c題易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì)

會(huì)計(jì)學(xué)1c題易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì)C題目:①取一飲料容量為355毫升的易拉罐，測量你們認(rèn)為驗(yàn)證模型所需要的數(shù)據(jù)，并把數(shù)據(jù)列表。②設(shè)易拉罐是一個(gè)正圓柱體。什么是它的最優(yōu)設(shè)計(jì)？其結(jié)果是否可以合理地說明你們所測量的易拉罐的形狀和尺寸，例如說，半徑和高之比等等。③考慮壁厚及頂蓋厚和壁厚不同的情況下求最優(yōu)模型。

我們只要稍加留意就會(huì)發(fā)現(xiàn)銷量很大的飲料(例如飲料量為355毫升的可口可樂、青島啤酒等)的飲料罐(即易拉罐)的形狀和尺寸幾乎都是一樣的。看來，這并非偶然，這應(yīng)該是某種意義下的最優(yōu)設(shè)計(jì)。當(dāng)然，對于單個(gè)的易拉罐來說，這種最優(yōu)設(shè)計(jì)可以節(jié)省的錢可能是很有限的，但是如果是生產(chǎn)幾億，甚至幾十億個(gè)易拉罐的話，可以節(jié)約的錢就很可觀了。第1頁/共17頁在對易拉罐的形狀進(jìn)行研究時(shí)，首先分析出模型可能需要的數(shù)據(jù)，利用相應(yīng)的工具多次測量求平均均值確定易拉罐各項(xiàng)尺寸的大小。

簡化易拉罐的形狀為一圓柱體時(shí)，確定出高度和半徑的比值關(guān)系，并與實(shí)際測量數(shù)據(jù)進(jìn)行比較分析，判斷易拉罐設(shè)計(jì)的合理性；

易拉罐形狀為組合體時(shí)，求解過程仍以材料最省為最優(yōu)設(shè)計(jì)，建立一個(gè)廣泛的最優(yōu)設(shè)計(jì)模型。問題分析第2頁/共17頁

1、假設(shè)溫度，濕度等因素變化的時(shí)候，易拉罐形狀和尺寸不隨之變化。2、假設(shè)整個(gè)易拉罐用同種材料制成。3、假設(shè)易拉罐頂蓋和下底蓋都是規(guī)則的平面。4、假設(shè)易拉罐的罐身和罐底、罐面的厚度相同，且壁很薄。5、假設(shè)易拉罐都是規(guī)則的多面體。模型假設(shè)第3頁/共17頁符號說明:r:易拉罐的半徑h:易拉罐的高V:罐內(nèi)體積

b:材料的厚度S:易拉罐的表面積SV

:材料的體積α

：待定參數(shù)其中r,h是自變量,所用材料的體積S是因變量,而b和V是固定參數(shù),α是待定參數(shù)第4頁/共17頁模型建立和求解一、簡化模型

把易拉罐近似看成一個(gè)正圓柱，要求易拉罐內(nèi)的體積一定時(shí)，求能使易拉罐制作所用的材料最省。

第5頁/共17頁即圓柱的直徑和高之比為1:1第6頁/共17頁表一:自己測量得到的易拉罐所需數(shù)據(jù)表(單位:mm)雪碧藍(lán)代可樂平均數(shù)罐總高度H122.50122.50122.80122.60上內(nèi)高

5.205.004.805.30下內(nèi)高

5.005.005.105.00上蓋厚

0.300.300.300.30下底厚

0.280.270.300.27側(cè)壁厚

0.120.130.130.13罐身直徑260.3060.6060.5060.47上內(nèi)直徑

57.4057.1057.2057.23下內(nèi)直徑

50.4053.0050.2051.20上外高

13.8013.6013.5013.63下底拱高

9.909.8010.209.90第7頁/共17頁模型二（改進(jìn)）：實(shí)際上,易拉罐的壁厚是不一樣的，則在不忽略壁厚情況下計(jì)算。補(bǔ)充假設(shè)：除易拉罐的頂蓋外,罐的厚度相同為b飲料罐側(cè)面所用材料的體積為：αb：頂壁厚度第8頁/共17頁,②飲料罐頂蓋所用材料的體積為③飲料罐底部所用材料的體積為所用材料的體積：罐內(nèi)體積V(r,h)：第9頁/共17頁

因,所以帶,的項(xiàng)可以忽略,所以,

于是我們可以建立以下的數(shù)學(xué)模型：記其中是SV目標(biāo)函數(shù),是約束條件,V是已知的(355ml),即要在體積一定的條件下,求罐的體積最小的

r,h和α使得r,h和測量結(jié)果吻合.這是一個(gè)求條件極值的問題.

第10頁/共17頁模型的求解從約束中解出一個(gè)變量,化條件極值問題為求一元函數(shù)的無條件極值問題使原問題化為:求使S最小,即,求r使下式最小.第11頁/共17頁求臨界點(diǎn):令其導(dǎo)數(shù)為零得測量數(shù)據(jù)為,即即頂蓋厚度是其他材料厚度3倍

第12頁/共17頁模型驗(yàn)證及進(jìn)一步的分析

有人測量過頂蓋的厚度約為其他材料厚度的3倍.如果易拉罐的半徑為3厘米,則其容積為：第13頁/共17頁實(shí)際上,飲料罐的形狀是左平面圖形繞其中軸線旋轉(zhuǎn)而成的立體.可以把飲料罐的體積看成兩部分,一是錐臺,二是圓柱體.第14頁/共17頁進(jìn)一步討論此外,諸如底部的形狀,上拱的底面,頂蓋實(shí)際上也不是平面的,略有上拱,頂蓋實(shí)際上是半徑為3+0.