2022年度四川省樂山市吳場鎮(zhèn)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析

2022年度四川省樂山市吳場鎮(zhèn)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.（5分）（2015?濟(jì)寧一模）已知拋物線y=x2與雙曲線﹣x2=1（a＞0）有共同的焦點(diǎn)F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P在x軸上方且在雙曲線上，則?的最小值為（）A．2﹣3B．3﹣2C．D．參考答案：B【專題】：計(jì)算題；平面向量及應(yīng)用；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】：求出拋物線的焦點(diǎn)，即有雙曲線的c=2，進(jìn)而得到雙曲線的方程，設(shè)P（m，n），（n），則n2﹣3m2=3，再由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，化簡整理成關(guān)于n的方程，再由二次函數(shù)的最值求法，即可得到最小值．解：拋物線y=x2的焦點(diǎn)F為（0，2），則雙曲線﹣x2=1的c=2，則a2=3，即雙曲線方程為=1，設(shè)P（m，n），（n），則n2﹣3m2=3，則?=（m，n）?（m，n﹣2）=m2+n2﹣2n=﹣1+n2﹣2n=﹣2n﹣1=（n﹣）2﹣，2.已知不共線的向量，則=（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】向量的模．【分析】由已知結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算可得?=5，代入運(yùn)算可得|﹣|2的值，求其算術(shù)平方根即得．【解答】解：∵||=2，||=3，?（﹣）=1，∴?﹣2=?﹣4=1，∴?=5，∴|﹣|2=2﹣2?+2=4﹣2×5+9=3，∴|﹣|=，故選：A．3.若loga2＜0，2b＞1，則（

）A．0<a<1，b＞0B．a(chǎn)＞1，b＜0C．a(chǎn)>1，b＞0D．0＜a＜1，b＜0參考答案：A4.若函數(shù)的圖象如右圖所示，則下列函數(shù)圖象正確的是(

)

參考答案：B略5.已知函數(shù)，當(dāng)時(shí),，若在區(qū)間內(nèi)，有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D6.已知是第二象限角，且的值為（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：C略7.右圖是一個(gè)幾何體的三視圖，其中俯視圖中的曲線為四分之一圓，則該幾何體的表面積為（

）A．3

B．

C．4

D．參考答案：C考點(diǎn)：三視圖．【方法點(diǎn)睛】思考三視圖還原空間幾何體首先應(yīng)深刻理解三視圖之間的關(guān)系，遵循“長對(duì)正，高平齊，寬相等”的基本原則，其內(nèi)涵為正視圖的高是幾何體的高，長是幾何體的長；俯視圖的長是幾何體的長，寬是幾何體的寬；側(cè)視圖的高是幾何體的高，寬是幾何體的寬.由三視圖畫出直觀圖的步驟和思考方法：1、首先看俯視圖，根據(jù)俯視圖畫出幾何體地面的直觀圖；2、觀察正視圖和側(cè)視圖找到幾何體前、后、左、右的高度；3、畫出整體，然后再根據(jù)三視圖進(jìn)行調(diào)整.8.把函數(shù)y＝cos2x＋1的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，然后向左平移1個(gè)單位長度，再向下平移1個(gè)單位長度，得到的圖像是（

）參考答案：A略9.（5分）已知函數(shù)f（x）=3sin（ωx﹣）（ω＞0）和g（x）=2cos（2x+φ）+1的圖象的對(duì)稱軸完全相同，若x∈[0，]，則f（x）的取值范圍是（）A．[﹣3，3]B．[﹣，]C．[﹣，]D．[﹣，2]參考答案：D【考點(diǎn)】：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式．【專題】：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】：先根據(jù)函數(shù)f（x）=3sin（ωx﹣）和g（x）=2cos（2x+φ）+1的圖象的對(duì)稱軸完全相同確定ω的值，再由x的范圍確定ωx﹣的范圍，最后根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得到答案解：由題意可得ω=2，∵x∈[0，]，∴ωx﹣=2x﹣∈[﹣，]，由三角函數(shù)圖象知：f（x）的最小值為3sin（﹣）=﹣，最大值為3sin=3，所以f（x）的取值范圍是[﹣，3]，故選：D【點(diǎn)評(píng)】：本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題10.某幾何體的三視圖如圖所示，當(dāng)這個(gè)幾何體的體積最大時(shí)，以下結(jié)果正確的是A.

B.

C.

D.參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)，則=

參考答案：12.若函數(shù)f(x)=在(0，3)上單調(diào)遞增，則a∈

。參考答案：答案：

13.設(shè)平面向量與向量互相垂直，且，若，則

．參考答案：5由平面向量與向量互相垂直可得所以，又，故答案為.

14.數(shù)列為正項(xiàng)等比數(shù)列，若，且，則此數(shù)列的前4項(xiàng)和

．參考答案：15.設(shè)為定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，（為常數(shù)），則

參考答案：16.已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則x2+y2的最小值是．參考答案：【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃．【分析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，設(shè)z=x2+y2，利用z的幾何意義，即可得到結(jié)論．【解答】解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：設(shè)z=x2+y2，則z的幾何意義是區(qū)域到原點(diǎn)距離，由圖象可知當(dāng)直線x+y﹣3=0與圓相切時(shí)，此時(shí)距離最短，d=，即z=d2=故答案為：17.拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知，函數(shù)(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若是的極值點(diǎn)，且曲線在兩點(diǎn)，處的切線互相平行，這兩條切線在y軸上的截距分別為、，求的取值范圍.參考答案：（1）見解析；（2）【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的關(guān)系即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，（2）由x＝2是f（x）的極值點(diǎn)，以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可求出相對(duì)應(yīng)的切線方程，根據(jù)切線平行可得，同理，．求出b1﹣b2，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)，即可求出b1﹣b2的取值范圍【詳解】（1），①當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）＜0在x∈（0，+∞）上恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；②當(dāng)a＞0時(shí)，時(shí)f'（x）＜0，時(shí)，f'（x）＞0，即f（x）在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；（2）∵x=2是f（x）的極值點(diǎn)，∴由（1）可知，∴a=1，設(shè)在P（x1，f（x1））處的切線方程為，在Q（x2，f（x2））處的切線方程為∴若這兩條切線互相平行，則，∴∵，且0＜x1＜x2＜6，∴，∴，∴x1∈（3，4）令x=0，則，同理，．【解法一】∵，∴設(shè)，∴∴g（x）在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴即b1-b2的取值范圍是．【解法二】∵，∴令，其中x∈（3，4）∴∴函數(shù)g（x）在區(qū)間（3，4）上單調(diào)遞增，∴∴b1-b2的取值范圍是．【解法三】∵x1?x2=2（x1+x2），∴設(shè)，則∵，∴g'（x）＞0，∴函數(shù)g（x）在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴，∴b1-b2的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)，以導(dǎo)數(shù)為工具研究函數(shù)的方法，考查學(xué)生解決問題的綜合能力，屬于難題19.已知函數(shù)f（x）=lnx+ax，a∈R．（I）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（Ⅱ）若函數(shù)f（x）的兩個(gè)零點(diǎn)為x1，x2，且，求證：．參考答案：【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】計(jì)算題；規(guī)律型；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；構(gòu)造法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）求出函數(shù)f（x）=lnx+ax，a∈R的定義域與導(dǎo)數(shù)，通過a≥0，a＜0，利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．（Ⅱ）利用lnx1+ax1=0，lnx2+ax2=0，推出lnx2﹣lnx1=a（x1﹣x2），通過化簡所證明的不等式，結(jié)合，，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，推出?（t）在[e2，+∞）上單調(diào)增，推出結(jié)果即可．【解答】解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=lnx+ax，a∈R的定義域?yàn)閧x|x＞0}，，（1）a≥0，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)增；在上單調(diào)增；在上單調(diào)減．…（Ⅱ）∵lnx1+ax1=0，lnx2+ax2=0，∴l(xiāng)nx2﹣lnx1=a（x1﹣x2）=令，令，則令，令，則，∴?（t）在[e2，+∞）上單調(diào)增，…．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及構(gòu)造法的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，難度比較大．20.已知數(shù)列滿足．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）對(duì)任意給定的，是否存在（）使成等差數(shù)列？若存在，用分別表示和（只要寫出一組）；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）證明：存在無窮多個(gè)三邊成等比數(shù)列且互不相似的三角形，其邊長為．參考答案：（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

所以；綜上所述，．

………………3分

（2）當(dāng)時(shí)，若存在p，r使成等差數(shù)列，則，因?yàn)?，所以，與數(shù)列為正數(shù)相矛盾，因此，當(dāng)時(shí)不存在；…5分

當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，所以，………7分

令，得，此時(shí)，，

所以，，

所以；綜上所述，當(dāng)時(shí)，不存在p，r；當(dāng)時(shí)，存在滿足題設(shè).…………10分（3）作如下構(gòu)造：，其中，它們依次為數(shù)列中的第項(xiàng)，第項(xiàng)，第項(xiàng)，……12分顯然它們成等比數(shù)列，且，，所以它們能組成三角形．由的任意性，這樣的三角形有無窮多個(gè)．

……14分下面用反證法證明其中任意兩個(gè)三角形和不相似：若三角形和相似，且，則，整理得，所以，這與條件相矛盾，因此，任意兩個(gè)三角形不相似．故命題成立．

……16分

注1．第（2）小題當(dāng)ak不是質(zhì)數(shù)時(shí)，p，r的解不唯一；2.

第（3）小題構(gòu)造的依據(jù)如下：不妨設(shè)，且符合題意，則公比>1，因，又，則，所以，因?yàn)槿?xiàng)均為整數(shù)，所以為內(nèi)的既約分?jǐn)?shù)且含平方數(shù)因子，經(jīng)驗(yàn)證，僅含或時(shí)不合，所以；

3．第（3）小題的構(gòu)造形式不唯一．略21.（12分）（2015?梅州二模）已知函數(shù)f（x）=xe﹣x（x∈R）．（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）已知函數(shù)y=g（x）的圖象與函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，證明當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞g（x）．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．

【專題】綜合題；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．【分析】（1）求導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可求函數(shù)的極值；（2）構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）﹣g（x），證明函數(shù)F（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，即可證得結(jié)論．【解答】（1）解：求導(dǎo)函數(shù)，f′（x）=（1﹣x）e﹣x，令f′（x）=0，解得x=1由f′（x）＞0，可得x＜1；由f′（x）＜0，可得x＞1∴函數(shù)在（﹣∞，1）上是增函數(shù)，在（1，+∞）上是減函數(shù)∴函數(shù)在x=1時(shí)取得極大值f（1）=；（2）證明：由題意，g（x）=f（2﹣x）=（2﹣x）ex﹣2，令F（x）=f（x）﹣g（x），即F（x）=xe﹣x﹣（2﹣x）ex﹣2，∴F′（x）=（x﹣1）（e2x﹣2﹣1）e﹣x，當(dāng)x＞1時(shí)，2x﹣2＞0，∴e2x﹣2﹣1＞0，∵e﹣x，＞0，∴F′（x）＞0，∴函數(shù)F（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)∵F（1）=0，∴x＞1時(shí)，F(xiàn)（x）＞F（1）=0∴當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞g（x）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查不等式的證明，構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵．22.（本小題滿分14分）若函數(shù)對(duì)任意的實(shí)數(shù)，，均有，則稱函數(shù)是區(qū)間上的“平緩函數(shù)”.ks5u(1)判斷和是不是實(shí)數(shù)集R上的“平緩函數(shù)”，并說明理由；(2)若數(shù)列對(duì)所有的正整數(shù)都有，設(shè),求證：.參考答案：（本小題主要考查函數(shù)、絕對(duì)值不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查函數(shù)與方程、分類與整合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力、創(chuàng)新意識(shí)）(1)解：是R上的“平緩函數(shù)”，但不是區(qū)間R的“平緩函數(shù)”；設(shè)，則,則是實(shí)數(shù)集R上的增函數(shù)，不妨設(shè)，則，即，

則.

①

……………1分又也是R上的增函數(shù)，則，

即，

②

……………2分由①、②得

.

因此,，對(duì)都成立.

……………3分當(dāng)時(shí)，同理有成立又當(dāng)時(shí)，不等式，故對(duì)任意的實(shí)數(shù)，R,均有.因此是R上的“平緩函數(shù)”.

……………5分由于