2018-2019學(xué)年度第一學(xué)期北師大版九年級(jí)單元測(cè)試題第一章特殊的平行四邊形

-2019學(xué)年度第一學(xué)期北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)單元測(cè)試題第一章特殊的平行四邊形做題時(shí)間100分鐘滿分120分題號(hào)一二三總分得分班級(jí)姓名單選題（共10小題,每題3分，計(jì)30分）

1.如圖，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，∠EDC：∠EDA=1：3，且AC=10，則DE的長(zhǎng)度是（）

A．3B．5C．D．

2.如圖，正方形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，AF⊥DE于點(diǎn)O，則等于（）

A．B．C．D．3.如圖，將矩形ABCD沿AE折疊，若∠BAD′=30°，則∠AED′等于（）

A．30°B．45°C．60°D．75°

4.一個(gè)平行四邊形繞著它的對(duì)角線的交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°，能夠與它本身重合，則該四邊形是（）

A．矩形B．菱形C．正方形D．無(wú)法確定

5.如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°到正方形AB′C′D′，圖中陰影部分的面積為（）

A．B．C．1-D．1-

6.如圖，在正方形ABCD中，E為DC邊上的點(diǎn)，連接BE，將△BCE繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到△DCF，連接EF，若∠BEC=60°，則∠EFD的度數(shù)為（）

A．10°B．15°C．20°D．25°

7.若菱形兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別為6和8，則這個(gè)菱形的周長(zhǎng)為（）

A．20B．16C．12D．10

8.如圖，延長(zhǎng)正方形ABCD的一邊BC至E，使CE=AC，連接AE交CD于F，則∠AFC的度數(shù)是（）

A．112.5°B．120°C．122.5°D．135°

9.如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，OE⊥AB，垂足為E，若∠ADC=130°，則∠AOE的大小為（）

A．75°B．65°C．55°D．50°

10.如圖，四邊形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于點(diǎn)E，且四邊形ABCD的面積為8，則BE=（）

A．2B．3C．D．

二．填空題（共8小題,每題4分，計(jì)32分）

1.已知菱形的一條對(duì)角線長(zhǎng)為12cm，面積為30cm2，則這個(gè)菱形的另一條對(duì)角線長(zhǎng)為_(kāi)__________cm．

2.菱形ABCD中，∠BAD=60°，E為AB邊上一點(diǎn)，且AE=3，BE=5，在對(duì)角線AC上找一點(diǎn)P，使PE+PB的值最小，則最小值為_(kāi)__________．

3.直角三角形斜邊的中線長(zhǎng)是4cm，則它的兩條直角邊中點(diǎn)的連線長(zhǎng)為_(kāi)__________cm．

4.長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為cm，寬為cm，則這個(gè)長(zhǎng)方形的面積是___________cm2．

5.

如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊AB、DC上，BF∥DE，若AD=12cm，AB=7cm，且AE：BE=5：2，則陰影部分面積為_(kāi)__________cm2．

6.若正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為2cm，則它的面積是___________cm2．

7.菱形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)的比是2：3，面積是12cm2，則它的周長(zhǎng)為_(kāi)__________．

8.

如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，添加一個(gè)條件___________，可使它成為矩形．

三．解答題（共7小題,計(jì)58分）

1.三角形中位線定理，是我們非常熟悉的定理．

①請(qǐng)你在下面的橫線上，完整地?cái)⑹龀鲞@個(gè)定理：______．

②根據(jù)這個(gè)定理畫出圖形，寫出已知和求證，并對(duì)該定理給出證明．

2.（1）順次連接菱形的四條邊的中點(diǎn)，得到的四邊形是______．

（2）順次連接矩形的四條邊的中點(diǎn)，得到的四邊形是______．

（3）順次連接正方形的四條邊的中點(diǎn)，得到的四邊形是______．

（4）小青說(shuō)：順次連接一個(gè)四邊形的各邊的中點(diǎn)，得到的一個(gè)四邊形如果是正方形，那么原來(lái)的四邊形一定是正方形，這句話對(duì)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．

如圖所示，在菱形ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，E，F(xiàn)為垂足，AE=ED，求∠EBF的度數(shù)．

如圖所示，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，過(guò)頂點(diǎn)C作CE∥BD，交A孤延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，求證：AC=CE．

5.如圖所示，在矩形ABCD中，AB=8，AD=10，將矩形沿直線AE折疊，頂點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F處，求CE的長(zhǎng)．

6.已知菱形對(duì)角線BD=4，∠BAD：∠ADC=1：2，求：菱形面積及對(duì)角線AC的長(zhǎng)。

7.如圖，正方形ABCD中，P為對(duì)角線BD上一點(diǎn)（P點(diǎn)不與B、D重合），PE⊥BC于E，PF⊥DC于F，連接EF，猜想AP與EF的關(guān)系并證明你的結(jié)論.

---------答題卡---------一．單選題

1.答案：D

1.解釋：

分析：根據(jù)∠EDC：∠EDA=1：3，可得∠EDC=22.5°，∠EDA=67.5°，再由AC=10，求得DE．

解答：解：∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠ADC=90°，AC=BD=10，OA=OC=AC=5，OB=OD=BD=5，

∴OC=OD，

∴∠ODC=∠OCD，

∵∠EDC：∠EDA=1：3，∠EDC+∠EDA=90°，

∴∠EDC=22.5°，∠EDA=67.5°，

∵DE⊥AC，

∴∠DEC=90°，

∴∠DCE=90°-∠EDC=67.5°，

∴∠ODC=∠OCD=67.5°，

∴∠ODC+∠OCD+∠DOC=180°，

∴∠COD=45°，

∴OE=DE，

∵OE2+DE2=OD2，

∴（2DE）2=OD2=25，

∴DE=，

故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了勾股定理和矩形的性質(zhì)，是一道中等題．

2.答案：D

2.解釋：

分析：利用△DAO與△DEA相似，對(duì)應(yīng)邊成比例即可求解．

解答：解：∠DOA=90°，∠DAE=90°，∠ADE是公共角，∠DAO=∠DEA

∴△DAO∽△DEA

∴

即

∵AE=AD

∴

故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題的關(guān)鍵是利用相似三角形中的相似比，再利用中點(diǎn)和正方形的性質(zhì)求得它們的比值．

3.答案：C

3.解釋：

分析：根據(jù)折疊的性質(zhì)求∠EAD′，再在Rt△EAD′中求∠AED′．

解答：解：根據(jù)題意得：∠DAE=∠EAD′，∠D=∠D′=90°．

∵∠BAD′=30°，

∴∠EAD′=（90°-30°）=30°．

∴∠AED′=90°-30°=60°．

故選C．

點(diǎn)評(píng)：已知圖形的折疊，就是已知圖形全等，就可以得到一些相等的角．

4.答案：C

4.解釋：

分析：根據(jù)題意，該四邊形的對(duì)角線互相垂直平分且相等．

解答：解：因?yàn)槠叫兴倪呅螌?duì)角線互相平分，繞著它的對(duì)角線的交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°，能夠與它本身重合，說(shuō)明對(duì)角線互相垂直平分且相等，所以該四邊形是正方形．

故選C．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了平行四邊形的性質(zhì)及與特殊四邊形的關(guān)系，屬基礎(chǔ)題．解題時(shí)要根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)解答．

5.答案：C

5.解釋：

分析：設(shè)B′C′與CD的交點(diǎn)是E，連接AE，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得到AD=AB′，∠DAB′=60°，根據(jù)三角函數(shù)可求得B′E的長(zhǎng)，從而求得△ADE的面積，進(jìn)而求出陰影部分的面積．

解答：解：設(shè)B′C′與CD的交點(diǎn)是E，連接AE

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AD=AB′，∠DAB′=60°．

在直角三角形ADE和直角三角形AB′E中，

∵，

∴△ADE≌△AB′E（HL），

∴∠B′AE=30°，

∴B′E=A′Btan∠B′AE=1×tan30°=，

∴S△ADE=，

∴S四邊形ADEB′=，

∴陰影部分的面積為1-．

故選C．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，解答此題要特別注意根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到相等的線段、相等的角．

6.答案：B

6.解釋：

分析：由旋轉(zhuǎn)前后的對(duì)應(yīng)角相等可知，∠DFC=∠BEC=60°；一個(gè)特殊三角形△ECF為等腰直角三角形，可知∠EFC=45°，把這兩個(gè)角作差即可．

解答：解：∵△BCE繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到△DCF，

∴CE=CF，∠DFC=∠BEC=60°，∠EFC=45°，

∴∠EFD=60°-45°=15°．

故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)變化前后，對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變．要注意旋轉(zhuǎn)的三要素：①定點(diǎn)-旋轉(zhuǎn)中心；②旋轉(zhuǎn)方向；③旋轉(zhuǎn)角度．

7.答案：A

7.解釋：

分析：根據(jù)菱形的對(duì)角線性質(zhì)求邊長(zhǎng)后計(jì)算周長(zhǎng)．

解答：解：如圖，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6．

∵ABCD為菱形，

∴AC⊥BD，BO=3，AO=4．

∴AB=5．

∴周長(zhǎng)=4×5=20．

故選A．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了菱形的性質(zhì)：對(duì)角線互相垂直且平分；四邊相等．屬基礎(chǔ)題．

8.答案：A

8.解釋：

分析：根據(jù)正方形的對(duì)角線的性質(zhì)，可得∠ACD=∠ACB=45°，進(jìn)而可得∠ACE的大小，再根據(jù)三角形外角定理，結(jié)合CE=AC，易得∠CEF=22.5°，再由三角形外角定理可得∠AFC的大小．

解答：解：AC是正方形的對(duì)角線，

∴∠ACD=∠ACB=45°，

∴∠ACE=∠ACD+∠DCE=135°，

又∵CE=AC

∴∠CEF=22.5°，

∴∠AFC=90°+22.5°=112.5°；

故選A．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了正方形的對(duì)角線平分對(duì)角的性質(zhì)．

9.答案：B

9.解釋：

分析：先根據(jù)菱形的鄰角互補(bǔ)求出∠BAD的度數(shù)，再根據(jù)菱形的對(duì)角線平分一組對(duì)角求出∠BAO的度數(shù)，然后根據(jù)直角三角形兩銳角互余列式計(jì)算即可得解．

解答：解：在菱形ABCD中，∠ADC=130°，

∴∠BAD=180°-130°=50°，

∴∠BAO=∠BAD=×50°=25°，

∵OE⊥AB，

∴∠AOE=90°-∠BAO=90°-25°=65°．

故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了菱形的鄰角互補(bǔ)，每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

10.答案：C

10.解釋：

分析：運(yùn)用割補(bǔ)法把原四邊形轉(zhuǎn)化為正方形，求出BE的長(zhǎng)．

解答：解：過(guò)B點(diǎn)作BF⊥CD，與DC的延長(zhǎng)線交于F點(diǎn)，

則有△BCF≌△BAE（AAS），

則BE=BF，S四邊形ABCD=S正方形BEDF=8，

∴BE==．

故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題運(yùn)用割補(bǔ)法把原四邊形轉(zhuǎn)化為正方形，其面積保持不變，所求BE就是正方形的邊長(zhǎng)了；也可以看作將三角形ABE繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的圖形．

二．填空題

1.答案：答案為5．

1.解釋：

分析：設(shè)另一條對(duì)角線長(zhǎng)為x，然后根據(jù)菱形的面積計(jì)算公式列方程求解即可．

解答：解：設(shè)另一條對(duì)角線長(zhǎng)為xcm，則×12x=30，解之得x=5．

故答案為5．

點(diǎn)評(píng)：主要考查菱形的面積公式：兩條對(duì)角線的積的一半．

2.答案：7．

2.解釋：

分析：根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直平分，知點(diǎn)B和點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱．連接DE交AC于點(diǎn)P，則P即是所求作的點(diǎn)，且PE+PB的最小值即是DE的長(zhǎng)．

解答：解：過(guò)D點(diǎn)作DF⊥AB于F，

∵∠BAD=60°，∴△ABD是等邊三角形，

∴AF=BF，

在Rt△ADF中，AD=AB=AE+BE=8，AF=AB=4．

∴DF===4，

在Rt△EDF中，EF=AF-AE=1，

∴DE===7．

∴PE+PB的最小值是7．

故答案為：7．

點(diǎn)評(píng)：此題首先要能夠正確找到點(diǎn)P的位置：作其中一個(gè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接這點(diǎn)和另一點(diǎn)，與對(duì)角線的交點(diǎn)即P的位置．再根據(jù)勾股定理進(jìn)行求解．

3.答案：4．

3.解釋：

分析：因?yàn)橹苯侨切涡边吷系闹芯€等于斜邊的一半，所以可以求出斜邊的長(zhǎng)，進(jìn)而利用三角形中位線定理可求它的兩條直角邊中點(diǎn)的連線長(zhǎng)．

解答：解：因?yàn)橹苯侨切涡边吷系闹芯€等于斜邊的一半，

所以斜邊的長(zhǎng)為2×4=8cm，

所以它的兩條直角邊中點(diǎn)的連線長(zhǎng)為×8=4cm．

故答案為：4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)和三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．

4.答案：答案為．

4.解釋：

分析：根據(jù)長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，求解即可．

解答：解：長(zhǎng)方形的面積為×=cm2．

故答案為．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是矩形的面積公式，難度簡(jiǎn)單．

5.答案：答案為24cm2．

5.解釋：

分析：依題意，根據(jù)矩形的性質(zhì)可求出AE，BE的長(zhǎng)，然后陰影部分面積為矩形面積減去一個(gè)平行四邊形的面積．

解答：解：因?yàn)锳D=12cm，AB=7cm，且AE：BE=5：2，則AE=5，BE=2，

則陰影部分的面積=12×7-12×5=24cm2．

故答案為24cm2．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查學(xué)生對(duì)矩形兩組對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的性質(zhì)的掌握情況，做這類題時(shí)還需仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)題中隱含的條件．

6.答案：答案為2．

6.解釋：

分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)，對(duì)角線平分、相等、垂直且平分每一組對(duì)角求解即可．

解答：解：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AO=BO=AC=1cm，∠AOB=90°，

由勾股定理得，AB=cm，

S正=（）2=2cm2．

故答案為2．

點(diǎn)評(píng)：考查正方形的性質(zhì)，對(duì)角線平分、相等、垂直且平分每一組對(duì)角．

7.答案：4．

7.解釋：

分析：設(shè)對(duì)角線的長(zhǎng)分別為2x，3x，再根據(jù)其面積為12cm2，即可求出x的值，利用勾股定理求出菱形的邊長(zhǎng)，從而求出周長(zhǎng)．

解答：解：如圖，設(shè)對(duì)角線的長(zhǎng)分別為2x，3x，

∴=12，

解得：x=2，

即BD=4，AC=6，

在Rt△AOB中，AB===．

所以菱形的周長(zhǎng)為4cm．

故答案為：4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的性質(zhì)，要求熟練掌握菱形的性質(zhì)，能夠求解一些簡(jiǎn)單的計(jì)算問(wèn)題．

8.答案：添加條件∠A,B,C=90°或A,C=B,D

故∠A,B,C=90°或A,C=B,D

8.解釋：

分析：根據(jù)矩形的判定定理：①對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，②有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，直接添加條件即可．

解答：解：根據(jù)矩形的判定定理：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形

故添加條件：∠ABC=90°或AC=BD．

故答案為：∠ABC=90°或AC=BD．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了矩形的判定定理，熟練掌握判定定理是解題的關(guān)鍵．

三．主觀題

1.答案：答案為三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半．

1.解釋：

分析：（1）能夠準(zhǔn)確敘述三角形的中位線定理；

（2）證明一個(gè)定理，首先要正確畫出圖形，根據(jù)圖形寫出已知，求證，再根據(jù)學(xué)過(guò)的定理進(jìn)行證明即可．

解答：解：（1）三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半．

（2）已知：DE是△ABC的中位線，

求證：DE∥BC，DE=BC．

證明：延長(zhǎng)DE到F，使EF=DE，連接CF．

∵AE=CE，∠AED=∠CEF，

∴△ADE≌△CEF．

∴AD=CF，∠ADE=∠CFE．

∴AD∥CF．

∵AD=BD，

∴BD=CF．

∴四邊形BCFD是平行四邊形．

∴DE∥BC，DE=BC．

故答案為三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半．

點(diǎn)評(píng)：考查了三角形中位線定理的敘述及其證明．對(duì)于一個(gè)定理，要知其然，且知其所以然．

2.答案：答案為矩形，菱形，正方形，不正確．

2.解釋：

分析：（1）根據(jù)菱形的判定方法，對(duì)題中條件進(jìn)行分析；

（2）根據(jù)矩形的判定方法，對(duì)題中條件進(jìn)行分析；

（3）根據(jù)正方形的判定方法，對(duì)題中條件進(jìn)行分析；

（4）不正確．舉出反例進(jìn)行說(shuō)明．

解答：解：（1）新四邊形的兩組對(duì)邊分別平行于菱形的兩條對(duì)角線，菱形的兩條對(duì)角線是互相垂直的，那么新四邊形的兩組對(duì)邊分別平行，鄰邊垂直，那么新四邊形為矩形；

（2）被四條邊分割出來(lái)的四個(gè)三角形是全等三角形，所以四條邊相等，那么新四邊形為菱形；

（3）由題意可知原四邊形對(duì)角線垂直且相等，所以新四邊形為正方形；

（4）小青說(shuō)的不正確．如圖，

四邊形ABCD中AC⊥BD，AC=BD，BO≠DO，E、F、G、H分別為AD、AB、BC、CD的中點(diǎn)

顯然四邊形ABCD不是正方形．

∴小青的說(shuō)法是錯(cuò)誤的．

故答案為矩形，菱形，正方形，不正確．

點(diǎn)評(píng)：本題考查菱形的判定、矩形的判定、三角形中位線性質(zhì)和正方形的判定．解答此類題的關(guān)鍵是要突破思維定勢(shì)的障礙，運(yùn)用發(fā)散思維，多方思考，探究問(wèn)題在不同條件下的不同結(jié)論，挖掘它的內(nèi)在聯(lián)系．

3.答案：

60°

3.解釋：

60°

【解析】

試題分析：依題意，首先推出△ABD是等邊三角形，然后可知∠A=60°，∠EBF+∠D=180°，∠D+∠A=180°，故可得∠EBF=∠A=60°．

如圖，連接BD．

∵BE⊥AD，AE=ED，

∴BD=AB=AD，

∴△ABD是等邊三角形，

∴∠A=60°，

又∵BE⊥AD，BF⊥CD，

∴∠BED+∠BFD=180°，

∴∠D+∠EBF=180°，

又∵∠D+∠A=180°，

∴∠EBF=∠A=60°．

考點(diǎn)：本題考查的是菱形的性質(zhì)

點(diǎn)評(píng)：解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握：（1）中垂線的性質(zhì)；（2）菱形的兩個(gè)鄰角互補(bǔ)；（3）同角的補(bǔ)角相等；（4）菱形的四邊相等．

4.答案：

見(jiàn)解析

4.解釋：

見(jiàn)解析

【解析】

試題分析：由矩形的性質(zhì)，可得AC=BD，欲求AC=CE，證BD=CE即可．可通過(guò)證四邊形BDEC是平行四邊形，從而得出BD=CE的結(jié)論．

在矩形ABCD中，AC=BD，AD∥BC，

又∵CE∥DB，

∴四邊形BDEC是平行四邊形．

∴BD=EC．

∴AC=CE．

考點(diǎn)：此題主要考查了矩形的性質(zhì)及平行四邊形的判定和性質(zhì)

點(diǎn)評(píng)：解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握矩形的兩組對(duì)邊分別平行，矩形的對(duì)角線相等.

5.答案：

3

5.解釋：

3

【解析】

試題分析：在△ABF中，利用勾股定理可求得BF的長(zhǎng)，進(jìn)而可求得CF長(zhǎng)；同理在△CEF中，利用勾股定理可求得CE長(zhǎng)．

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠B=∠C=90°，AD=BC=10，CD=AB=8．

∵△AEF是△ADE翻折得到的，

∴AF=AD=10，EF=DE，

∴BF=6，

∴FC=4，

∵FC2+CE2=EF2，

∴42+CE2=（8-CE）2，

解得CE=3．

考點(diǎn)：本題主要考查矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理