D101對(duì)弧長(zhǎng)和曲線積分21355

會(huì)計(jì)學(xué)1D101對(duì)弧長(zhǎng)和曲線積分21355一、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念與性質(zhì)假設(shè)曲線形細(xì)長(zhǎng)構(gòu)件在空間所占弧段為AB,其線密度為“大化小,常代變,近似和,求極限”

可得為計(jì)算此構(gòu)件的質(zhì)量,（一）.引例:

曲線形構(gòu)件的質(zhì)量采用機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第1頁(yè)/共32頁(yè)（二）光滑曲線和對(duì)對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的定義定義1:設(shè)空間曲線的參數(shù)方程為若不同時(shí)為零，且在上連續(xù)，則稱曲線是光滑曲線．注：曲線是光滑的當(dāng)且僅當(dāng)曲線每一點(diǎn)都有切線，且切線連續(xù)變化．光滑當(dāng)且僅當(dāng)上連續(xù)．平面曲線不同時(shí)為零且在光滑當(dāng)且僅當(dāng)連續(xù)故平面曲線第2頁(yè)/共32頁(yè)設(shè)是空間中一條有限長(zhǎng)的光滑曲線,義在上的一個(gè)有界函數(shù),都存在,上對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分,記作若通過(guò)對(duì)的任意分割局部的任意取點(diǎn),定義2.下列“乘積和式極限”則稱此極限為函數(shù)在曲線或第一類曲線積分.稱為被積函數(shù)，

稱為積分弧段.和對(duì)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第3頁(yè)/共32頁(yè)如果L

是閉曲線,則記為則定義對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分為定義2*面上的曲線弧,是如果是定義在上的有界函數(shù),第4頁(yè)/共32頁(yè)注:(2)若在

L

上f(x,y)≡1,(3)定積分不能看作對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的特例.對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分要求但定積分中表示L的弧長(zhǎng)(4)中的L是函數(shù)的定義域例其中定義域是(1)曲線形構(gòu)件的質(zhì)量可能為負(fù)計(jì)算解:由被積函數(shù)故第5頁(yè)/共32頁(yè)（三）.性質(zhì)（k為常數(shù))(

由組成)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(1)第6頁(yè)/共32頁(yè)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(4)若曲線L關(guān)于即若則若軸對(duì)稱，分為對(duì)稱兩部分即函數(shù)關(guān)于是偶函數(shù),則即函數(shù)關(guān)于是奇函數(shù),若曲線L關(guān)于軸對(duì)稱，函數(shù)關(guān)于是偶或奇函數(shù)有類似結(jié)論第7頁(yè)/共32頁(yè)二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算法基本思路:計(jì)算定積分轉(zhuǎn)化定理:且上的連續(xù)函數(shù),證:是定義在光滑曲線弧則曲線積分求曲線積分根據(jù)定義機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第8頁(yè)/共32頁(yè)二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算法基本思路:計(jì)算定積分轉(zhuǎn)化定理:且上的連續(xù)函數(shù),是定義在光滑曲線弧則曲線積分求曲線積分機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束存在,第9頁(yè)/共32頁(yè)證:根據(jù)定義點(diǎn)設(shè)各分點(diǎn)對(duì)應(yīng)參數(shù)為對(duì)應(yīng)參數(shù)為其中則第10頁(yè)/共32頁(yè)注:因此積分限必須滿足(2)注意到因此上述計(jì)算公式相當(dāng)于“換元法”.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第11頁(yè)/共32頁(yè)(A)如果曲線則有機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(3)計(jì)算公式(B)如果曲線則有(C)如果曲線則有第12頁(yè)/共32頁(yè)推廣:

設(shè)空間曲線弧的參數(shù)方程為則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第13頁(yè)/共32頁(yè)例1.

計(jì)算其中L是拋物線與點(diǎn)

B(1,1)之間的一段弧.解:上點(diǎn)O(0,0)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第14頁(yè)/共32頁(yè)例2.計(jì)算半徑為R,中心角為的圓弧L

對(duì)于它的對(duì)稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I(設(shè)線密度

=1).解:

建立坐標(biāo)系如圖,則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第15頁(yè)/共32頁(yè)例3.計(jì)算其中L為圓解:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束的上半圓曲線極坐標(biāo)方程為法一a故第16頁(yè)/共32頁(yè)例3.計(jì)算其中L為圓解:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束的上半圓法二a曲線參數(shù)化為第17頁(yè)/共32頁(yè)例４.計(jì)算其中L為雙紐線解:

在極坐標(biāo)系下它在第一象限部分為利用對(duì)稱性,得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第18頁(yè)/共32頁(yè)例５.計(jì)算曲線積分

其中為螺旋的一段弧.解:

線機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第19頁(yè)/共32頁(yè)例6.計(jì)算曲線積分

其中是球面與平面解:

的交線參數(shù)化曲線:由得故曲線有參數(shù)方程第20頁(yè)/共32頁(yè)被積函數(shù)的定義域?yàn)榍蛎嫒羝矫媸枪噬系那€,故又如何?注：第21頁(yè)/共32頁(yè)例７.

計(jì)算其中為球面被平面所截的圓周.解:由對(duì)稱性可知機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第22頁(yè)/共32頁(yè)思考:例７中改為計(jì)算解:

令,則圓的形心在原點(diǎn),故,如何機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第23頁(yè)/共32頁(yè)內(nèi)容小結(jié)1.定義2.性質(zhì)(l

曲線弧

的長(zhǎng)度)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第24頁(yè)/共32頁(yè)3.計(jì)算?對(duì)光滑曲線弧?對(duì)光滑曲線弧?對(duì)光滑曲線弧機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第25頁(yè)/共32頁(yè)思考與練習(xí)1.已知橢圓周長(zhǎng)為a,求提示:原式=利用對(duì)稱性分析:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第26頁(yè)/共32頁(yè)2.

設(shè)均勻螺旋形彈簧L的方程為(1)求它關(guān)于z

軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(2)求它的質(zhì)心.解:

設(shè)其密度為

ρ(常數(shù)).(2)L的質(zhì)量而(1)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第27頁(yè)/共32頁(yè)故重心坐標(biāo)為第二節(jié)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第28頁(yè)/共32頁(yè)思考.有一半圓弧其線密度解:故所求引力為求它對(duì)原點(diǎn)處單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第29頁(yè)/共32頁(yè)備用題1.

設(shè)

C

是由極坐標(biāo)系下曲線及所圍區(qū)域的邊界,求提示:

分段積分