條件概率與乘法公式

第四節(jié)條件概率與乘法公式

在解決許多概率問(wèn)題時(shí)，往往需要在有某些附加信息(條件)下求事件的概率.一、條件概率1.條件概率的概念如在事件B發(fā)生的條件下求事件A發(fā)生的概率，將此概率記作P(A|B).一般P(A|B)≠P(A)

P(A)=1/6，例如，擲一顆均勻骰子，A={擲出2點(diǎn)}，

B={擲出偶數(shù)點(diǎn)}，P(A|B)=？擲骰子已知事件B發(fā)生，此時(shí)試驗(yàn)所有可能結(jié)果構(gòu)成的集合就是B，于是P(A|B)=1/3.B中共有3個(gè)元素，它們的出現(xiàn)是等可能的，其中只有1個(gè)在集A中，容易看到P(A|B)P(A)=3/10，又如，10件產(chǎn)品中有7件正品，3件次品，7件正品中有3件一等品，4件二等品.現(xiàn)從這10件中任取一件，記

B={取到正品}A={取到一等品}，P(A|B)P(A)=3/10，

B={取到正品}P(A|B)=3/7本例中，計(jì)算P(A)時(shí)，依據(jù)的前提條件是10件產(chǎn)品中一等品的比例.A={取到一等品}，計(jì)算P(A|B)時(shí)，這個(gè)前提條件未變，只是加上“事件B已發(fā)生”這個(gè)新的條件.這好象給了我們一個(gè)“情報(bào)”，使我們得以在某個(gè)縮小了的范圍內(nèi)來(lái)考慮問(wèn)題.

若事件B已發(fā)生,則為使A也發(fā)生,試驗(yàn)結(jié)果必須是既在B中又在A中的樣本點(diǎn),即此點(diǎn)必屬于AB.由于我們已經(jīng)知道B已發(fā)生,故B變成了新的樣本空間,于是有(1).設(shè)A、B是兩個(gè)事件，且P(B)>0,則稱(1)2.條件概率的定義為在事件B發(fā)生的條件下,事件A的條件概率.3.條件概率的計(jì)算P(B)>0例1.一個(gè)家庭中有兩個(gè)小孩，已知其中有一個(gè)是男孩，問(wèn)：另一個(gè)也是男孩的概率是多少？若已知第一胎是男孩，則第二胎也是男孩的概率？由條件概率的定義：即若P(B)>0,則P(AB)=P(B)P(A|B)(2)而P(AB)=P(BA)二、乘法公式若已知P(B),P(A|B)時(shí),可以反求P(AB).將A、B的位置對(duì)調(diào)，有故P(A)>0,則P(AB)=P(A)P(B|A)(3)若

P(A)>0,則P(BA)=P(A)P(B|A)(2)和(3)式都稱為乘法公式,利用它們可計(jì)算兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率可推廣到n個(gè)事件例5.假設(shè)某人在森林中第1次丟下煙頭不引起火災(zāi)的概率是(,一般很小)；第1次沒(méi)引起火災(zāi)后，第2次丟下煙頭不引起火災(zāi)的概率是；…；前j-1次沒(méi)引起火災(zāi)后，第j次丟下煙頭不引起火災(zāi)的概率是；…。求他n次丟下煙頭至少有一次引起火災(zāi)的概率.例如甲、乙兩廠共同生產(chǎn)1000個(gè)零件，其中300件是乙廠生產(chǎn)的.而在這300個(gè)零件中，有189個(gè)是標(biāo)準(zhǔn)件，現(xiàn)從這1000個(gè)零件中任取一個(gè)，問(wèn)這個(gè)零件是乙廠生產(chǎn)的標(biāo)準(zhǔn)件的概率是多少？所求為P(AB).甲、乙共生產(chǎn)1000個(gè)189個(gè)是標(biāo)準(zhǔn)件300個(gè)乙廠生產(chǎn)設(shè)B={零件是乙廠生產(chǎn)}A={是標(biāo)準(zhǔn)件}所求為P(AB).設(shè)B={零件是乙廠生產(chǎn)}A={是標(biāo)準(zhǔn)件}若改為“發(fā)現(xiàn)它是乙廠生產(chǎn)的,問(wèn)它是標(biāo)準(zhǔn)件的概率是多少?”求的是P(A|B).B發(fā)生,在P(AB)中作為結(jié)果;在P(A|B)中作為條件.甲、乙共生產(chǎn)1000個(gè)189個(gè)是標(biāo)準(zhǔn)件300個(gè)乙廠生產(chǎn)例2.已知某品牌的小轎車(chē)行駛到40000km還能正常行駛的概率是0.95，行駛到60000km

還能正常行駛的概率是0.8，問(wèn)：已經(jīng)行駛了40000km的該品牌小轎車(chē)還能繼續(xù)行駛到60000km的概率是多少？A:小轎車(chē)行駛到40000km還能正常行駛B:小轎車(chē)行駛到60000km還能正常行駛一場(chǎng)精彩的足球賽將要舉行，5個(gè)球迷好不容易才搞到一張入場(chǎng)券.大家都想去,只好用抽簽的方法來(lái)解決.

入場(chǎng)券5張同樣的卡片，只有一張上寫(xiě)有“入場(chǎng)券”，其余的什么也沒(méi)寫(xiě).將它們放在一起，洗勻，讓5個(gè)人依次抽取.“先抽的人當(dāng)然要比后抽的人抽到的機(jī)會(huì)大.”后抽比先抽的確吃虧嗎？

到底誰(shuí)說(shuō)的對(duì)呢？讓我們用概率論的知識(shí)來(lái)計(jì)算一下,每個(gè)人抽到“入場(chǎng)券”的概率到底有多大?“大家不必爭(zhēng)先恐后，你們一個(gè)一個(gè)按次序來(lái)，誰(shuí)抽到‘入場(chǎng)券’的機(jī)會(huì)都一樣大.”“先抽的人當(dāng)然要比后抽的人抽到的機(jī)會(huì)大?！崩?.設(shè)10件產(chǎn)品中有4件不合格品,現(xiàn)從中連續(xù)抽取兩次,每次一件,問(wèn)第二次取到合格品的概率為多少?

例.

袋中有a只黑球，b只白球，他們除顏色不同外，其他方面沒(méi)有差別，現(xiàn)在把球隨機(jī)地一只只摸出，求第k次摸出一只球是黑球的概率（1≤k≤a+b)三.全概率公式:定義1.4.2完備事件組:如果事件滿足

則稱事件構(gòu)成一個(gè)完備事件組.其含義是在每次試驗(yàn)中必然發(fā)生而且僅有A1,A2

,…An中的一個(gè)事件發(fā)生。特別，n=2時(shí)，A1和A2就是對(duì)立事件。

設(shè)A1,A2,…,An是兩兩互斥的事件，且P(Ai)>0，i=1,2,…,n,另有一事件B,它總是與A1,A2,…,An之一同時(shí)發(fā)生，則定理1.4.2(全概率公式)例4.某人準(zhǔn)備報(bào)名駕校學(xué)車(chē)，他選甲、乙、丙三所駕校的概率分別為0.5、0.3、0.2，已知甲、乙、丙三所駕校的學(xué)生能順利通過(guò)駕考的概率分別為0.7、0.9、0.75，

(1)求此人順利通過(guò)駕考的概率。

(2)如果順利通過(guò)駕考，求此人是報(bào)名乙這所駕校的概率。例9.試卷中有一道選擇題，共有m個(gè)答案可供選擇，其中只有一個(gè)答案是正確的，任一考生如果會(huì)解這道題，則一定能選出正確答案，如果不會(huì)解這道題，也可能通過(guò)試猜而選中正確答案，其概率是，設(shè)考生會(huì)解這道題的概率是p，求：（1）考生選出正確答案的概率；（2）考生在選出正確答案的前提下，確實(shí)會(huì)解這道題的概率。例11.某股票今天有利好消息、有利空消息、既無(wú)利好也無(wú)利空消息的概率分別為0.6、0.2、0.2，已知有利好消息、有利空消息、既無(wú)利好也無(wú)利空消息的情況下該股票今天會(huì)上漲的概率分別為0.8、0.3、0.5。現(xiàn)已知該股票今天上漲，求它今天有利好消息的概率。該公式于1763年由貝葉斯(Bayes)給出.它是在觀察到事件B已發(fā)生的條件下，尋找導(dǎo)致B發(fā)生的每個(gè)原因的概率.定理1.4.3(貝葉斯公式)：

設(shè)A1,A2,…,An是兩兩互斥的事件，且P(Ai)>0，i=1,2,…,n,另有一事件B，它總是與A1,A2,…,An之一同時(shí)發(fā)生，則貝葉斯公式在實(shí)際中有很多應(yīng)用，它可以幫助人們確定某結(jié)果（事件B）發(fā)生的最可能原因.

經(jīng)常稱上述的P(A1)，P(A2)等為先驗(yàn)概率，稱P(A1|B)等為后驗(yàn)概率。例6某一地區(qū)患有癌癥的人占0.005，患者對(duì)一種試驗(yàn)反應(yīng)是陽(yáng)性的概率為0.95，正常人對(duì)這種試驗(yàn)反應(yīng)是陽(yáng)性的概率為0.04，現(xiàn)抽查了一個(gè)人，試驗(yàn)反應(yīng)是陽(yáng)性，問(wèn)此人是癌癥患者的概率有多大?則表示“抽查的人不患癌癥”.已知

P(C)=0.005,P()=0.995,

P(A|C)=0.95,P(A|)=0.04求解如下:設(shè)C={抽查的人患有癌癥}，

A={試驗(yàn)結(jié)果是陽(yáng)性}，求P(C|A).現(xiàn)在來(lái)分析一下結(jié)果的意義.由貝葉斯公式，可得代入數(shù)據(jù)計(jì)算得:

P(C｜A)=0.10662.檢出陽(yáng)性是否一定患有癌癥?

1.這種試驗(yàn)對(duì)于診斷一個(gè)人是否患有癌癥有無(wú)意義？如果不做試驗(yàn),抽查一人,他是患者的概率

P(C)=0.005

患者陽(yáng)性反應(yīng)的概率是0.95，若試驗(yàn)后得陽(yáng)性反應(yīng)，則根據(jù)試驗(yàn)得來(lái)的信息，此人是患者的概率為P(C｜A)=0.1066說(shuō)明這種試驗(yàn)對(duì)于診斷一個(gè)人是否患有癌癥有意義.從0.005增加到0.1066,將近增加約21倍.1.這種試驗(yàn)對(duì)于診斷一個(gè)人是否患有癌癥有無(wú)意義？2.檢出陽(yáng)性是否一定患有癌癥?

試驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性,此人確患癌癥的概率為

P(C｜A)=0.1066即使你檢出陽(yáng)性，尚可不必過(guò)早下結(jié)論你有癌癥，這種可能性只有10.66%(平均來(lái)說(shuō)，1000個(gè)人中大約只有107人確患癌癥)，此時(shí)醫(yī)生常要通過(guò)再試驗(yàn)來(lái)確認(rèn).

貝葉斯公式在貝葉斯公式中，P(Ai)和P(Ai|B)分別稱為原因的驗(yàn)前概率和驗(yàn)后概率.P(Ai)(i=1,2,…,n)是在沒(méi)有進(jìn)一步信息（不知道事件B是否發(fā)生）的情況下，人們對(duì)諸事件發(fā)生可能性大小的認(rèn)識(shí).當(dāng)有了新的信息（知道B發(fā)生），人們對(duì)諸事件發(fā)生可能性大小P(Ai|B)有了新的估計(jì).貝葉斯公式從數(shù)量上刻劃了這種變化。

在不了解案情細(xì)節(jié)(事件B)之前，偵破人員根據(jù)過(guò)去的前科，對(duì)他們作案的可能性有一個(gè)估計(jì)，設(shè)為比如原來(lái)認(rèn)為作案可能性較小的某甲，現(xiàn)在變成了重點(diǎn)嫌疑犯.例如，某地發(fā)生了一個(gè)案件，懷疑對(duì)象有甲、乙、丙三人.甲