。該平面和球面的交線就是唯一的大圓。ADO圖6.23OADBCR圖6.35）小于180°的大圓弧是球面上兩點(diǎn)間的最短球面距離。證明：球面上的A、D兩點(diǎn)所形成的大圓弧在小于180°的一段是球面上兩點(diǎn)間的最短球面距離。如圖6.3中所示，在球面上，通過A和D做大圓弧。另外，在離開球心并通過A和D兩點(diǎn)做小圓弧。在小圓弧上做曲線ABCD。4CDABOABOCDRRRRRRRR由頂看(平面圖)斜視(立體圖)5

把ABCD和球心連接起來，我們可以得到多面角，則∠AOD＜（小于）∠AOB+∠BOC+∠COD。由于OA、OB、OC、OD都等于R，而大圓弧上各點(diǎn)到O的距離都等于R，所以，弧AD＜弧ABCD。實(shí)際上,在AD小圓弧上可取無窮多個點(diǎn)，則得無窮多個小弧AB、BC…D，這樣弧ABC…D就等于小圓上的AD弧。該定理與“在平面上，兩點(diǎn)間的最短距離是直線”相類似。飛機(jī)做遠(yuǎn)距離航行時，都是沿著地球上空的大圓弧飛行。這樣，飛行距離是最短的。66.1.2球面角

(1)大圓的極、軸和極線

圖6.5PP1OABα大圓AB（見圖6.5）平面（如地球赤道平面）中心的垂線與球面的兩個交點(diǎn)P和P1

（如地球的南北極），為大圓的極。兩個交點(diǎn)的連線為大圓AB的軸。大圓AB也稱為P或P1點(diǎn)的極線。過極P的任意大圓交極線于A或B點(diǎn)，則弧PA或弧PB等于π/2或90°。相當(dāng)于地球由南北極沿子午線到赤道的弧度（等于π/2或90°）。通過軸(PP1)和其大圓上任意一點(diǎn)(如A點(diǎn))可做一平面,該平面與球面截線為大圓.7（2）球面（二面）角若兩大圓PA和PB相交（見圖6.5），則APB為球面角，大圓PA和PB的交點(diǎn)P稱為球面角的頂點(diǎn)，兩圓弧PA和PB稱為球面角的邊。球面角的邊是以弧度來度量的。球面角度量有四種方法（見圖6.5）：①用兩平面的二面角度量(由立體幾何定義)；②用(極線處)直線角AOB（α）度量（又稱球心角；在地球上稱地心角）；③用(極線處)弧AB來度量，弧AB=Rα

，當(dāng)R=1時，弧AB=α（以弧度計）；④用頂點(diǎn)P處兩球面角邊的切線間的夾角來度量。8（3）球面三角形相交于三點(diǎn)A、B、C的三個大圓弧所圍成的球面上的一部分（圖形）為球面三角形，見圖6.6。a.球面三角形的每個角及每個邊都小于180°。若有一個角或邊等于180°，則成二面角。b.球面三角形有二等邊、三等邊、直角（一個、兩個或三個直角）和任意球面三角形幾種。c.球面三角形三邊的和大于零（若等于零，則成一點(diǎn)），而小于360°（若等于360°，則成二面角）。圖6.6ABC123ACBbca9（4）極線三角形

將已知球面三角形ABC的頂點(diǎn)作極（見圖6.7），并使每一個頂點(diǎn)的兩邊各延長到90°的極線，則這些極線兩兩相交構(gòu)成一新的球面三角形A′B′C′，這一三角形稱為極線三角形。

1）原球面三角形ABC與極線三角形A′B′C′有如下關(guān)系：①原球面三角形的頂點(diǎn)是極線三角形邊的極；②極線三角形的頂點(diǎn)是原三角形邊的極。關(guān)系①不需要證明，因?yàn)槎x如此，即以球面三角形ABC的頂點(diǎn)作極，而做出的極線三角形。下面證明②。10ABCC′B′A′圖6.7證明：在圖6.7中作大弧B′A和B′C，因?yàn)镃點(diǎn)是弧B′A′的極，所以弧B′C=90°；同樣，A點(diǎn)是弧B′C′的極，所以弧B′A=90°。因此，點(diǎn)B′是弧AC的極。同樣，點(diǎn)C′是弧AB的極；點(diǎn)A′是弧BC的極。112）原球面三角形的角與極線三角形中對應(yīng)邊的和等于180°，即

B+b′=180°證明：球面三角形ABC與三角形A′B′C′互為極線三角形。過B延長BA和BC至其極線A′C′交于A1和C1。則角B等于弧A1C1。我們用b′代表弧A′C′（邊）并將其分成A′A1、A1C1、

C1

C′三段，見圖6.8a。（此是角小邊大）

圖6.8aABCC′B′A′A1C1b′12

我們有

B=A1C1b′=A′A1＋A1C1＋C1

C′

將上兩式相加，得

B＋b′=A′A1＋A1C1＋A1C1＋

C1

C′=A′C1＋A1C′

因?yàn)锳′是BC弧的極

，所以弧A′C1=90°，同樣，C′是BA弧的極

，所以弧A1C′=90°，所以，B＋b′=180°。同樣，A＋a′=180°，

C＋ｃ′=180°。13

3）極線球面三角形的角與原三角形中對應(yīng)邊的和等于180°即

B′+b=180°

證明：延長原三角形的邊AC（見圖6.8b），并與極線三角形的邊B′A′交于A2，與極線三角形的邊B′C′交于C2。（此是角大邊?。?/p>

ABCC′B′A′A2C2b圖6.8b14

因?yàn)锽′點(diǎn)是A2C2弧的極，所以角B′=弧A2C2?；2C2被A和C分成三部分A2A、AC、C

C2，而b=AC，則，B′+b

=A2A＋AC＋AC＋C

C2

=A2C＋AC2。因?yàn)镃點(diǎn)是弧B′A′的極，所以弧A2C=90°。同樣，A點(diǎn)是B′C′的極，所以弧AC2=90°。因此，B′+b

=180°，同樣，A′＋a=180°，

C′＋ｃ=180°。15（2）平面上任意封閉多邊形各個邊在該平面的某直線（軸）上投影的代數(shù)和等于零。如圖6.9中封閉多邊形ABCDEA各個邊在該平面的OZ軸上投影的代數(shù)和等于零。非封閉多邊形(如圖6.9中BCDEA)各邊在該平面的某直線（軸）上的投影的代數(shù)和等于閉合邊AB的投影。圖6.9OZABCDEθ6.1.3投影定理（1）直線在軸上的垂直投影長度等于該直線的長度乘以該直線和軸的夾角θ的余弦，見圖6.9。16

假設(shè)，過O點(diǎn)做三條直線OA、OB、OC的線束，組成以O(shè)為頂點(diǎn)的三面角，見圖6.10。其中：∠AOB=c

∠BOC=a∠AOC=b

中心在三面角的頂點(diǎn)O，半徑為R的球面截三面角，形成球面三角形ABC。球面三角形的三個邊分別等于a、b、c，它們的角分別等于球面角A、B、C。6.1.4球面三角形邊的余弦定理圖6.10OABCcabbcaR17

從圖6.11可知，從球面三角形上任一頂點(diǎn)，例如A點(diǎn)，向?qū)γ鍮OC作垂線AM，通過直線AM作平面AMN（一條直線和不在該直線上的一點(diǎn)可做一平面）和AMK，并且使各個平面分別垂直于棱OB和OC，于是得

∠MNA=B，∠MKA=C（立體幾何中的二面角），∠AOB=c，∠BOC=a，∠AOC=b（球心角）。取折線OKMN（即四邊形）在ON上的投影，有

投影ON=投影OK+投影KM+投影MN

用R表示OA—球的半徑，我們來研究四邊形ONMK每邊的長度，于是有18圖6.11

Rcosc=Rcosbcosa+RsinbsinacosCNbcOABCcabaMKR90-a投影軸投影KM=Rsinb

cosCcos（90°-a）=RsinbsinacosC

；投影OK=Rcosbcosa

；投影MN=0投影ON=Rcosc19

ON=Rcosc,

OK=Rcosb,

則投影OK=Rcosbcosa

；

KM=KAcosC,KA=Rsinb,所以，

KM=RsinbcosC，則KM在ON軸上的投影為投影KM=RsinbcosCcos（90°-a）

=RsinbsinacosC

；因?yàn)镸N垂直于OB，所以，投影MN=0

這樣公式：投影ON=投影OK+投影KM+投影MN可寫成

R

cosc=R

cosbcosa

+

Rsinbsina

cosC

20

將上式R約去得：

cosc=cosbcosa

+

sinbsinacosC

這個公式可以這樣讀：球面三角形邊的余弦等于其它兩邊余弦的乘積加上它們的正弦及它們夾角的余弦的連乘積。同樣，可以得到其它兩個邊的余弦公式，故有：

cosa=cosbcosc+sinbsinccosA(6.1a)

cosb=cosacosc+sinasinccosB(6.1b)

cosc=cosacosb+

sinasinbcosC(6.1c)

球面三角形邊的余弦公式很重要，應(yīng)用的較多。21(6.2)6.1.5正弦公式見圖6.11，AM是三角形AMK和AMN的公共邊，則有

AK在AM軸上的投影=AN在AM軸上的投影

即：投影AK=Rsinbcos(90°-C)=RsinbsinC

投影AN=Rsinccos(90°-B)=RsincsinB

所以，

sinb/sinB=sinc/sinC

同樣，可得

sinc/sinC=sina/sinA

由此得相等22圖6.11NbcOABCcabaMKR90-a投影軸投影AK=Rsinbcos(90°-C)=RsinbsinC投影AN=Rsinccos(90°-B)=RsincsinB正弦公式236.1.6角的余弦公式極線三角形邊的余弦公式是cosa′=cosb′cosc′+sinb′sinc′cosA′把極線三角形中的元素代以原三角形中對應(yīng)的元素（如a′=180°-

A

），得cos（180°-

A）=cos（180°-B）cos（180°-C）＋sin（180°-B）sin（180°-

C）cos（180°-a）兩邊乘以-1，得

cosA

=-cos

BcosC

+sinB

sinC

cosa(6.3a)同樣，

cos

B

=-cosAcosC

+sinAsinC

cosb(6.3b)

cos

C

=-cosAcosB

+sinAsinBcosc(6.3c)246.1.7邊的正弦與其相鄰角余弦乘積公式

（五個元素形式）

取NM線為投影軸（見圖6.12），根據(jù)投影原理得：投影NM=投影NO+投影OK+投影KM。各個投影值為投影NM=Rsinccos

B投影NO=0投影OK=R

cosbsina

投影KM=R

sinbcosC

cos

（180-a）

=

-R

sinbcosC

cos

a將各個投影值代入，并消去R后得

sinccos

B=cosbsina

-sinbcos

acosC25

a投影軸圖6.12投影NM=Rsinccos

B投影NO=0投影OK=R

cosbsina

投影KM=R

sinbcosC

cos

（180-a）

=-R

sinbcosC

cosasinccos

B=cosbsina

-sinbcos

acosC26

（各個）邊的正弦與其相鄰角余弦乘積公式如下：

sina

cosB

=cos

bsinc-sinbcos

c

cosA

(6.4a)sina

cosC=cos

csinb–sinccos

bcosA

(6.4b)sinbcosC

=cos

csina–sinccos

a

cosB

(6.4c)sinb

cosA=cos

asinc–sina

cos

c

cosB

(6.4d)sinc

cosA=cos

asinb–sina

cos

bcosC

(6.4e)sinccosB=cos

bsina–sinb

cos

a

cosC

(6.4f)

276.1.8角的正弦和鄰邊余弦的乘積公式把前面球面三角形五個元素的公式應(yīng)用到它們的極線三角形，例如，

sina′cosB′=cosb′sinc′-sinb′cosc′cosA′

因?yàn)閍′=180°-A，b′=180°-B…等，代入上式并乘以-1得：sinAcosb=cosBsinC＋

sinBcosC

cosa(6.5a)

同樣，有sinAcosc=cosCsinB＋

sinCcosBcosa(6.5b)

sinBcosc=cosCsinA＋

sinCcosAcosb(6.5c)sinBcosa=cosAsinC＋sinAcosCcosb(6.5d)sinCcosa=cosAsinB＋sinAcosBcosc(6.5e)sinCcosb=cosBsinA＋sinBcosAcosc(6.5f)286.1.9余切公式（四個元素形式）從五元素公式中的任一個公式可以推導(dǎo)出余切公式，例如：

sina

cos

B=cos

bsinc-sinbcos

c

cos

A用sinb除等式兩邊，得：

(sina/sinb)cos

B=ctg

bsinc-cos

c

cos

A根據(jù)正弦定理公式有：

sina/sinb=sinA/sinB則上式可寫成

ctg

BsinA=ctg

bsinc-cos

c

cos

A(6.6a)

同樣，有：

ctg

AsinC=ctg

asinb-cos

b

cos

C(6.6b)

ctg

AsinB

=ctg

asinc-cos

c

cosB(6.6c)

ctg

BsinC=ctg

bsina-cos

a

cos

C(6.6d)

ctg

CsinB=ctg

csina-cos

a

cos

B(6.6e)

ctg

CsinA=ctg

csinb-cos

b

cos

A(6.6f)無a對應(yīng)29再把(余切公式)角變成邊：例如：ctg

AsinB

=ctg

asinc-cos

c

cosB(6.6c)

因?yàn)锳=180°-a′

，B=180°-b′…等，代入上式，并乘以-1得另一形式（邊和角對換）：

(將前后次序作適當(dāng)調(diào)整)

ctg

asinb=cos

bcos

C＋sinC

ctg

A

(6.7a)

ctg

asinc=cos

c

cos

B＋sinB

ctg

A(6.7b)

ctg

bsinc=cos

c

cos

A＋sinA

ctg

B(6.7c)

ctg

bsina=cos

a

cos

C＋sinC

ctg

B(6.7d)

ctg

csina=cos

a

cos

B＋sinB

ctg

C(6.7e)

ctg

csinb=cos

b

cos

A＋sinA

ctg

C(6.7f)306.1.10球面直角三角形

設(shè)球面直角三角形ABC中A為直角（見圖6.13），則在解球面直角三角形時，只要有兩個已知元素就夠了，因?yàn)橹苯鞘且阎摹BCabｃ圖6.13求解時，有以下六種情況：①已知b和c求a、B、C；②已知a和b或c，求B、C和c或b；③已知B和C，求a、b、c；④已知a和B或C，求b、c和C

或B；⑤已知b和C，求a、c和B；⑥已知b和B，求a、c和C。31從前面導(dǎo)出的所有公式中，有sinA=1,cos

A=0。則得：①cos

a

=cos

b

cos

c+sinbsinc

cos

A=

cos

b

cos

c

;②cos

B

=-cos

A

cos

C+sinAsinC

cos

b

=sinC

cos

b

;③cos

C

=-cos

A

cos

B+sinAsinB

cos

c=sinB

cos

c;

cos

A

=-cos

B

cosC+sinBsinC

cos

a=0，則④cos

a

=ctg

B

ctg

C;sinc/sinC=sina/sinA,

則⑤sinc=sinasinC

;sinb/sinB=sina/sinA,則⑥sinb=sina

sinB;ctg

asinb=cos

bcos

C＋sinC

ctg

A,則⑦cos

C=ctg

a

tg

b;ctg

asinc=cos

c

cos

B＋sinB

ctg

A,

則⑧cos

B=ctg

a

tg

c

;ctg

bsinc=cos

c

cos

A＋sinA

ctg

B,則⑨sinc=tg

b

ctg

B;ctg

csinb=cos

b

cos

A＋sinA

ctg

C,

則⑩sinb=tg

c

ctg

C.32

整理得常用球面直角三角形公式：（A為直角）

①cos

a

=cos

b

cos

c(6.8a）

②cos

B

=sinC

cos

b(6.8b)③cos

C

=sinB

cos

c

(6.8c)④cos

a

=ctg

B

ctg

C(6.8d)⑤sinc=sinasinC(6.8e)⑥sinb=sina

sinB

(6.8f)⑦cos

C=ctg

a

tg

b

(6.8g)⑧cos

B=ctg

a

tg

c(6.8h)⑨sinc=tg

b

ctg

B(6.8i)⑩sinb=tg

c

ctg

C(6.8j)sinc=tgb

ctgB

(6.8i)336.2定向天線波束覆蓋計算6.2.1球面投影近似計算方法在地球靜止軌道航天器上，常常應(yīng)用定向賦形波束天線，使其波束覆蓋到地球上一定的范圍內(nèi)。這種天線波束一般有區(qū)域波束（如覆蓋東南亞地區(qū)、歐洲地區(qū)、中東地區(qū)等）、國內(nèi)波束（如覆蓋中國或加拿大或美國等）覆球波束（波束寬度約為17.4°）和點(diǎn)波束（如覆蓋上?；蚝Ｓ颍?。由于定向天線波束邊緣不可能做到很陡，因此我們對賦形波束計算可用近似計算方法。34區(qū)域波束點(diǎn)波束覆球波束地球o17.4°見第10章35

下面介紹一種靜止軌道航天器的賦形天線波束覆蓋的近似計算方法。該方法是將在地球上所要覆蓋的區(qū)域(如以中國國土為例)上較凸出的邊界點(diǎn)各自與靜止軌道上的航天器連接起來，則這些連線所形成的錐狀體就是所要求得的國土覆蓋波束。這些連線各自穿過以航天器為中心的球面（稱S球面），而在S球面上得到各自穿點(diǎn)。再把穿過S球面上的各個相鄰點(diǎn)一一連接起來，就形成所需的覆蓋國土在S球面上的投影，參見圖6.14。其中，航天器S與地心O的連線在地球上的交點(diǎn)為星下點(diǎn)S〞，在S球面上的投影為S′。利用球面三角關(guān)系式，可以求得波束尺寸。36圖6.14地球地球上任何一點(diǎn)都可做出本圖的幾何關(guān)系（任何一點(diǎn)Pi

與S

O

連線形成的平面與地球和S

球相交都可得出此幾何關(guān)系圖）;注意各個Pi

和Pi

′在同一平面,而不同下標(biāo)的點(diǎn)是在不同的平面內(nèi)。SriOβi航天器S〞Pi

Pi′航天器在地面投影點(diǎn)國土邊界點(diǎn)邊界點(diǎn)在S球上投影S′tg

ri

=Rsinβi

/[(R+h)-Rcos

βi

]37由于航天器離地球表面的距離比地球半徑要大近六倍，因此，國土邊界較凸出點(diǎn)與航天器的連線相對于航天器與地心連線之間的夾角r很小。這樣可把國土邊界點(diǎn)在S球面上的投影圖近似看成平面圖。而波束射線是從S球心射出的，所以波束各個射線皆垂直于S球面。把國土邊界相鄰點(diǎn)相連起來，就是國土邊界投影圖。若設(shè)計的天線波束正好能包絡(luò)國土邊界圖，則這個波束就是所求國內(nèi)覆蓋波束，即是所要求的天線波束方向圖。具體計算步驟如下：①在地圖上找出n個凸出和凹進(jìn)的國土邊界點(diǎn)Pi為38

P1、P2、

P3

、

…Pn

，記下它們的地理經(jīng)度λi為λ1、λ2

、λ3、…λn和相應(yīng)緯度φi為φ1、φ2、φ3、…φn。②根據(jù)定點(diǎn)位置，確定衛(wèi)星星下點(diǎn)（在赤道上的投影）S″及其地理經(jīng)度λs

（定點(diǎn)位置不同國土在S球面上的投影圖是不同的）。③計算各個國土邊界點(diǎn)Pi

相對星下點(diǎn)的投影S″的地心張角βi和相對星下點(diǎn)的投影S″的方位角δi見圖6.15。

39圖6.15HR90°-δi

赤道S〞δi

40

圖6.15中，φi、λi、βi和δi

i之間的關(guān)系（參見圖6-16），由球面直角三角形的關(guān)系式可得，

βi

=arccos[cos(λ

i-λs)cos

φi](6.9a)

δi=arccos(sinφi/sinβi)(6.9b)

④根據(jù)Pi

點(diǎn)的地心張角βi，找出Pi點(diǎn)在S球面上的張角ri

，見圖6.14。

由圖6.14可知，

tg

ri

=Rsinβi

/[(R+H)-Rcos

βi

]∴ri

=arctg{Rsinβi

/[(R+H)-Rcos

βi

]}

其中：R為地球半徑，取R=6378km,H為靜止軌道高度，取H=35786kmφiλi-λsβi90°-δ

i√√PiS”①cos

a

=cos

b

cos

c(6.8a）

⑤sinc=sinasinC(6.8e)ABCabｃ圖6-16(6.10)41

⑤將各點(diǎn)Pi投影到S球面上，見圖6.17。在圖6.17中，只示出Pi點(diǎn)一點(diǎn)。如前所述，Pi′為Pi在S球面上的投影，即SP１在S球面上的交（穿）點(diǎn)。

βi為弧PiS〞對地心的張角；

ri為弧Pi′S′對S球心的張角。

βi和ri的關(guān)系由前式確定。

SPio面與SoAA′（A為地球北極）面的夾角,也是Pi點(diǎn)對星下點(diǎn)的S〞方位角δi,同時也是Pi′點(diǎn)對S球面上S′的方位角δi′,即

δi=δi′,δ

i由式(6.9b)確定：

δi=arccos(sinφi

/sinβi

)42oSPiλiφiS′δiλi′φi′Pi′riβi地球北極AA′λSS"圖6.17邊界點(diǎn)Pi在地球和S球上投影幾何關(guān)系43

⑥求出各Pi′在S球面上的經(jīng)緯度（仿照地理經(jīng)緯度）。由球面三角關(guān)系式可得（參見下圖）

緯度φi

′=arcsin(sinri

cosδi)(6.11a)

經(jīng)度λi′=arctg(tg

ri

sinδi)(6.11b)注意，λi′根據(jù)Pi′相對星下點(diǎn)的位置取正負(fù)號，即λi大于λs取正號，λi小于λs取負(fù)號。

⑦將各個相鄰點(diǎn)Pi′連接起來，即得到所求覆蓋天線波束方向圖。6.2.2算例下面以中國大陸地圖為例，計算國土邊界在大球上的投影。已知數(shù)據(jù)見表6.1。計算結(jié)果見圖6.17。riφi′λi′90°-δi

√√⑤sinc=sinasinC(6.8e)⑦cos

C=ctg

a

tg

b

(6.8g)圖6-18ABCabｃPi′44P序號λφ112453.4213247.7313548.64130.742.35122.637.461223071182481222591212210110211111020.312109.618.21310523P序號λφ14101.821.1159828169824179226.81886281979312073.639218849.22296432310541.62412046.525116482612052.5作業(yè)已知:航天器定點(diǎn)在地球靜止軌道東經(jīng)105°赤道上空,左表為我國國土26個邊界凹凸點(diǎn)。計算:這26個點(diǎn)在航天器假想大球上所對應(yīng)的λ′和φ′表6.145示例圖6.17a波束中心緯度φ′≈5.7°,地球地理緯度φ=35.32°46圖6.13非大球投影圖（展開地圖）圖6.17bS球波束與地球國土邊界比較中心仰角5.7°476.2.3天線波束成形

測控天線一般用全向天線，其波束寬度在

70°~180°（有的在航天器上下兩端各置一個180°的天線，形成360°全方位的電波）。數(shù)據(jù)傳輸天線一般在70°左右，以獲得較高的增益（這是因?yàn)樗谲壍郎献藨B(tài)處于正常狀態(tài)下才使用）。對靜止軌道衛(wèi)星而言，即使覆蓋全球（衛(wèi)星可視范圍），波束寬度也就為17.4°。此類天線波束，根據(jù)覆蓋區(qū)大小可分為全球、區(qū)域（包括國內(nèi)）和點(diǎn)波束。一般點(diǎn)波束為圓形。見圖6.18a。為使波束賦形，一般有三種辦法。48圖6.18a區(qū)域波束點(diǎn)波束覆球波束地球o17.4°49①改變天線反射器形狀來實(shí)現(xiàn)，見圖6.18b；以中國為例，計算出國土邊界投影圖后，用做圖法，找出用一個橢圓覆蓋的橢圓大小。其近似大小為4°×7°（若波束邊緣做得較陡，可以選擇5°×8°），見圖6.19。②利用多個饋源喇叭從不同方向經(jīng)反射器產(chǎn)生多波束的組合來實(shí)現(xiàn)，見圖5.18b；③還有一種是采用有源可控（相位和功率）多波束來實(shí)現(xiàn)，這種天線波束相互之間是空間隔離的，可實(shí)現(xiàn)頻率復(fù)用，見圖6.20。50拋物面反射器拋物面反射器饋源喇叭饋源喇叭批波束成形網(wǎng)絡(luò)3dB3dB3dB3dB波束邊緣3dB波束邊緣圖6.18b51圖6.1952圖6.2053

6.3地面站跟蹤弧段計算

6.3.1視場角與地心角的關(guān)系航天器與航天器上可看到地球邊（與地球相切）線的連線與航天器至地心的連線之間的夾角為航天器覆蓋地球的最大視場角ρ。其相對應(yīng)的地球球心的夾角為地心角λ0。見圖6.21。假設(shè)地球是圓球（這對我們計算的精度影響不大），因此，航天器至地平的連線垂直于（在切點(diǎn)處的）地球半徑。這樣，可得以下方程其中

ρ+λ0

=90°航天器到地球相切點(diǎn)的距離Dmax

為D2max=(RE+h)2-RE2=(REtan

λ0)2(6.12)54圖6.21aρλ0地心航天器地平星下點(diǎn)REhDmaxρ+λ0

=90°D2max=(RE+h)2-RE2=(REtan

λ0)255圖6.21b566.3.2航天器覆蓋區(qū)(球冠)面積圖6.4航天器最大視場角ρ對地球覆蓋的面積為球冠面積，見圖6.4

。圖中R為地球的半徑，d為覆蓋區(qū)邊緣與地心的連線與星下點(diǎn)與地心的連線之間夾角，稱地心角。全球面積由下式積分得：則球冠面積為：Rθ球冠球ddθρ－cos

θ576.3.3地面站對星下點(diǎn)的方位角AZ

地面站對星下點(diǎn)的方位角AZ（如圖6.22所示），可用球面三角形邊的余弦公式求得。地面站是固定的，它的地理的緯度δT和經(jīng)度LT是已知的，設(shè)星下點(diǎn)的緯度為δS、經(jīng)度為LS。規(guī)定ΔL=︱LS-

LT︳，即都為正值，則星下點(diǎn)的方位角AZ（角度按照從正北往東順時針計算）以及星下點(diǎn)到地面站的角距λ之間有如下關(guān)系（見圖6.22

）：

cos

λ=sinδSsin

δT+cos

δScos

δTcos

ΔL(λ﹤180°)58圖6.22注意，地球的緯度是從地球赤道開始度量的，所以圖中的球面三角形的δT′和δS′是分別與δT和δS互補(bǔ)的。星下點(diǎn)δSδTλ地面站AZΔL赤道地球北極δT′δS′LSLTcos

λ=sinδSsin

δT+cos

δScos

δTcos

ΔLsinδT=cos

λsinδS+sinλcos

δScos

AZcos

AZ=(sinδT-cos

λsinδS)/(sinλcos

δS)59

由

上式求出λ后，仍根據(jù)余弦定理按下式

sinδT=cos

λsinδS

+sinλcos

δScos

AZ求得方位角AZ：

cos

AZ=(sinδT-cos

λsinδS

)/(sinλcos

δS)

（上兩式都是按邊的余弦定理寫出）式中，AZ﹤180°時,表示地面站在星下點(diǎn)的東面；AZ﹥180°時,表示地面站在星下點(diǎn)的西面。注意：圖中球面三角形為任意球面三角形；圖中地面站的地理的緯度δT+δT′=90°；圖中星下點(diǎn)的地理的緯度δS+δS′=90°。606.3.4地面站對航天器觀測的仰角ε

在航天器及其星下點(diǎn)和地面站三點(diǎn)所決定的平面（也通過地心）內(nèi)有如圖6.23所示的幾何關(guān)系。該圖與定向天線波束計算用的圖6.14類似，所不同的是該圖的星下點(diǎn)不是通過赤道的。為了計算方便，引入前面所介紹的航天器的最大視場角ρ的公式(6.12)

。由圖6.23可得：(6.13)(6.14)η+λ+ε=90°(6.15)123461圖6.23hλ星下點(diǎn)εηDRE航天器地心地面站理論地平D=h（λ=0(過頂時））加輔助線—紅實(shí)線=REsin

λ1η+λ+ε=90°262λ星下點(diǎn)εηDRE航天器地心地面站理論地平h紅線黃線363Lελ星下點(diǎn)εηDRE航天器地心地面站理論地平h虛紅三角形大三角形4646.3.5地面站跟蹤弧段為了簡化公式，我們假設(shè)一，軌道是圓軌道，即航天器做勻速運(yùn)動；假設(shè)二，軌道高度是很低的，這樣，航天器過頂?shù)臅r間就很短，我們就可忽略在這段相對短的時間內(nèi)地球自轉(zhuǎn)所運(yùn)動的弧段。圖6.24表示出航天器的地面軌跡與地面站跟蹤范圍的幾何關(guān)系。一般，跟蹤通信天線相對于地平面的最小仰角要求是5°以上，低于5°就不能通信。圖中，以地面站為中心的虛線圓表示最小仰角εmin=0°的范圍；實(shí)線圓表示最小仰角εmin=5°的范圍。圖6.24中表示的實(shí)線圓和虛線圓都是在航天器軌道大圓球上的投影。兩圓與地面站（點(diǎn)）形成兩個同心錐，錐的母線長度（即地面站到航天器的距離D

）按式(6.15)計算。65圖6.24地面站

λmax

λmin赤道航天器軌跡理論地平地面站大于仰角εmin時可視范圍ΔΦ/2可測軌道弧長SSλmax

=90°-εmin-ηmax

(6.17)(6.14)η+λ+ε=90°66地面站航天器航天器ΔΦε地面站最小仰角地平線波束寬度θ67軌道面在地面站上空時D=h（λ=0(過頂時））TεminSλ0λmaxDmax軌道球地球地心ηmaxρλmaxη+λ+ε=90°λmax

=90°-εmin-ηmax

(6.17)68

在給定εmin值后，就可以用前一節(jié)的公式(6.14)、(6.15）等計算確定最大地心角λmax、在考慮最小仰角εmin時的航天器最大視場角ηmax、以及航天器到地面站相應(yīng)的最大距離Dmax

。即

sinηmax=sinρcosεmin

(6.16)

λmax

=90°-εmin-ηmax

(6.17)

Dmax=RE(sin

λmax)/(sinηmax)

(6.18)

任何一圈可觀測時間T的長短和最大仰角εmax

取決于航天器的地面軌跡與地面站靠近程度。69圖6.25a航天器通過地面站正上方時示意圖TZδPδTiPOXYLΩLTLP軌道赤道AiuSin(LT-LΩ)=tanδT/tanisinu=sinδT/sini軌道過頂時的時刻，（弧長u）sinc

=sina

sinC

(6.8e)sinb=tgc

ctgC

(6.8j)ABCabｃ過頂應(yīng)滿足:70設(shè)軌道為圓軌道，軌道升交點(diǎn)經(jīng)度為LΩ，傾角為i，見圖6.25。P為軌道的極，則

δP=90°-iLP=LΩ-90°圖6.25ZλminδPδTiTPOXYLΩLTLP軌道赤道AA是赤道的極，P是軌道的極，所以，LΩ是大圓AP的極。因此，LP=LΩ-90°。軌道不過頂時的λminsinλmin=sinδPsinδT+cosδPcosδTcos(LT-LP)71圖6.25地面站

λmax

λmin赤道航天器軌跡理論地平地面站大于仰角εmin時可視范圍ΔΦ/2可測軌道弧長SS

cos

C=ctg

a

tg

b

(6.8g)ABCabｃcos

a

=cos

b

cos

c(6.8a）72跟蹤弧長S計算由圖6.25可知，利用球面直角三角形的關(guān)系式，不難得出地面站跟蹤航天器進(jìn)出地面站的總方位角ΔΦ和總的跟蹤弧長(弧度)S計算公式：(6.21)(6.22)(6.23)跟蹤時間T計算同樣，利用球面直角三角形的關(guān)系式，可以得出跟蹤總時間T的計算公式：式中，arccos以角度計算，軌道周期用分計算。①cos

a

=cos

b

cos

c(6.8a）⑦cos

C=ctg

a

tg

b

(6.8g)73Dmin按式(6.13)和(6.15)計算。顯然，角速率是隨航天器離地面站的距離而變化的，離地面站的距離越近，角速率就越大。式中，Ｖｓ為航天器的軌道速度，Ｐ為軌道周期。求最大角速率計算

當(dāng)航天器任意圈的軌跡最接近地面站時，地面站將觀測到航天器的最大跟蹤角速率為:λ=0(過頂)～λmax(εmin),任意時=λminD=h（λ=0(過頂時））(6.13)(6.15)74

6.4太陽角計算

6.4.1陽光與軌道面的夾角

陽光與軌道面的夾角β,見圖6.26。該角是計算衛(wèi)星在軌光照區(qū)和陰影區(qū)的時間以及太陽電池帆板受陽光照射角的參數(shù)。因?yàn)?β與γ角是互補(bǔ)的,所以也可求γ。γ可按后面球面三角余弦關(guān)系式求出。軌道法線的球面坐標(biāo)：赤緯=90－i，赤經(jīng)=Ω－90°

太陽指向β軌道面γ軌道法線圖6.2675iδsiγεus衛(wèi)星軌道黃道赤道春分點(diǎn)軌道法線太陽光線Ωαs圖6.27cos[900-（Ω-αS）]=cos[αS+（900-Ω）]76

如圖所示，β角是陽光和軌道面的夾角，它和太陽的赤經(jīng)αs

、赤緯δs

以及航天器軌道面在空間的位置關(guān)系如下：

(6.24)

若將太陽相對地球的視運(yùn)動的軌道近視為圓形，則由球面三角關(guān)系得：cos[αS+（900-Ω）](6.25)cos[900-（Ω-αS）]=⑤sinc=sinasinC(6.8e)εδsusαs77

式中：ε是黃道和赤道的夾角ε≈23.5°;

us是太陽在黃道上距升交點(diǎn)的角距。這可以根據(jù)離春分的時間計算出。式中N為太陽離春分的天數(shù)。

us=（360°/365.2422=0.9856°/天）×N（°）εδsusαstg

αs=cos

εtg

ussinαs=tgδsctg

ε

再用下式計算太陽的赤經(jīng)αs

：cosC=ctgatgb(6-8g)Ccabsinb=tgcctgC(6-8j)78

6.4.2太陽高度角

太陽高度角是指太陽相對地平面仰角見圖6.29。太陽高度角是可見光遙感的一個重要的參數(shù)。在同一時間（同一地理經(jīng)度）不同緯度地區(qū)的太陽高度角是不同的(因?yàn)榈厍蚴乔蛐?。若用θh表示太陽高度角（請推導(dǎo)公式）

,則(6.26)(6.27)

αs和δs是太陽的赤經(jīng)和赤緯，φ為當(dāng)?shù)氐乩砭暥?，Δα為航天器飛躍該緯度所對應(yīng)的赤經(jīng)與升交點(diǎn)Ω之差。79θh太陽指向圖6.29806.5地影時間計算

6.5.1最大地影時間為簡化計算，下面只考慮圓軌道計算方法。當(dāng)陽光和軌道面平行時，即β=0

時,航天器就會遇到最大地影。由圖6.30所示可知，航天器在軌道上處于地影區(qū)的弧度為2umax（角度）。最大地影時間為:其中T為軌道周期。81圖6.30umax

（陰影半弧度）軌道地球太陽光hREumaxABβ=0826.5.2一般情況地影時間一般情況(在陽光和軌道面不平行時,即β≠0

時)的地影時間如圖6.31所示。圖6.31上的橢圓表示軌道，AB和AC都是大圓弧。AB弧所對應(yīng)的地心角umax

，是太陽光與軌道面平行時軌道地影所占的的地心角，即是最大地影的一半（見圖6.30

）。AC弧對應(yīng)的地心角為β角，即陽光與軌道面的夾角。在此情況下，BC弧u是此時地影弧長的一半。ABC構(gòu)成一個球面三角形。83圖6.31太陽光垂直該平面，從后方照向前方。當(dāng)陽光與軌道平面夾角β達(dá)到umax時（此時航天器軌道與地球陰影相切，見圖6.31虛線），則航天器就沒有陰影，即處于全日照。BumaxA地影軸βCu軌道球面地球陰影①cos

a

=cos

b

cos

c(6.8a）ABCabc84

最后可求得在陽光與軌道平面夾角為β角時的一般情況下，地影弧長占軌道周長的比例

為(6.30)(6.28)(6.29)①cos

a

=cos

b

cos

c(6.8a）RE+hREumax乘軌道周期T得地影時間。求u856.5.3靜止軌道地影(1）最大地影下面，以靜止軌道為例，分析航天器每一年所遇到的地影情況。下圖是靜止軌道最大地影時的示意圖。REh軌道法線陽光入影出影umax

掩星角最大地影剖面（陽光平行軌道面）圖6.32二分點(diǎn)86本圖示意說明一年四季太陽光與赤道面夾角變化情況。春分冬至夏至秋分太陽靜止軌道87

由于靜止軌道傾角i等于零，所以，太陽光與赤道面夾角β=δs

。太陽每天運(yùn)行360°/365.2422=0.9856度/天。即us=N·0.9856（度）。N為天數(shù)，從春（秋）分算起，春（秋）分（點(diǎn)）為0天，所以，春（秋）分點(diǎn)的us=δs

=β=0。靜止軌道航天器最大地影半弧度和最大地影時間按式(6.28)和(6.29)計算太陽光與靜止軌道面的夾角按式(6.24)計算（見圖6.27

）：tg

αs=cos

εtg

ussinαs=tgδsctg

ε88太陽光與赤道面夾角計算示意圖。春分點(diǎn)εαs

δsusO北天極靜止軌道法線靜止軌道太陽中心同地球中心連線=βδs=-β89由上式可知，當(dāng)太陽與軌道面夾角β=umax

，u=0；即，當(dāng)δs=β=-umax時，開始有地影，當(dāng)δs=β=umax時，地影結(jié)束。有地影的日期可按(6.25)式計算：即us=N·0.9856（度），N為天數(shù)。所以N=us/0.9856=22.5/·0.9856=22.83天，即春（秋）分前后各有23天，一年共有4×23=92天。每天地影時間見表6.2。(2）一般地影

一般地影弧度按式(6.28)計算：umaxβu=umax(6.25)90N(天)US(度)ΔT(分)N(天)US(度)ΔT(分)3.21/9.23069.41312.813256.010.985669.41413.798853.621.971269.01514.784452.032.956868.81615.770048.243.942568.51716.755745.654.928168.01817.741342.465.913767.21918.726937.676.899466.12019.712632.487.885064.82120.698224.898.870663.22221.683817.6109.856361.92322.669501110.841960.02423.655101211.827558.42524.64070表6.291本影半徑—ru=R-0.00461(R+h);半影半徑—rp=R+0.00461(R+h)。放大半影本影太陽靜止軌道地球3）關(guān)于地球本影和半影關(guān)于地球本影和半影見圖6.35?？紤]半影計算結(jié)果見圖6.36和圖6.37。92太陽光垂直紙面-δs=umax

δs=ε90°－ε春秋分-23天+23天i天進(jìn)影i天出影球心角（?。┣蛐慕牵ɑ。┘挫o止軌道最大β角全日照時期有地影時期不存在-umax=8.7°930,2,4,6,8,10,12,14,18,20,22,24天010203040506070分71.3′69.4′春秋分本影半影94

6.6發(fā)射窗口分析

航天器的發(fā)射窗口是指可以發(fā)射航天器的日期、時刻或時間范圍。一般要根據(jù)航天器的總?cè)蝿?wù)及星、地系統(tǒng)的工作條件，結(jié)合航天器、太陽（或月球）運(yùn)行規(guī)律，考慮發(fā)射場位置，入軌時的參數(shù)來確定允許發(fā)射航天器的時間（我國一般用北京時間）。

6.6.1限制航天器發(fā)射時刻的條件

·太陽照射地面目標(biāo)的光照條件；

·衛(wèi)星太陽電池正常供電對太陽光照射星體方向的要求；

·衛(wèi)星姿態(tài)測量精度對地球、衛(wèi)星太陽幾何關(guān)系的要求；

·衛(wèi)星熱控制對太陽光照射衛(wèi)星方向的要求；95

·衛(wèi)星某些特殊部件對太陽光、月球反射光、地球反射光照射方向的要求；

·衛(wèi)星處于地球陰影內(nèi)時間長短的要求；

·衛(wèi)星進(jìn)出地影時所處軌道位置的要求；

·衛(wèi)星姿態(tài)機(jī)動對太陽、衛(wèi)星、地球之間幾何關(guān)系的要求；

·為滿足地面測控站對衛(wèi)星測控條件的要求；

·回收時間要求

·載人航天器在軌交會對接時，有共面要求等。

以上各項(xiàng)要分別分析計算，大部分要用到本章的知識來計算太陽光與航天器某軸的夾角和地球陰影時間。96

6.6.2坐標(biāo)系和時間系統(tǒng)

6.6.2.1坐標(biāo)系古代天文學(xué)者在研究天體位置及運(yùn)動時，是無法直接觀測到天體的距離的，他們只能觀測到天體的方向。為了描述天體的位置和方向，古代天文學(xué)者設(shè)想了一個“天球”的概念。他們把所有的天體都描繪在一個半徑為一個單位長度的球面上。天球的球心可以根據(jù)需要來選取，一般是選取地心，也可以選取日心，還可以選取任意的觀測點(diǎn)。這里，介紹航天器軌道兩個常用坐標(biāo)系。一個是地心慣性坐標(biāo)系，一個是地心固連坐標(biāo)系。關(guān)于其它坐標(biāo)系到有關(guān)章節(jié)再做介紹。97(1)地心慣性坐標(biāo)系地心慣性坐標(biāo)系，有時也稱赤道慣性坐標(biāo)系或天球(取半徑為一個單位長度)赤道坐標(biāo)系。見圖6.32，原點(diǎn)O為地球的質(zhì)心，平面Oxiyi與地球的赤道平面重合，zi軸為地球自旋軸并指向北極，xi軸指向春分點(diǎn)（春分點(diǎn)的指向在白羊星座附近，它是太陽在每年春分時刻位于赤道上的方向，即赤道面與黃道面交線在天球上的交點(diǎn)），yi軸根據(jù)右手法則確定。航天器在該坐標(biāo)系中的位置可用直角坐標(biāo)x、y、z，即航天器的地心距r在三個直角坐標(biāo)上的投影；也可用球面坐標(biāo)，分別用地心距r、赤經(jīng)α和赤緯δ表示。98圖6.32δ赤道zi北極xi春分點(diǎn)yi子午線r黃道Oαε99(2)地心固連坐標(biāo)系

地球相對地心慣性坐標(biāo)系是旋轉(zhuǎn)的，每天旋轉(zhuǎn)一圈。如果把上述坐標(biāo)系與地球固連，并使X軸固定地指向格林尼治子午線的方向，我們用XG來表示，則地心固連坐標(biāo)系為O0XGYGZG，見圖6.33

。它與地心慣性坐標(biāo)系的差別是X軸始終指向格林尼治子午線的方向。我們用αG表示XG與xi之間的夾角，此時，αG稱為格林尼治恒星時角。航天器在地心固連球面坐標(biāo)系中的位置用地心距r、地理經(jīng)度λ、地理緯度φ表示。

XG在地心慣性坐標(biāo)系中,以地球自轉(zhuǎn)速度（15°/小時）旋轉(zhuǎn)。以上兩個坐標(biāo)系主要用于航天器的軌道運(yùn)動。100圖6.33ZGYGXGO格林尼治子午線λφ赤道北極春分點(diǎn)αGXirZiYi101

6.6.2.2時間系統(tǒng)研究航天器的軌道運(yùn)動不僅要分析航天器的運(yùn)動在空間位置的規(guī)律，還要了解在什么時刻航天器在什么位置。因此，就需要有一個準(zhǔn)確的時間系統(tǒng)。時間是要用某種穩(wěn)定的重復(fù)現(xiàn)象來度量的。人們自古代就開始利用地球自轉(zhuǎn)這一重復(fù)現(xiàn)象來描述時間，地球自轉(zhuǎn)一圈為一天。要測量地球自轉(zhuǎn)一圈，需要選擇一個固定的空間目標(biāo)，一個地面測量基準(zhǔn)?？臻g目標(biāo)可用恒星（常用春分點(diǎn)）、真太陽、平太陽，地面測量基準(zhǔn)可用格林尼治子午線、某地子午線和人為規(guī)定的區(qū)域?，F(xiàn)行的時間系統(tǒng)基本上分為恒星時、世界時、歷書時、原子時和動力學(xué)時5種。我們只需要了解恒星時和世界時就夠用了。102(1)恒星時由于恒星離地球相當(dāng)遙遠(yuǎn)，所以恒星相對地球（盡管地球繞太陽運(yùn)轉(zhuǎn)）的位置是基本不變的。人們從地球上看，特定的恒星在地心天球上的同一子午線上重復(fù)出現(xiàn)一周的時間間隔定義為一個恒星日?？臻g目標(biāo)一般用春分點(diǎn)（在白羊星座附近），地面測量基準(zhǔn)用格林尼治子午線。從春分點(diǎn)按逆時針方向在赤道上量到格林尼治子午線的角度為格林尼治赤經(jīng)。它在數(shù)值上等于格林尼治恒星時和地球自轉(zhuǎn)角速度的乘積。因?yàn)榇悍贮c(diǎn)方向在慣性空間是一定的，所以，格林尼治恒星時可以用來確定格林尼治的空間方位。而地球上其它地理位置相對格林尼治也是一定的，所以，地球上任意點(diǎn)的空間方位都可確定。103(2)世界時顯然，在日常生活中，無法使用恒星時。以真太陽作為空間目標(biāo)，以它的周日視運(yùn)動所確定的時間為真太陽時。但是，由于地球公轉(zhuǎn)軌道是一橢圓，公轉(zhuǎn)的速度不均勻；而且地球自轉(zhuǎn)軸不是垂直公轉(zhuǎn)平面，這樣，真太陽日的長度就不是一個固定量，因此，它不宜作為計量時間的單位。為此，人們假想一個赤道平太陽，從地球上看它是沿赤道作勻速運(yùn)動，從而得到平太陽日和平太陽時。一個平太陽日要略長于一個恒星日（見圖6.34）。

24小時（平太陽時）=24小時03分56.5554秒（恒星時）

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