《正弦定理》設(shè)計曾宇燕

《正弦定理》教學(xué)設(shè)計福州金山中學(xué)曾宇燕教材分析正弦定理是高中新教材人教A版必修⑤第一章的內(nèi)容,是使學(xué)生在已有知識的基礎(chǔ)上，通過對三角形邊角關(guān)系的研究，發(fā)現(xiàn)并掌握三角形中的邊與角之間的數(shù)量關(guān)系。通過創(chuàng)設(shè)問題情景，從而引導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生探索愿望，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，并指出解決問題的關(guān)鍵在于研究三角形中的邊、角關(guān)系。在教學(xué)過程中，要引導(dǎo)學(xué)生自主探究三角形的邊角關(guān)系，先由特殊情況發(fā)現(xiàn)結(jié)論，再對一般三角形進(jìn)行推導(dǎo)證明,并引導(dǎo)學(xué)生分析正弦定理可以解決兩類關(guān)于解三角形的問題：（1）已知兩角和一邊，解三角形；（2）已知兩邊和其中一邊的對角，解三角形。???二、學(xué)情分析????本節(jié)授課對象是高二學(xué)生，是在學(xué)生學(xué)習(xí)了必修④基本初等函數(shù)Ⅱ和三角恒等變換的基礎(chǔ)上，由實(shí)際問題出發(fā)探索研究三角形邊角關(guān)系，得出正弦定理。高二學(xué)生對生產(chǎn)生活問題比較感興趣，由實(shí)際問題出發(fā)可以激起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生產(chǎn)生探索研究的愿望。根據(jù)上述教材結(jié)構(gòu)與內(nèi)容分析，立足學(xué)生的認(rèn)知水平，制定如下教學(xué)目標(biāo)和重、難點(diǎn)。三、教學(xué)目標(biāo)：1.知識與技能：通過創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)正弦定理，并推證正弦定理。會初步運(yùn)用正弦定理與三角形的內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類問題。2.過程與方法：引導(dǎo)學(xué)生從已有的知識出發(fā),共同探究在任意三角形中，邊與其對角正弦的比值之間的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生通過觀察，猜想，由特殊到一般歸納得出結(jié)論的能力和化未知為已知的解決問題的能力。3.情感、態(tài)度與價值觀：面向全體學(xué)生，創(chuàng)造平等的教學(xué)氛圍，通過學(xué)生之間、師生之間的交流、合作和評價，調(diào)動學(xué)生的主動性和積極性，給學(xué)生成功的體驗，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。四、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：重點(diǎn)：正弦定理的探索和證明及其基本應(yīng)用。難點(diǎn)：①正弦定理的證明；②了解已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時，解的情況不唯一。五、教學(xué)過程圖11．問題引入圖1某林場為了及時發(fā)現(xiàn)火情，在林場中設(shè)立了兩個觀測點(diǎn)A和B，某日兩個觀測點(diǎn)的林場人員分別觀測到C處出現(xiàn)火情.在AC處觀測到火情發(fā)生在北偏西40o方向，而在B處觀測到火情在北偏西60o方向（如圖1），已知B在A的正東方向10千米處.現(xiàn)在請你確定火場C距A、B多遠(yuǎn).要解決問題，首先應(yīng)將此問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題“在△ABC中，已知∠CAB=130o，∠CBA=30o，AB=10千米，求AC與BC的長.”師：這里△ABC是斜三角形，問題是求△ABC的邊長AC與BC.一般應(yīng)如何處理這類問題？生：通常把它轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題來解決.學(xué)生思考后，叫兩個學(xué)生表述解題思路：學(xué)生1.過A作BC的垂線,垂足為D，則∠C=180o-130o-30o=20o，學(xué)生2.2．深入探究引導(dǎo)學(xué)生將上述問題一般化，即“在△ABC中，已知兩角(∠A，∠B)和一邊(c)，求其他兩邊(a,b)”的問題.師：根據(jù)上述問題的解答思路，你能否導(dǎo)出一個a、b的計算公式？一個學(xué)生給出對于BC，另一個學(xué)生給出的思路是如圖2，過B作CA的垂線交CA的延長線于E，則這種思路雖然簡單，但不是從學(xué)生的頭腦中產(chǎn)生的，而是教師強(qiáng)加給學(xué)生的，只注意教學(xué)的結(jié)果而沒有注意學(xué)生思維過程的發(fā)展，思路再好對學(xué)生的也沒有指導(dǎo)意義.違背了以學(xué)生發(fā)展為本的原則.事實(shí)上按照學(xué)生的思路并不麻煩，可推導(dǎo)如下.3．歸納、概括結(jié)論師：由上面兩個式子你能得到什么關(guān)系？生：在△ABC中，圖3師：剛才討論的△ABC是鈍角三角形，對于直角三角形和銳角三角形是否也有這樣的關(guān)系呢？圖3生1：在直角三角形ABC中，設(shè)∠C=90o，則sinC=1，對于銳角三角形，學(xué)生A的思路是在ABC中，過A作BC邊的高AD=h，則。生2：在銳角三角形中，直接有，，可得.推導(dǎo)方法是：.這樣對于鈍角三角形、直角三角形和銳角三角形上述關(guān)系都成立，一般地我們得到結(jié)論：在任意△ABC中，有我讓學(xué)生用語言敘述這一關(guān)系.本來我按課本上設(shè)計的表述是：在三角形中，各邊與它所對角的正弦的比相等.而被提問的學(xué)生的表述為：在三角形中，各邊與它所對角的正弦成正比.我順勢按照學(xué)生的表述，概括出正弦定理，并進(jìn)一步追問：既然各邊與它所對角的正弦成正比，那么這個比值是多少呢？圖44．探究比值圖4師：設(shè)a是常數(shù)，我們讓點(diǎn)A運(yùn)動，保持∠A不變，那么點(diǎn)A的運(yùn)動軌跡如何呢？生：在圓弧上（如圖4用《幾何畫板》演示）.師：在運(yùn)動過程中能否找到一個直角三角形，使得∠A是直角三角形的一個銳角？生：當(dāng)BA過圓心O時，角C為直角（如圖4），比值等于△ABC外接圓的直徑，即.以下過程略；5.練習(xí)：（1）下列哪些三角形的x可以用正弦定理來求解?如果可以，應(yīng)該如何求？（不必求出x的值）學(xué)生完成練習(xí)后，教師利用希沃平臺，講典型的幾種答案拍照上傳，在平臺上同時對比分析學(xué)生的不同解法，并利用白板功能實(shí)時進(jìn)行批注講評。六、教學(xué)反思1．本節(jié)課雖然在教師的引導(dǎo)下，完成了教學(xué)任務(wù)，但是一味地為了完成任務(wù)而忽略了對學(xué)生正確思維的展開和引導(dǎo).上好一堂課不僅有好的教學(xué)設(shè)計，還應(yīng)有靈活應(yīng)變的能力，只有從思想上真正轉(zhuǎn)變?yōu)橐詫W(xué)生的發(fā)展為根本，才不會為了進(jìn)度而將學(xué)生強(qiáng)拉進(jìn)自己事先設(shè)計好的軌道.正是教學(xué)有法，又無定法.2．問題是思維的起點(diǎn)，是學(xué)生主動探索的動力.本節(jié)課通過對課本引例的解決、展開，引導(dǎo)學(xué)生在問題解決中發(fā)現(xiàn)結(jié)論.符合認(rèn)識問題的思維規(guī)律，對激發(fā)學(xué)生探究問題興趣是非常有益的.3．正弦定理的證明方法很多，如利用三角形的面積公式、利用三角形的外接圓、利用向量證明等，本節(jié)課將斜三角形的邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化為直角三角形的邊角關(guān)系導(dǎo)出正弦定理，從學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”入手去設(shè)計問題，思路自然，是學(xué)生們易于接受的一種證明方法.但在具體的推導(dǎo)時，要注意尊重學(xué)生思維的發(fā)展的過程，這是一種理念，也是一種能力.4.在教學(xué)中恰當(dāng)?shù)乩枚嗝襟w技術(shù)，是突破教學(xué)難點(diǎn)的一個重要手段.本節(jié)課利用《幾何畫板》探究比值的值，由動到靜，取得了很好的效果.而課下學(xué)生問，∠A是鈍角的情形怎么證明呢？于是我將這一問題給學(xué)生留作思考題，即“你能否將∠A是鈍角的情形轉(zhuǎn)化為銳角的情形呢？”在教學(xué)設(shè)計和課堂教學(xué)中應(yīng)充分了解學(xué)生、研究學(xué)生，備