態(tài)和力學(xué)量的表象

Chapter.4

態(tài)和力學(xué)量的表象Therepresentationforthestatesanddynamicalvariable

Chapter.4

態(tài)和力學(xué)量的表象Therepresentationforthestatesanddynamicalvariable

引言

按量子力學(xué)基本原理，體系的狀態(tài)用波函數(shù)描述，力學(xué)量用線性厄米算符表示。前面所使用的波函數(shù)及力學(xué)量算符是以坐標這個力學(xué)量算符的本征值為變量寫出它們的具體形式的。那么，是否還可以選擇其它力學(xué)量算符的本征值作為變量而寫出波函數(shù)及力學(xué)量算符的具體形式呢？回答是肯定的。這就是說量子力學(xué)中波函數(shù)和力學(xué)量算符的描述方式不是唯一的，這正如幾何學(xué)中選用坐標系不是唯一的一樣。坐標系有直角坐標系、球坐標系、柱坐標系等，但它們對空間的描寫是完全是等價的。量子力學(xué)中態(tài)和力學(xué)量的具體表示方式稱為表象動量表象能量表象角動量表象常用的表象坐標表象4.1

態(tài)的表象

Therepresentationofthestate

4.2

算符的矩陣表示

Matrixrepresentationofoperators4.3

量子力學(xué)公式的矩陣表示

Matrixrepresentationofformulaforquantummechanism4.4

幺正變換

Unitarytransformation4.5

狄喇克符號

Diracsymbols4.6

線形諧振子與占有數(shù)表象

Linearoscillatorandoccupationnumberrepresentation

研究內(nèi)容重點掌握的內(nèi)容

◆二個表示：

態(tài)在任意表象中的表示；

算符在任意表象中的表示。

◆三個公式：

在任意表象中的表示平均值公式本征值方程薛定諤方程◆狄喇克符號及應(yīng)用◆幺正變換的基本性質(zhì)表象的定義

◆一個定義：

◆產(chǎn)生算符、湮滅算符、粒子數(shù)算符及它們的物理意義矩陣力學(xué)主要數(shù)學(xué)工具矩陣1．態(tài)的動量表象§4.1態(tài)的表象動量算符本征函數(shù)：

組成完備系展開系數(shù)構(gòu)成付里葉變換與逆變換

從數(shù)學(xué)上講，知道其一,必可唯一地求出另一。

從物理角度看，描述粒子狀態(tài)，那么也可用于描述粒子同一狀態(tài)。任一狀態(tài)可按其展開：

稱為坐標表象中的狀態(tài)波函數(shù)，

稱為動量表象中的狀態(tài)波函數(shù)?！?.1態(tài)的表象（續(xù)１）

物理意義？

是在所描寫的狀態(tài)中，測量粒子的位置所得結(jié)果為的幾率。是在所描寫的狀態(tài)中，測量粒子的動量所得結(jié)果為的幾率。兩者從不同的側(cè)面描寫粒子的狀態(tài),給出了粒子的不同信息（力學(xué)量和的信息）。證（歸一化條件）命題若是歸一化波函數(shù)，則也歸一?！?.1態(tài)的表象（續(xù)２）2．Q表象力學(xué)量算符的正交歸一的本征函數(shù)完備系：

任一狀態(tài)可按其展開：展開系數(shù)：

由上述兩式給出了與函數(shù)集之間的相互變換關(guān)系，將寫成矩陣本征方程：§4.1態(tài)的表象（續(xù)３）

給出在態(tài)中測量粒子的力學(xué)量Q取值的幾率

對于與，知道其一就可求得另一，因而與描述粒子同一狀態(tài)。是粒子狀態(tài)波函數(shù)在Q表象中的表示，稱為Q表象波函數(shù)§4.1態(tài)的表象（續(xù)４）歸一化條件（歸一化條件的矩陣表述形式）以上討論可推廣到Q有連續(xù)譜的情況。粒子處于一維無限深勢阱的基態(tài)：求該態(tài)在動量和能量表象中的表示形式。Ex.1.§4.1態(tài)的表象（續(xù)５）注動量本征函數(shù)Solve選擇動量表象:展開系數(shù)：

§4.1態(tài)的表象（續(xù)６）能量表象：本征函數(shù)可見能量算符的本征函數(shù)在能量自身表象中取δ符號形式?！?.1態(tài)的表象（續(xù)７）基態(tài)的表示一般結(jié)論:力學(xué)量算符屬于分立本征值的本征函數(shù)在該力學(xué)量自身表象中為一δ符號,其矩陣為單位元矩陣。

能級態(tài)的表示第n行§4.1態(tài)的表象（續(xù)８）Ex.2:Solve：自由粒子動量算符的本征函數(shù)

求自由粒子動量算符具有確定本征值的本征函數(shù)在動量自身表象中的形式Ch.4

Therepresentationfor

thestatesanddynamicalvariable

動量算符具有確定本征值的本征函數(shù):可見，動量算符具有確定本征動量值的本征函數(shù)在動量自身表象中是以動量為變量的δ函數(shù)?！?.1態(tài)的表象（續(xù)９）動量算符的本征方程一般結(jié)論:

力學(xué)量算符屬于連續(xù)本征值的本征函數(shù)在該力學(xué)量自身表象中為一δ函數(shù)。Ch.4

Therepresentationfor

thestatesanddynamicalvariable在坐標表象中，坐標算符的本征函數(shù)同樣§4.1態(tài)的表象（續(xù)１０）本征值方程:以上討論與三維矢量空間矢量的表示很類似。Hilbert空間與態(tài)矢量在三維矢量空間選一組正交歸一完備基正交歸一條件§4.1態(tài)的表象（續(xù)１１）Hilbert空間：滿足態(tài)迭加原理的狀態(tài)全體構(gòu)成的復(fù)線性空間

態(tài)矢量：

Hilbert空間中的矢量，即體系的狀態(tài)波函數(shù)視為一個矢量稱為態(tài)矢量（簡稱態(tài)矢）

力學(xué)量算符的正交歸一完備函數(shù)系構(gòu)成Hilbert空間中的一組正交歸一完備基底。任一態(tài)矢§4.1態(tài)的表象（續(xù)１２）注意：

由于波函數(shù)必須歸一化，因而態(tài)矢的大小一定，不同的態(tài)矢只是方向不同。表象與幾何空間坐標系的比較§4.1態(tài)的表象（續(xù)１３）量子力學(xué)表象幾何空間坐標系某一表象本征態(tài)矢量某一坐標系的一組基矢

正交歸一正交歸一量子態(tài)矢量：矢量:

§4.1態(tài)的表象（續(xù)１４）１．選定一個特定表象，就相當于在Hilbert空間中選定一個特定的坐標系,力學(xué)量算符的正交歸一完備函數(shù)系構(gòu)成Hilbert空間中的一組正交歸一完備基底。２.任意態(tài)矢量在表象中的表示是一列矩陣，矩陣元是態(tài)矢量在

算符的本征矢上的投影。

3．選取不同力學(xué)量表象，就是選取不同完備正交基底，態(tài)矢的表述具有不同矩陣形式，這就是態(tài)的不同表象波函數(shù)。結(jié)論§4.1態(tài)的表象（續(xù)１４）作業(yè)４．１４．２§4.1態(tài)的表象（續(xù)１5）4.2算符的矩陣表示力學(xué)量算符在坐標表象與動量表象中的表示坐標表象動量表象問題力學(xué)量算符在

表象中如何表示？

在坐標表象中，力學(xué)量F用算符表示，設(shè)作用于得到。（1）即

選定力學(xué)量表象，算符的正交歸一的本征函數(shù)完備系記為將和分別按函數(shù)系展開代入坐標表象表達式（1）以乘該式，對

全部范圍積分4.2算符的矩陣表示（續(xù)１）記為記為矩陣和分別是波函數(shù)和在Q表象中的形式。Q表象的表達方式4.2算符的矩陣表示（續(xù)2）討論1．是厄米矩陣Prove：顯而易見，對角矩陣元為實數(shù)可見，算符

在Q表象中是一個矩陣，其矩陣元為即是厄米矩陣。4.2算符的矩陣表示（續(xù)3）2．力學(xué)量算符在自身表象中的矩陣是一個對角矩陣。3．當具有連續(xù)本征值譜時，力學(xué)量算符的表示矩陣元4.2算符的矩陣表示（續(xù)4）

在Q表象中乃是一個矩陣，不過其行列不再是可數(shù)的，故用連續(xù)變化的下腳標表示。求力學(xué)量算符矩陣的關(guān)鍵是求其矩陣元

Ex：設(shè)一維粒子Hamilton量

1、求x表象中x,p和H的“矩陣元”，

2、求p表象中x,p和H的“矩陣元”。Solve：1、

在表象中，的本征函數(shù)4.2算符的矩陣表示（續(xù)5）2、在象中，算符的本征函數(shù)4.2算符的矩陣表示（續(xù)6）4.2算符的矩陣表示（續(xù)7）1．歸一化條件4.3量子力學(xué)公式的矩陣表示2、平均值公式4.3量子力學(xué)公式的矩陣表示（續(xù)1）其中為算符的矩陣元在表象中：（續(xù)7）4.3量子力學(xué)公式的矩陣表示（續(xù)4.3量子力學(xué)公式的矩陣表示（續(xù)3）3、本征值方程在Q表象中，其矩陣形式為：（1）移項得：

4.3量子力學(xué)公式的矩陣表示（續(xù)4）（m=1，2，3……）（2）此式即為線性齊次方程組：非零解的條件是系數(shù)行列式等于0，即久期方程：4.3量子力學(xué)公式的矩陣表示（續(xù)5）求出本征值將每個值分別代入矩陣方程（1）或（2），求出,即得本征函數(shù)

這樣變解微分方程為解代數(shù)方程。4.3量子力學(xué)公式的矩陣表示（續(xù)6）

Ex.已知在和的共同表象中，算符和的矩陣分別為求它們的本征值和歸一化的本征函數(shù)，最后將矩陣和對角化。

本征方程為Solve:設(shè)的本征值為,本征波函數(shù)為4.3量子力學(xué)公式的矩陣表示（續(xù)7）

要使本征波函數(shù)不為零，亦即要求a,b,c不全為零，其條件是（1）中的系數(shù)矩陣的行列式為零。

（1）久期方程本征值

4.3量子力學(xué)公式的矩陣表示（續(xù)8）當時，

由（2）有4.3量子力學(xué)公式的矩陣表示（續(xù)9）由歸一化條件:4.3量子力學(xué)公式的矩陣表示（續(xù)10）歸一化常數(shù)歸一化的波函數(shù)當時,由（2）有4.3量子力學(xué)公式的矩陣表示（續(xù)11）歸一化條件歸一化的波函數(shù)：當,由（2）有：

4.3量子力學(xué)公式的矩陣表示（續(xù)12）歸一化條件歸一化的波函數(shù)：構(gòu)成一個正交歸一本征函數(shù)完備系的對角矩陣正交歸一化條件：4.3量子力學(xué)公式的矩陣表示（續(xù)13）

類似地,可求出的本征值、歸一化的本征函數(shù)系和對角陣。

本征值

4.3量子力學(xué)公式的矩陣表示（14）本征波函數(shù)：正交歸一化條件：的對角矩陣：4.3量子力學(xué)公式的矩陣表示（續(xù)15）4、薛定格方程在Q表象中，其矩陣形式為：的對角矩陣：4.3量子力學(xué)公式的矩陣表示（續(xù)16）簡寫為：其中4.3量子力學(xué)公式的矩陣表示（續(xù)17）4.4幺正變換為了找到和的聯(lián)系，將按展開：1、幺正變換設(shè)算符的正交歸一本征函數(shù)系為

算符的正交歸一本征函數(shù)系為（1）（2）討論波函數(shù)和力學(xué)量從一個表象變換到另一個表象的一般情況其展開系數(shù)為：（3）（4）由為矩陣元所構(gòu)成的矩陣稱為變換矩陣。通過（1）和（2）就把表象的基矢變換為表象的基矢。由和的正交歸一性有：4.4幺正變換（續(xù)1）同理

4.4幺正變換（續(xù)2）將按展開:4.4幺正變換（續(xù)3）即是幺正矩陣，由幺正矩陣表示的變換稱為幺正變換結(jié)論:一個表象到另一個表象的變換是幺正變換。2．力學(xué)量的表象變換力學(xué)量在表象A中的表示矩陣：在表象B中的表示矩陣：4.4幺正變換（續(xù)4）此為力學(xué)量從表象A變換到表象B的變換公式4.4幺正變換（續(xù)5）3.態(tài)的表象變換

任意態(tài)矢量4.4幺正變換（續(xù)6）在A表象中：在B表象中：?如何變換4.4幺正變換（續(xù)8）兩邊左乘,并對積分寫成矩陣形式:簡寫為從B表象變換到A表象

從A表象變換到B表象

反之，4.4幺正變換（續(xù)9）4.幺正變換的兩個重要性質(zhì)（1）幺正變換不改變算符的本征值

在表象中的矩陣為

,本征矢為算符在表象中的矩陣為

,本征矢為4.4幺正變換（續(xù)10）本征方程本征方程（1）（2）本征值不變比較(1)、(2)式,可知由此定義有:故跡不變，的跡等于的跡

4.4幺正變換（續(xù)12）（2）幺正變換不改變矩陣的跡

矩陣A的對角元素之和稱為矩陣A的跡，以表示，則

態(tài)矢量

─

微觀體系的狀態(tài)用一種矢量來表示，這種矢量稱為態(tài)矢量（一般是復(fù)矢量）態(tài)矢量空間

─由一切可能的態(tài)矢量所構(gòu)成的一種抽象的線性空間，稱為態(tài)矢量空間(希爾伯特空間)。

對偶態(tài)矢量空間

─由共軛態(tài)矢量所構(gòu)成的線性空間稱為對偶態(tài)矢量空間。一、狄喇克符號的引入4.5狄喇克符號刃矢

─

表示態(tài)矢量空間中一個態(tài)矢量,又稱為右矢(ket)刁矢

─

表示對偶態(tài)矢量空間中一個態(tài)矢量,又

稱為左矢（bra）

在

ket、bra中加入符號，可用于表示某具體的態(tài)在Q表象中的表示在Q表象中的表示

表示波函數(shù)所描述的共軛狀態(tài)即

表示波函數(shù)所描述的狀態(tài)力學(xué)量的本征態(tài)，常用本征值或相應(yīng)的量子數(shù)來表示：坐標算符的本征態(tài)（為的本征值）▲動量算符的本征態(tài)（為的本征值）▲

能量算符的本征態(tài)或（為本征值）▲二、標積

定義標積:

和互為共軛復(fù)數(shù)：若，則與正交若，則是歸一化的。

和是兩類不同性質(zhì)的矢量，不能相加，可以相乘

角動量平方算符和分量算符的共同本征態(tài)，和為和本征值?！?/p>

★坐標算符的本征函數(shù)正交歸一化條件：★動量算符的本征函數(shù)正交歸一化條件：

則其正交歸一化條件為

對連續(xù)分布的值譜，正交歸一化條件為：Ex:若力學(xué)量算符的本征矢記為

，

本征值為

★

和的共同本征函數(shù)正交歸一化條件：

4.5狄喇克符號

三、態(tài)矢量在具體表象中的表示分立譜情況：

考慮表象，的正交歸一本征矢為任意態(tài)矢按展開

是在基矢上的分量，構(gòu)成在Q表象中的表示。由

基矢的封閉性關(guān)系

由于態(tài)矢是任意的，由上式給出。連續(xù)譜情況：基矢用表示利用可得(1)封閉性關(guān)系：

有分立譜又有連續(xù)譜的情況，封閉性關(guān)系：

Ex.坐標本征函數(shù)的封閉性Ex.動量本征函數(shù)的封閉性標積關(guān)系分立譜情況：例如坐標表象連續(xù)譜情況令

四、公式的表示1．平均值在Q表象中，用的本征刁矢左乘2．本征值方程：(F為本征值)利用基矢的封閉性：

上式可寫成

其中：

3．薛定格方程在Q表象中，以左乘利用封閉性可得記X

表象描述與Dirac

符號Dirac

符號

項目X表象哈密頓算符： （1）1．算符、的引入

令

（3）本征能量：

（2）4.6線形諧振子與占有數(shù)表象則或令

（4）（注意）不是厄米算符記

2．、的對易關(guān)系Prove:3．、的物理意義在坐標表象中，線性諧振子哈密頓算符的本征函數(shù)或利用因

如果不用具體表象，用Dirac符號表示態(tài)矢，以上兩結(jié)果可寫為故（6）（8）（7）

、和都是諧振子哈密頓算符的本征刃、分別對應(yīng)于本征值這個能量單位可視為一個粒子。是

個能量為的粒子的總能量加上零點能。

由可知能量