二年級(jí)數(shù)學(xué) 復(fù)數(shù)的概念

第三章

復(fù)數(shù)及其應(yīng)用3.1復(fù)數(shù)的概念創(chuàng)設(shè)情境興趣導(dǎo)入任何一個(gè)實(shí)數(shù)a都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)表示．例如，實(shí)數(shù)1.5可以用數(shù)軸上的點(diǎn)A表示動(dòng)腦思考探索新知直角坐標(biāo)平面內(nèi)的唯一的一個(gè)點(diǎn)Z，其坐標(biāo)為(a，b)，如圖所示．由復(fù)數(shù)相等的定義知，任何一個(gè)復(fù)數(shù)都對(duì)應(yīng)唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(a，b)，其中a，b分別為復(fù)數(shù)z的實(shí)部和虛部，而有序?qū)崝?shù)對(duì)(a，b)又對(duì)應(yīng)反之，對(duì)直角坐標(biāo)平面內(nèi)的每一點(diǎn)Z(a，b)確定的樣，就建立了復(fù)數(shù)與直角坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，即每一個(gè)復(fù)數(shù)都對(duì)應(yīng)xbaＯZ(a,b)唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(a，b)，如果把a(bǔ)，b分別看作復(fù)數(shù)z的實(shí)部和虛部，那么就對(duì)應(yīng)唯一的復(fù)數(shù)這直角坐標(biāo)平面內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)，直角坐標(biāo)平面內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn)也對(duì)應(yīng)一個(gè)復(fù)數(shù)．動(dòng)腦思考探索新知xbaＯZ(a,b)建立直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面（如圖）.于是，復(fù)數(shù)可以用直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)Z(a，b)表示．在復(fù)平面內(nèi)，x軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)，y軸上除去原點(diǎn)以外的點(diǎn)都表示純虛數(shù)，因此，一般將x軸稱為實(shí)軸，y軸稱為虛軸.鞏固知識(shí)典型例題例4用復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)表示復(fù)數(shù)：解

如圖所示，表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)是表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)是表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)是表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)是鞏固知識(shí)典型例題在例3中，與是于實(shí)軸對(duì)稱.

關(guān)于與共軛復(fù)數(shù)，它們所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)一般地，復(fù)平面內(nèi)表示一對(duì)共軛復(fù)數(shù)實(shí)軸對(duì)稱．和

的點(diǎn)

和關(guān)動(dòng)腦思考探索新知在建立了平面直角坐標(biāo)系的平面內(nèi)，每一個(gè)位置向量（即以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量）都與它的終點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，該向量的坐標(biāo)等于它的終點(diǎn)坐標(biāo).xoyZ(a,b)ab如圖所示，設(shè)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z（a，b）表示復(fù)數(shù)以原點(diǎn)與向量之間具有一一對(duì)應(yīng)，那么向量由點(diǎn)Z唯一確定；O為始點(diǎn)，點(diǎn)Z為終點(diǎn)作位置向量）反之，點(diǎn)Z（a，b）（即復(fù)數(shù)唯一確定.于是復(fù)數(shù)也可以由向量關(guān)系（復(fù)數(shù)0與零向量對(duì)應(yīng)），因此，可用向量表示．

復(fù)數(shù)鞏固知識(shí)典型例題例5

用向量表示下列復(fù)數(shù)：解

如圖所示，向量分別表示復(fù)數(shù)運(yùn)用知識(shí)強(qiáng)化練習(xí)指出圖中各點(diǎn)所表示的復(fù)數(shù)．動(dòng)腦思考探索新知xoyZ(a,b)ab觀察圖，表示復(fù)數(shù)的向量，可以由向量的大小（模）與方向（與x軸正方向所成的角）來確定．

向量的模叫做復(fù)數(shù)的模（如圖），記做或即時(shí)z的模等于實(shí)數(shù)a的絕對(duì)值.

特別地，當(dāng)b=0時(shí)，z=a，于是此當(dāng)復(fù)數(shù)時(shí)，以實(shí)軸的正半軸為始邊，向量為終邊的角叫做復(fù)數(shù)的輻角．

非零復(fù)數(shù)的輻角都有無窮多個(gè)，其中區(qū)間內(nèi)的輻角叫做輻角主值，記作動(dòng)腦思考探索新知時(shí)，輻角可以由對(duì)應(yīng)點(diǎn)當(dāng)復(fù)數(shù)的位置確定，分為如下兩種情況：（1）當(dāng)點(diǎn)在某個(gè)象限內(nèi)時(shí)，其輻角可以由和點(diǎn)所在的象限確定；（2）當(dāng)點(diǎn)分別在正半實(shí)軸、負(fù)半實(shí)軸、正半虛軸或負(fù)半虛軸上時(shí)，其輻角分別為0、時(shí)，對(duì)應(yīng)的向量是零向量，輻角可以取任意值.當(dāng)復(fù)數(shù)鞏固知識(shí)典型例題例6

求下列各復(fù)數(shù)的模與輻角主值．解（1）由知點(diǎn)在第一象限，故輻角為第一象限的角．由題意知

所以又鞏固知識(shí)典型例題例6

求下列各復(fù)數(shù)的模與輻角主值．（2）由知點(diǎn)在第四象限，故輻角為第四象限的角．由題意知又所以鞏固知識(shí)典型例題例6

求下列各復(fù)數(shù)的模與輻角主值．（3）由知點(diǎn)在第三象限，故輻角為第三象限的角．

由題意知所以

又鞏固知識(shí)典型例題例6

求下列各復(fù)數(shù)的模與輻角主值．（4）由知，

動(dòng)腦思考探索新知設(shè)復(fù)數(shù)的模輻角為觀察圖知，

axoyZ(a,b)br所以

即我們把叫做復(fù)數(shù)的三角形叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式．

式，而把復(fù)數(shù)的三角形式中：（1）（2）實(shí)部為，虛部為（3）實(shí)部與虛部之間用“+”號(hào)連接.

從復(fù)數(shù)的三角形式可以看出，如果兩個(gè)非零復(fù)數(shù)的模與輻角分別相等，那么這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等.動(dòng)腦思考探索新知與復(fù)數(shù)的代數(shù)形式不同，一個(gè)復(fù)數(shù)的三角形式不是唯一的，設(shè)，則

都是z的三角形式，為了使運(yùn)算結(jié)果一致，本章中，如果不加說明，復(fù)數(shù)的輻角指的是輻角主值.鞏固知識(shí)典型例題例7把下列復(fù)數(shù)化為三角形式：分析將復(fù)數(shù)的代數(shù)形式化為三角形式的關(guān)鍵是求出復(fù)數(shù)的模與輻角．解

（1）由知點(diǎn)在第二象限，故輻角為第二象限的角．由題意知又所以因此，復(fù)數(shù)的三角形式為

鞏固知識(shí)典型例題例7把下列復(fù)數(shù)化為三角形式：分析將復(fù)數(shù)的代數(shù)形式化為三角形式的關(guān)鍵是求出復(fù)數(shù)的模與輻角．（2）由知，

因此復(fù)數(shù)的三角形式為

鞏固知識(shí)典型例題例8將下列復(fù)數(shù)表示為代數(shù)形式：

分析將復(fù)數(shù)的三角形式化為代數(shù)形式，需要求出輻角的三角函數(shù)值，然后計(jì)算出實(shí)部與虛部．鞏固知識(shí)典型例題例8將下列復(fù)數(shù)表示為代數(shù)形式：解

(1)

(2)運(yùn)用知識(shí)強(qiáng)化練習(xí)1.求下列復(fù)數(shù)的模和輻角主值．2．把下列復(fù)數(shù)化為三角形式：自我反思目標(biāo)檢測

什么叫做復(fù)數(shù)的模？如何求復(fù)數(shù)的模？向量的模叫做復(fù)數(shù)的模，記做或