數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)專家解讀及深度研究論文：數(shù)的概念與運(yùn)算的一致性

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)專家解讀及深度研究論文：數(shù)的概念與運(yùn)算的一致性《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出：數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的一大特點(diǎn)就是整體性。教材編寫與教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)當(dāng)突出核心內(nèi)容，呈現(xiàn)不同數(shù)學(xué)知識(shí)之間的實(shí)質(zhì)性關(guān)聯(lián)，展現(xiàn)內(nèi)容與觀念之間的融合，體現(xiàn)課程內(nèi)容的整體性。在小學(xué)“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域，要讓學(xué)生初步體會(huì)數(shù)是對(duì)數(shù)量的抽象，感悟數(shù)的概念的一致性，形成數(shù)感和符號(hào)意識(shí)；感悟數(shù)的運(yùn)算以及運(yùn)算之間的關(guān)系，體會(huì)數(shù)的運(yùn)算的一致性，形成運(yùn)算能力和初步的推理意識(shí)。教學(xué)中，也要溝通數(shù)的概念與數(shù)的運(yùn)算之間的關(guān)聯(lián)，突出“數(shù)”與“運(yùn)算”的一致性。但從當(dāng)前的教材和教學(xué)來看：關(guān)于數(shù)的認(rèn)識(shí)，整數(shù)（本文特指自然數(shù)）、分?jǐn)?shù)、小數(shù)有其獨(dú)特的認(rèn)識(shí)方法；關(guān)于數(shù)的運(yùn)算，加減乘除有各自的算理，整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)運(yùn)算有各自的算法。這些知識(shí)似乎是支離破碎、缺乏內(nèi)在一致性的。事實(shí)上，整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)本質(zhì)上是一個(gè)整體：從數(shù)形成與發(fā)展的角度而言，整數(shù)除法運(yùn)算出現(xiàn)不夠除的情形，產(chǎn)生了分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)運(yùn)算不方便，產(chǎn)生了小數(shù)；從數(shù)組成的角度而言，整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)均是基于“計(jì)數(shù)單位”建構(gòu)的。加減乘除本質(zhì)上也是一個(gè)整體：從運(yùn)算意義的角度而言，所有運(yùn)算都可以還原成加法，加法是所有運(yùn)算的基礎(chǔ)；從運(yùn)算算理的角度而言，分配律、交換律、結(jié)合律（下文均簡(jiǎn)稱“運(yùn)算律”）與等式的基本性質(zhì)是所有算理的基礎(chǔ)；從運(yùn)算算法的角度而言，所有運(yùn)算都可以還原成計(jì)數(shù)單位與計(jì)數(shù)單位運(yùn)算（個(gè)別運(yùn)算，計(jì)數(shù)單位不參與運(yùn)算）、計(jì)數(shù)單位上的數(shù)字（本質(zhì)上是計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)）與計(jì)數(shù)單位上的數(shù)字運(yùn)算，加法口訣、乘法口訣是所有算法的基礎(chǔ)。明白了“數(shù)”與“運(yùn)算”的一致性，抓住了統(tǒng)領(lǐng)性概念，就可以撥開籠罩在數(shù)及其運(yùn)算表面的層層面紗，設(shè)計(jì)合理的教學(xué)案例，帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程，建立知識(shí)之間的聯(lián)系，體會(huì)知識(shí)的本源性、一致性與整體性。在《程序性知識(shí)課程設(shè)計(jì)的新視角：算理貫通，算法統(tǒng)整》一文中，我們初涉了上述觀點(diǎn)，接下來進(jìn)行詳述。建構(gòu)：何以實(shí)現(xiàn)數(shù)的概念與運(yùn)算的一致性（一）數(shù)的概念的一致性：計(jì)數(shù)單位是建構(gòu)數(shù)的基礎(chǔ)認(rèn)識(shí)數(shù)的關(guān)鍵是理解數(shù)的建構(gòu)方法。事實(shí)上，所有數(shù)都是基于計(jì)數(shù)單位來建構(gòu)的。“計(jì)數(shù)單位”是針對(duì)個(gè)數(shù)與順序的計(jì)量單位，如同長度計(jì)量單位1m、1dm，二者均是“度量單位”，前者通過抽象得到，后者借助工具得到。有了計(jì)數(shù)單位，就克服了逐個(gè)計(jì)數(shù)的煩瑣與低效，提供了一個(gè)組（本質(zhì)上是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)量、單位量），一組一組地計(jì)數(shù)，這個(gè)“一組”就是計(jì)數(shù)單位。數(shù)的發(fā)展過程就是計(jì)數(shù)單位的發(fā)展過程。整數(shù)和小數(shù)的計(jì)數(shù)單位就是十、個(gè)、十分之一等，即通常所說的數(shù)位；分?jǐn)?shù)的計(jì)數(shù)單位就是分?jǐn)?shù)單位。建構(gòu)整數(shù)、分?jǐn)?shù)與小數(shù)的關(guān)鍵是計(jì)數(shù)單位，“數(shù)的認(rèn)識(shí)”應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)計(jì)數(shù)單位。1.整數(shù)的認(rèn)識(shí)（1）記數(shù)活動(dòng)的本質(zhì)是創(chuàng)造計(jì)數(shù)單位人類記數(shù)活動(dòng)的發(fā)展有兩條主線：其一是記數(shù)符號(hào)的產(chǎn)生及發(fā)展，即從實(shí)物符號(hào)，到象形符號(hào)，再到抽象符號(hào)；其二是記數(shù)方法的發(fā)展，即從“一個(gè)一個(gè)”地?cái)?shù)（非進(jìn)位制）到“一組一組”地?cái)?shù)（進(jìn)位制），從同一個(gè)記數(shù)符號(hào)在不同位置代表相同的值（非位值制）到代表不同的值（位值制）的過程。其中，“一組一組”地?cái)?shù)是記數(shù)活動(dòng)發(fā)展的關(guān)鍵。表面上，它只是把刻痕記數(shù)中的一道道刻痕分組、聚合了；本質(zhì)上，這就實(shí)現(xiàn)了對(duì)信息的壓縮與抽象，使復(fù)雜、龐大的記數(shù)成為可能。這個(gè)“一組”，就是進(jìn)位，就是計(jì)數(shù)單位。然而，如果要表示特別大的數(shù)量，有限的計(jì)數(shù)單位就顯得捉襟見肘了。于是，人類創(chuàng)造了位值制。位值制解決了非位值制的問題，但保留了進(jìn)位制的核心——計(jì)數(shù)單位。因而，記數(shù)制的發(fā)展過程，就是計(jì)數(shù)單位的創(chuàng)造過程，計(jì)數(shù)單位的產(chǎn)生對(duì)記數(shù)活動(dòng)的發(fā)展具有決定性意義。了解記數(shù)制的發(fā)展歷程，理解計(jì)數(shù)單位創(chuàng)生的必要性，是認(rèn)識(shí)數(shù)、理解數(shù)及其運(yùn)算的關(guān)鍵。遺憾的是，現(xiàn)行的大多數(shù)教材，在介紹了整數(shù)及四則運(yùn)算后，直至四年級(jí)才帶領(lǐng)學(xué)生感悟記數(shù)制的發(fā)展歷程。（2）如何認(rèn)識(shí)整數(shù)認(rèn)識(shí)整數(shù)要先認(rèn)識(shí)1—9，再認(rèn)識(shí)0和10。其中1—9的認(rèn)識(shí)比較容易，10的認(rèn)識(shí)就比較困難了。后者與前者的本質(zhì)區(qū)別是“進(jìn)位”，即從“個(gè)”凝聚與飛躍到“十”。9個(gè)“1”再加1個(gè)“1”，不稱為10個(gè)“1”，而稱為1個(gè)“十”。突破了“十”這個(gè)計(jì)數(shù)單位，其他的計(jì)數(shù)單位，就容易學(xué)習(xí)了。例如，認(rèn)識(shí)“萬”就是通過9999多1來認(rèn)識(shí)的。那么，如何表示1個(gè)“十”呢？這涉及位值制和“0”。教師要帶領(lǐng)學(xué)生慢慢體會(huì)：我們已經(jīng)知道1—9這9個(gè)記數(shù)符號(hào)，“十”如何表示呢？如果直接寫成1個(gè)“十”，就太不方便了；如果簡(jiǎn)單地寫成“1”，就會(huì)與我們已經(jīng)學(xué)過的“1”相混淆；如果創(chuàng)造新的符號(hào)，符號(hào)太多，使用也不方便。因此，人類創(chuàng)造了位值制。例如，我國古人把1個(gè)“十”表示成“1□”，印度人將其表示成“10”，這就與“1”區(qū)別開來。這里的“□”和“0”均具有兩重性——占位符與記數(shù)符，對(duì)應(yīng)兩個(gè)作用：一是“占位”，占了個(gè)位，于是“1”就被推到十位；二是表明“個(gè)位上什么都沒有，是空的”。這樣學(xué)習(xí)，與歷史上位值制、“0”的發(fā)展是一致的，因?yàn)椤?”是位值制的產(chǎn)物；這樣學(xué)習(xí)，就可以體會(huì)到位值制以及“0”產(chǎn)生的必要性與優(yōu)越性，也滲透了數(shù)學(xué)文化，融入了課程思政。2.分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)（1）分?jǐn)?shù)的計(jì)數(shù)單位分?jǐn)?shù)的計(jì)數(shù)單位（也就是分?jǐn)?shù)單位）不似整數(shù)明顯，一個(gè)原因似乎是：分?jǐn)?shù)的計(jì)數(shù)單位雖然可以按大小從左至右排成一列，但這些計(jì)數(shù)單位之間沒有明確的倍數(shù)關(guān)系。這給分?jǐn)?shù)大小比較以及分?jǐn)?shù)運(yùn)算（尤其是加減運(yùn)算）帶來了不便。于是，要把不同的計(jì)數(shù)單位轉(zhuǎn)化成相同的計(jì)數(shù)單位，這樣才能比較大小、進(jìn)行加減運(yùn)算。可見，分?jǐn)?shù)對(duì)計(jì)數(shù)單位的依賴程度一點(diǎn)也不比整數(shù)低。另一個(gè)原因則是：教材中對(duì)分?jǐn)?shù)計(jì)數(shù)單位的強(qiáng)調(diào)不夠，導(dǎo)致很多學(xué)生甚至認(rèn)識(shí)不到分?jǐn)?shù)有計(jì)數(shù)單位。這既不利于認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的本質(zhì)，也不利于推演分?jǐn)?shù)運(yùn)算的算理、推導(dǎo)算法。從文化的角度而言，這也許與我們傳統(tǒng)的分?jǐn)?shù)命名有關(guān)。從《九章算術(shù)》開始，我們就把分?jǐn)?shù)2/5讀作五分之二，這個(gè)命名強(qiáng)調(diào)了“分”與“取”的過程（平均分成5份，取其中的2份），而并沒有強(qiáng)調(diào)每份是整體的1/5。不同的是，在英文中，2/5表示為twofifths，fifth是1/5，twofifths就是2個(gè)1/5，對(duì)分?jǐn)?shù)單位的強(qiáng)調(diào)是很明顯的。（2）如何認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)概念只是一個(gè)稱謂，其蘊(yùn)含的性質(zhì)和關(guān)系才是最重要的。因此，引入一個(gè)概念時(shí)，應(yīng)當(dāng)涉及這個(gè)概念的性質(zhì)或者關(guān)系。分?jǐn)?shù)是一種有大小的新數(shù)，其目的是幫助我們度量小于1的量。因此，在強(qiáng)調(diào)分?jǐn)?shù)計(jì)數(shù)單位的同時(shí)，也要重視分?jǐn)?shù)的大小比較。分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)可以分為三個(gè)階段：第一階段，舉例講分?jǐn)?shù)，初步感悟“在相同的計(jì)數(shù)單位上才能比較大小”，同時(shí)滲透“分子和分母同乘以一個(gè)數(shù)，分?jǐn)?shù)大小不變”；第二階段，借助通分，將分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換為相同的計(jì)數(shù)單位，進(jìn)行加減運(yùn)算；第三階段，建立分?jǐn)?shù)與整數(shù)除法的關(guān)系，完整認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)。當(dāng)然，也可以從概念認(rèn)識(shí)的一般過程，即感性具體、感性一般、理性具體與理性一般來認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)。3.小數(shù)的認(rèn)識(shí)（1）小數(shù)的計(jì)數(shù)單位小數(shù)0.1的計(jì)數(shù)單位是1/10，0.01的計(jì)數(shù)單位是1/100。小數(shù)是基于十進(jìn)位值制來建構(gòu)的，認(rèn)識(shí)小數(shù)的關(guān)鍵是認(rèn)識(shí)基于十進(jìn)制的小數(shù)計(jì)數(shù)單位。如果把整數(shù)、小數(shù)的計(jì)數(shù)單位有序排列在一起，如“”，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)：小數(shù)計(jì)數(shù)單位是整數(shù)計(jì)數(shù)單位的自然延伸，小數(shù)的產(chǎn)生是自然而然的。（2）如何認(rèn)識(shí)小數(shù)小數(shù)是“十進(jìn)分?jǐn)?shù)”，這里的“分?jǐn)?shù)”只是一個(gè)描述計(jì)數(shù)單位的工具，“十進(jìn)”（或“十分”）才是本質(zhì)?？梢赃@樣引導(dǎo)學(xué)生思考：在認(rèn)識(shí)整數(shù)時(shí)，個(gè)位滿十向十位進(jìn)一，十位滿十向百位進(jìn)一……反過來，把計(jì)數(shù)單位“百”平均分成十份，一份就是計(jì)數(shù)單位“十”；把計(jì)數(shù)單位“十”平均分成十份，一份就是計(jì)數(shù)單位“個(gè)”。以此類推，把計(jì)數(shù)單位“個(gè)”平均分成十份，一份就是“個(gè)”的十分之一，稱其為十分位……這樣看來，小數(shù)作為十進(jìn)分?jǐn)?shù)，所蘊(yùn)含的分?jǐn)?shù)意義是非常弱的。小數(shù)意義的教學(xué)重點(diǎn)在于位值制。按照“逢十進(jìn)一”和“退一作十”的規(guī)則建構(gòu)出來的小數(shù)，可以和整數(shù)一起構(gòu)成完整的位值制系統(tǒng)，這正是小數(shù)的意義和核心所在。其中，按同樣的規(guī)則（十進(jìn)制）來建構(gòu)小數(shù)非常重要，凸顯了知識(shí)的本質(zhì)。綜上所述，數(shù)的概念的一致性體現(xiàn)為：“計(jì)數(shù)單位”是建構(gòu)數(shù)的基礎(chǔ)。因而，認(rèn)識(shí)數(shù)的關(guān)鍵是認(rèn)識(shí)“計(jì)數(shù)單位”。（二）運(yùn)算意義的一致性：加法是運(yùn)算意義的基礎(chǔ)人類首先明晰了加法，然后基于加法衍生出了其他運(yùn)算：減法是加法的逆運(yùn)算，乘法是加法的簡(jiǎn)便運(yùn)算，除法是減法的簡(jiǎn)便運(yùn)算。這樣就得到了四則運(yùn)算。因此，所有運(yùn)算都可以化歸為加法運(yùn)算，加法是所有運(yùn)算的基礎(chǔ)與核心。加法的意義可以用以下兩種方法來解釋。一是借助定義。例如，我們定義2=1+1，3=2+1（皮亞諾算術(shù)公理系統(tǒng)），于是，得到1+1=2，2+1=3，這利用了“=”的對(duì)稱性。但這樣的解釋脫離了現(xiàn)實(shí)背景，沒有涉及“等于”的本質(zhì)。二是利用對(duì)應(yīng)的方法來解釋加法，從而體現(xiàn)“等于”的本質(zhì)。例如，3+1=4。過去講3+1是三個(gè)物品再加一個(gè)物品，就是四個(gè)物品，所以3+1=4，但等號(hào)的含義沒有體現(xiàn)出來。可以這樣講：左邊有三個(gè)物品，右邊有四個(gè)物品，哪邊的物品多？右邊多，3＜4；如果在三個(gè)物品里再加一個(gè)物品，哪邊多呢？一樣多；所以3+1=4。在此過程中理解等號(hào)和加法的意義，建立數(shù)感和符號(hào)意識(shí)，感悟數(shù)學(xué)思想?；诩臃?，可以將四則運(yùn)算合理地聯(lián)系起來。加減乘除四則運(yùn)算的關(guān)系概括如圖1所示。

圖1四則運(yùn)算關(guān)系圖因此，在探究數(shù)的運(yùn)算意義的一致性過程中，要明晰減法、乘法、除法都是在加法的基礎(chǔ)上衍生而來的，加法是所有運(yùn)算的基礎(chǔ)與核心。（三）運(yùn)算算理、算法的一致性：計(jì)數(shù)單位、運(yùn)算律與等式的基本性質(zhì)是算理、算法的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)是一個(gè)統(tǒng)一體，數(shù)學(xué)運(yùn)算也是一個(gè)統(tǒng)一體。數(shù)的建構(gòu)與數(shù)的運(yùn)算都是基于計(jì)數(shù)單位進(jìn)行的，卻是兩個(gè)互逆的過程：一個(gè)是經(jīng)歷了很長的歷史錘煉組裝起來的，一個(gè)是慢慢拆解開來的。數(shù)的概念是數(shù)的運(yùn)算的基礎(chǔ)，數(shù)的運(yùn)算是對(duì)數(shù)的概念的再應(yīng)用。推演數(shù)的運(yùn)算算理，既要基于計(jì)數(shù)單位，也要基于運(yùn)算律、等式的基本性質(zhì)。推導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算算法，主要基于計(jì)數(shù)單位：對(duì)于加減運(yùn)算而言，只有相同計(jì)數(shù)單位上的數(shù)字才能進(jìn)行運(yùn)算；對(duì)于乘除運(yùn)算而言（整數(shù)除法除外），計(jì)數(shù)單位與計(jì)數(shù)單位運(yùn)算，計(jì)數(shù)單位上的數(shù)字與計(jì)數(shù)單位上的數(shù)字進(jìn)行運(yùn)算。1.加減法運(yùn)算的一致性（1）整數(shù)加減法運(yùn)算整數(shù)加減運(yùn)算，就是將每一個(gè)數(shù)按照計(jì)數(shù)單位進(jìn)行分解，然后相同計(jì)數(shù)單位上的數(shù)字相加減。例如：123+45=100+20+3+40+5=1（百）+（2+4）（十）+（3+5）（個(gè)）=168。可以發(fā)現(xiàn)，計(jì)數(shù)單位上的數(shù)字均小于等于9，因而，加法口訣表是所有加減法運(yùn)算的基礎(chǔ)。（2）分?jǐn)?shù)加減法運(yùn)算分?jǐn)?shù)相加減時(shí)，需要先統(tǒng)一分?jǐn)?shù)單位：同分母分?jǐn)?shù)相加減，分母不變，分子相加減；異分母分?jǐn)?shù)相加減，先化成同分母的分?jǐn)?shù)，再相加減?？梢?，分?jǐn)?shù)相加減，均是“相同計(jì)數(shù)單位上的數(shù)字相加減”，這與整數(shù)運(yùn)算保持了一致。（3）小數(shù)加減法運(yùn)算小數(shù)四則運(yùn)算的算理、算法既可以基于整數(shù)的算理、算法，也可以基于分?jǐn)?shù)的算理、算法，這充分顯示了小數(shù)的“兩棲性”。無論基于整數(shù)加減，還是基于分?jǐn)?shù)加減，均是“相同計(jì)數(shù)單位上的數(shù)字相加減”。綜上所述，加減法運(yùn)算的一致性體現(xiàn)為：相同計(jì)數(shù)單位上的數(shù)字相加減，計(jì)數(shù)單位不變。2.乘法運(yùn)算的一致性探尋乘法運(yùn)算的算理與算法，當(dāng)然可以簡(jiǎn)單地還原成加法，這樣做，乘法就找到了源頭。但如果一直這樣，乘法就永遠(yuǎn)是攀附在加法上的藤蔓。因而，乘法要建構(gòu)自己獨(dú)立的算理與算法。（1）整數(shù)乘法運(yùn)算在進(jìn)行整數(shù)乘法運(yùn)算時(shí)，就開始使用運(yùn)算律了。例如：25×3=20×3+5×3=（2×3）×（10×1）+（5×3）×（1×1）=75。首先，將25基于計(jì)數(shù)單位進(jìn)行分解并利用分配律進(jìn)行拆解；其次，將每一個(gè)數(shù)都基于計(jì)數(shù)單位進(jìn)行分解，利用交換律、結(jié)合律，將計(jì)數(shù)單位上的數(shù)字與計(jì)數(shù)單位上的數(shù)字相乘、計(jì)數(shù)單位與計(jì)數(shù)單位相乘，得到新的數(shù)字與新的計(jì)數(shù)單位；再次，新的計(jì)數(shù)單位與新的數(shù)字相乘，得到部分積；最后，將兩個(gè)部分積相加即為最終的運(yùn)算結(jié)果?？梢?，橫式將算理展示得淋漓盡致、清清楚楚。當(dāng)然，就算法而言，豎式更加清晰一些。可以發(fā)現(xiàn)，整數(shù)乘法運(yùn)算要進(jìn)行兩類運(yùn)算：計(jì)數(shù)單位與計(jì)數(shù)單位相乘（這兩個(gè)計(jì)數(shù)單位可以一樣、可以不一樣），從而得到新的計(jì)數(shù)單位；計(jì)數(shù)單位上的數(shù)字與計(jì)數(shù)單位上的數(shù)字相乘，得到新的計(jì)數(shù)單位上的新的數(shù)字。計(jì)數(shù)單位上的數(shù)字均小于等于9，因而，乘法口訣表是所有乘法運(yùn)算的基礎(chǔ)。（2）分?jǐn)?shù)乘法運(yùn)算基于演繹推理推演分?jǐn)?shù)乘法的算理與算法，涵蓋兩個(gè)方面：證明單位分?jǐn)?shù)相乘，本質(zhì)上是計(jì)數(shù)單位相乘得到新的計(jì)數(shù)單位；證明非單位分?jǐn)?shù)相乘，本質(zhì)上是計(jì)數(shù)單位與計(jì)數(shù)單位相乘，計(jì)數(shù)單位上的數(shù)字與計(jì)數(shù)單位上的數(shù)字相乘。證明過程中要用到等式的基本性質(zhì)。于是分?jǐn)?shù)乘法運(yùn)算與整數(shù)乘法運(yùn)算保持了一致。（3）小數(shù)乘法運(yùn)算基于整數(shù)乘法、分?jǐn)?shù)乘法分別推演小數(shù)乘法運(yùn)算的算理與算法：基于整數(shù)乘法，推演小數(shù)乘法的算理遇到困難。例如，0.34×0.2=（0.3+0.04）×0.2=0.3×0.2+0.04×0.2=（3×2）×（0.1×0.1）+（4×2）×（0.01×0.1）=0.068?？梢园l(fā)現(xiàn)，小數(shù)乘法的算法與整數(shù)乘法幾乎完全一致。但為什么0.1×0.1=0.01？簡(jiǎn)單解釋就是，在十進(jìn)制下，0.1=1/10，1/10×1/10=1/100=0.01，還是要回到分?jǐn)?shù)才能夠說明白算理。基于分?jǐn)?shù)乘法，推演算理就很清晰了，同樣是“計(jì)數(shù)單位與計(jì)數(shù)單位相乘，計(jì)數(shù)單位上的數(shù)字與計(jì)數(shù)單位上的數(shù)字相乘”。綜上所述，乘法運(yùn)算的一致性體現(xiàn)為：計(jì)數(shù)單位與計(jì)數(shù)單位相乘，計(jì)數(shù)單位上的數(shù)字與計(jì)數(shù)單位上的數(shù)字相乘。3.除法運(yùn)算的一致性乘除法互為逆運(yùn)算，除法運(yùn)算的意義依賴乘法，乘法口訣就自然地成為了除法口訣，因而，除法算理與算法的探求要還原為乘法。（1）整數(shù)除法運(yùn)算例如，1500÷4按照以下步驟進(jìn)行運(yùn)算：15（百）÷4=3（百）……3（百）；30（十）÷4=7（十）……2（十）；20（個(gè)）÷4=5（個(gè)）。最后將所有的商3（百）、7（十）與5（個(gè)）組合起來，得到結(jié)果375。被除數(shù)被分解成以不同計(jì)數(shù)單位為單位的若干個(gè)部分，上例是15（百）、30（十）、20（個(gè)）三個(gè)部分，這些部分分別參與運(yùn)算，而除數(shù)整體參與運(yùn)算。然后，這些部分分別除以除數(shù)，進(jìn)行試商。每一次的商總是小于等于9個(gè)計(jì)數(shù)單位，這又將除法運(yùn)算還原成了乘法口訣表中的乘法運(yùn)算。上述運(yùn)算過程還可以表示為：1500÷4=［12（百）+28（十）+20（個(gè)）］÷4=［12（百）+28（十）+20（個(gè)）］×1/4=12（百）×1/4+28（十）×1/4+20（個(gè)）×1/4=3（百）+7（十）+5（個(gè)）=375。這就是整數(shù)除法的算理。當(dāng)然，這個(gè)過程為了使用乘法分配律，還要使用“除以一個(gè)不為0的數(shù)等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)”。（2）分?jǐn)?shù)除法運(yùn)算①建立整數(shù)除法與分?jǐn)?shù)的關(guān)系?！罢麛?shù)除法可以表示成分?jǐn)?shù)的形式”，這等價(jià)于“除以一個(gè)不為0的整數(shù)等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)”，即a÷b=a×1/b=a/b。這個(gè)結(jié)論可以類比分?jǐn)?shù)乘法算理的推導(dǎo)，采用演繹推理來證明。這事實(shí)上推演了分?jǐn)?shù)除法的算理、推導(dǎo)了分?jǐn)?shù)除法的算法，也建立了整數(shù)除法與分?jǐn)?shù)的關(guān)系、貫通了整數(shù)與分?jǐn)?shù)的運(yùn)算。②除以一個(gè)不為0的數(shù)等于乘上它的倒數(shù)?；谘堇[推理，同理可證這個(gè)等式之所以寫得如此復(fù)雜，是想說明：其一，對(duì)于分?jǐn)?shù)除法而言，其算理同樣是借助演繹推理來推演的，其算法轉(zhuǎn)化為了分?jǐn)?shù)乘法，而分?jǐn)?shù)乘法運(yùn)算與整數(shù)、小數(shù)乘法運(yùn)算保持了一致性；其二，，這是計(jì)數(shù)單位與計(jì)數(shù)單位相除，計(jì)數(shù)單位上的數(shù)字與計(jì)數(shù)單位上的數(shù)字相除（c÷d），再把所得到的兩個(gè)商相乘。這再次體現(xiàn)出運(yùn)算的一致性。（3）小數(shù)除法運(yùn)算同小數(shù)乘法一樣，可以分別基于整數(shù)除法、分?jǐn)?shù)除法來推演小數(shù)除法運(yùn)算的算理與算法。小數(shù)除法運(yùn)算可以概括為“披著小數(shù)外衣的整數(shù)除法運(yùn)算”，例如，對(duì)于1.5÷0.04，可以利用“商不變規(guī)律”將其轉(zhuǎn)化成整數(shù)除法，即1.5÷0.04=150÷4，于是就可以按照整數(shù)除法的運(yùn)算方法來進(jìn)行小數(shù)除法運(yùn)算了。綜上所述，除法運(yùn)算的一致性體現(xiàn)為：計(jì)數(shù)單位與計(jì)數(shù)單位相除，計(jì)數(shù)單位上的數(shù)字與計(jì)數(shù)單位上的數(shù)字相除。當(dāng)然，整數(shù)除法只有計(jì)數(shù)單位上的數(shù)字參與運(yùn)算。通過分析可以發(fā)現(xiàn)，運(yùn)算算理、算法的一致性體現(xiàn)為：計(jì)數(shù)單位、運(yùn)算律與等式的基本性質(zhì)是算理、算法的基礎(chǔ)。

結(jié)論與建議：基于計(jì)數(shù)單位、運(yùn)算律等實(shí)現(xiàn)數(shù)的概念與運(yùn)算的一致性（一）結(jié)論通過分析，可建構(gòu)數(shù)的概念與運(yùn)算的一致性框架（見圖2）：一個(gè)核心概念，即計(jì)數(shù)單位；一些基本規(guī)律，即運(yùn)算律與等式的基本性質(zhì)；一些基本運(yùn)算，即計(jì)數(shù)單位與計(jì)數(shù)單位運(yùn)算，計(jì)數(shù)單位上的數(shù)字與計(jì)數(shù)單位上的數(shù)字運(yùn)算；一些基本事實(shí)，即加法口訣、乘法口訣。圖2數(shù)的概念與運(yùn)算的一致性（二）建議1.基于計(jì)數(shù)單位，建立數(shù)之間的聯(lián)系，感悟數(shù)的概念的一致性，培養(yǎng)數(shù)感和符號(hào)意識(shí).建立數(shù)之間的聯(lián)系，就要以計(jì)數(shù)單位為核心要素來統(tǒng)領(lǐng)數(shù)的概念。感悟數(shù)概念的本質(zhì)，就要帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷由數(shù)量到數(shù)、由整數(shù)到分?jǐn)?shù)再到小數(shù)的形成過程。這個(gè)過程是知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程，也是數(shù)學(xué)化的過程。學(xué)生經(jīng)歷了這個(gè)過程，才能夠體會(huì)知識(shí)的本源性與一致性。具體來說，就是要帶領(lǐng)學(xué)生體驗(yàn)計(jì)數(shù)單位在數(shù)的建構(gòu)中的統(tǒng)領(lǐng)作用，理解數(shù)是計(jì)數(shù)單位多少的表達(dá)，感悟“十進(jìn)位值制”的意義。為了簡(jiǎn)潔、有效地記數(shù)，人類經(jīng)歷了漫長的過程：從非進(jìn)位制到進(jìn)位制，從非位值制到位值制，這說的是記數(shù)的原則；從實(shí)物記數(shù)到刻痕記數(shù)，從許多個(gè)符號(hào)到十個(gè)符號(hào)，這說的是記數(shù)的符號(hào)。在記數(shù)過程中，運(yùn)算律被自然而然地使用著，計(jì)數(shù)單位發(fā)揮著統(tǒng)領(lǐng)作用，這些很容易遷移、推廣到分?jǐn)?shù)與小數(shù)，這就建立了整數(shù)、分?jǐn)?shù)與小數(shù)的一致性。正是在這樣的過程中，培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)感與符號(hào)意識(shí)。2.基于運(yùn)算律、等式的基本性質(zhì)與計(jì)數(shù)單位，建立數(shù)與運(yùn)算之間的聯(lián)系，體會(huì)數(shù)的運(yùn)算的一致性，提高運(yùn)算能力和推理能力.建立數(shù)與運(yùn)算之間的聯(lián)系、體會(huì)數(shù)的運(yùn)算的本質(zhì)，就要帶領(lǐng)學(xué)生體會(huì)計(jì)數(shù)單位在數(shù)的運(yùn)算中的統(tǒng)領(lǐng)作用，經(jīng)歷運(yùn)算意義、算理和算法的探索過程。具體說來包括以下幾點(diǎn)。其一，要建立“數(shù)”與“運(yùn)算”之間的聯(lián)系，理解“數(shù)的概念是數(shù)的運(yùn)算的基礎(chǔ)，數(shù)的運(yùn)算是數(shù)的概念的再應(yīng)用”，體會(huì)數(shù)的表達(dá)與運(yùn)算方法的一致性。正如前文所說