2022年陜西省西安市司竹中學高三數(shù)學文測試題含解析

2022年陜西省西安市司竹中學高三數(shù)學文測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.函數(shù)y＝log（x2－6x＋17）的值域是

（）

A．R

B．［8，＋

C．（－∞，－3

D．［－3，＋∞］參考答案：C2.函數(shù)在定義域上的導函數(shù)是，若，且當時，，設、、，則()A．

B．

C．

D．參考答案：D3.復數(shù)（i為虛數(shù)單位）在復平面內對應點的坐標是

A.(3,3)

B.(-1,3)

C(3,-1)

D.(2,4)

參考答案：B略4.設全集U是實數(shù)集R,M={x|x2>4},N={1<x≤3},則圖中陰影部分表示的集合是()(A){x|-2≤x<1}

(B){x|-2≤x≤2}(C){x|1<x≤2}

(D){x|x<2}參考答案：C略5.圓的一條切線方程是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C略6.命題“存在，”的否定是（

）．A．不存，

B．存在，

C．對任意，

D．對任意的，參考答案：D對于含特稱量詞的命題的否定，需將特稱量詞改為全稱量詞，同時否定命題的結論．因此命題“存在，”的否定是：“對于任意的，”．故選．7.復數(shù)（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D由題得=,故選D.

8.已知角的終邊上一點坐標為，則角的最小正值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B略9.曲線y＝在點（2,4）處的切線與坐標軸圍成的三角形面積為（

）A．1

B．2

C．

D．參考答案：D10.圓的半徑為(A)1

(B)

(C)2

(D)參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若函數(shù)f（x）=，則不等式f（x2﹣3）＞f（x）的解集為．參考答案：（﹣∞，﹣）【考點】分段函數(shù)的應用；其他不等式的解法．【專題】數(shù)形結合；分類討論；不等式的解法及應用．【分析】根據(jù)分段函數(shù)的表達式判斷函數(shù)的單調性，討論變量的取值范圍進行比較即可．【解答】解：若x≥1，即x≥2時，x2﹣3≥1，此時函數(shù)f（x）在[1，+∞）為減函數(shù)，則由f（x2﹣3）＞f（x）得x2﹣3＜x，即2x2﹣x﹣6＜0，得﹣＜x＜2，此時x無解．若x＜1，即x＜2時，若x2﹣3＜1，即﹣2＜x＜2，時，函數(shù)f（x）在（﹣∞，1]上是增函數(shù)，則由f（x2﹣3）＞f（x）得x2﹣3＞x，即2x2﹣x﹣6＞0，得x＜﹣或x＞2（舍），此時﹣2＜x＜﹣．若x≤﹣2，則x≤﹣1，此時f（x）＜0，而x2﹣3≥1，則f（x2﹣3）＞0，此時不等式f（x2﹣3）＞f（x）恒成立，綜上不等式的解集為（﹣∞，﹣），故答案為：（﹣∞，﹣）．【點評】本題主要考查分段函數(shù)的應用，根據(jù)函分段函數(shù)的表達式判斷函數(shù)的單調性，利用函數(shù)的單調性是解決本題的關鍵．12.曲線在點，處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積為

.參考答案：由可得，切線斜率，在處的切線方程為，即，與坐標軸交于，與坐標軸圍成的三角形面積為，故答案為.

13.已知正數(shù)數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足：Sn和2的等比中項等于an和2的等差中項，則a1=，Sn=

．參考答案：2；2n2．【考點】89：等比數(shù)列的前n項和．【分析】由等差中項和等比中項可得=，平方可得Sn=，把n=1代入可得a1=2，還可得Sn﹣1=，又an=SnS﹣n﹣1，數(shù)列各項都是正數(shù)，可得an﹣an﹣1=4，可得數(shù)列為等差數(shù)列，可得前n項和公式．【解答】解：由題意知=，平方可得Sn=，①①由a1=S1得=，從而可解得a1=2．又由①式得Sn﹣1=（n≥2）…②①﹣②可得an=SnS﹣n﹣1=﹣（n≥2）整理得（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣4）=0∵數(shù)列{an}的各項都是正數(shù)，∴an﹣an﹣1﹣4=0，即an﹣an﹣1=4．故數(shù)列{an}是以2為首項4為公差的等差數(shù)列，∴Sn=2n+=2n2．當n=1時，S1=a1=2．故Sn=2n2．故答案是：2；2n2．14.在數(shù)列中，，且為遞減數(shù)列，則的取值范圍為

參考答案：略15.若函數(shù)的圖象上存在不同的兩點，，其中使得的最大值為0，則稱函數(shù)是“柯西函數(shù)”．給出下列函數(shù)：①；

②；③；

④.其中是“柯西函數(shù)”的為

（填上所有正確答案的序號）參考答案：①

④16.設x，y滿足約束條件，則的最小值是______.參考答案：-3【分析】設，根據(jù)約束條件畫出可行域，可知取最小值時，在軸截距最大；由圖象可知當過時截距最大，求出點坐標，代入可得結果.【詳解】設，由約束條件可得可行域如下圖陰影部分所示：則取最小值時，在軸截距最大由圖象可知，當過時，截距最大由得：，即本題正確結果：【點睛】本題考查線性規(guī)劃中最值問題的求解，關鍵是能夠將問題轉化為在軸截距的最值求解問題，根據(jù)圖象平移求得結果.17.函數(shù)關于直線x=1對稱，則m=

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=ex﹣e﹣x﹣2x，x∈R（1）證明f（x）為奇函數(shù)，并在R上為增函數(shù)；（2）若關于x的不等式f（x）≤mex﹣2x+2m﹣3在（0，+∞）上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；（3）設g（x）=f（2x）﹣4bf（x），當x＞0時，g（x）＞0，求b的最大值．參考答案：考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性．專題：函數(shù)的性質及應用；導數(shù)的綜合應用．分析：（1）驗證f（﹣x）=﹣f（x），再用導數(shù)驗證單調性；（2）由f（x）≤mex﹣2x+2m﹣3得ex﹣e﹣x﹣2x≤mex﹣2x+2m﹣3，故m（ex+2）≥ex﹣e﹣x+3，變形得令t=ex﹣1得，用基本不等式求最值；（3）g（x）=f（2x）﹣4bf（x）=e2x﹣e﹣2x﹣4b（ex﹣e﹣x）+（8b﹣4）x，求導整理得g′（x）═2（ex+e﹣x﹣2）（ex+e﹣x﹣2b+2）．由于ex+e﹣x﹣2≥0，只對因式）（ex+e﹣x﹣2b+2）分情況討論即可．解答：解：（1）x∈R，f（﹣x）=e﹣x﹣ex+2x=﹣（ex﹣e﹣x﹣2x）=﹣f（x），所以f（x）為奇函數(shù)∵，而，∴f′（x）≥0在R上恒成立，所以f（x）在R上增，（2）由f（x）≤mex﹣2x+2m﹣3得ex﹣e﹣x﹣2x≤mex﹣2x+2m﹣3，∴m（ex+2）≥ex﹣e﹣x+3，變形得，∴m只要大于或等于右邊式子的最大值即可令t=ex﹣1得，∵∴；（3）g（x）=f（2x）﹣4bf（x）=e2x﹣e﹣2x﹣4b（ex﹣e﹣x）+（8b﹣4）x，g′（x）=2[e2x+e﹣2x﹣2b（ex+e﹣x）+（4b﹣2）]=2[（ex+e﹣x）2﹣2b（ex+e﹣x）+（4b﹣4）]==2（ex+e﹣x﹣2）（ex+e﹣x﹣2b+2）．∵ex+e﹣x﹣2≥0，（i）當b≤2時，﹣2b+2≥﹣2，∴ex+e﹣x﹣2b+2≥0，∴g′（x）≥0，等號僅當x=0時成立，所以g（x）在（﹣∞，+∞）上單調遞增．而g（0）=0，所以對任意x＞0，g（x）＞0．（ii）當b＞2時，∴2b﹣2＞2，若x滿足2＜ex+e﹣x＜2b﹣2，即0＜x＜ln（b﹣1+）時，g′（x）＜0．而g（0）=0，因此當0＜x＜ln（b﹣1+）時，g（x）＜0，不滿足要求．綜上b≤2，故b的最大值為2．點評：本題主要考查函數(shù)與導數(shù)的關系，突出分類討論的數(shù)學思想，分類的技巧是解題的關鍵．19.18．（本小題滿分12分）某人在如圖4所示的直角邊長為4米的三角形地塊的每個格點（指縱、橫的交叉點記憶三角形的頂點）處都種了一株相同品種的作物。根據(jù)歷年的種植經驗，一株該種作物的年收獲量Y（單位：kg）與它的“相近”作物株數(shù)X之間的關系如下表所示：X1234Y51484542這里，兩株作物“相近”是指它們之間的直線距離不超過1米。（I）從三角形地塊的內部和邊界上分別隨機選取一株作物，求它們恰好“相近”的概率；（II）從所種作物中隨機選取一株，求它的年收獲量的分布列與數(shù)學期望。

參考答案：20.如圖，一個小球從M處投入，通過管道自上而下落A或B或C。已知小球從每個叉口落入左右兩個管道的可能性是相等的．某商家按上述投球方式進行促銷活動，若投入的小球落到A，B，C，則分別設為l，2，3等獎．（I）已知獲得l，2，3等獎的折扣率分別為50％，70％，90％．記隨變量為獲得k(k=1,2,3)等獎的折扣率，求隨機變量的分布列及期望；(II)若有3人次(投入l球為l人次)參加促銷活動，記隨機變量為獲得1等獎或2等獎的人次，求．參考答案：解析：本題主要考察隨機事件的概率和隨機變量的分布列、數(shù)學期望、二項分布等概念，同時考查抽象概括、運算求解能力和應用意識。

(Ⅰ)解：由題意得ξ的分布列為ξ50％70％90％p則Εξ=×50％+×70％+90％=.（Ⅱ）解：由(Ⅰ)可知，獲得1等獎或2等獎的概率為+=.由題意得η～（3，）則P（η=2）=()2(1-)=.21.(本小題滿分12分)已知△ABC的三邊長為a、b、c，且其中任意兩邊長均不相等，若成等差數(shù)列，比較與的大小，并用分析法證明你的結論.參考答案：解：大小關系為.證明：要證<，只需證<，∵a、b、c>0，只需證b2<ac，又∵，，成等差數(shù)列，∴，即b2≤ac，又a、b、c任意兩邊均不相等，∴b2<ac顯然成立，故所得大小關系正確.方法技巧：巧用分析法證明不等式不等式的證明方法主要有直接證明與間接證明，而分析法就是直接證明的一種，用分析法證明問題思路比較明確，即由結論出發(fā)，通過逐步尋求使結論成立的充分條件，直到找到一個明顯成立的條件為止，方法比較簡單，推理比較明了，是我們平時在做題時遇到絆腳石時最好的幫手，應引起大家的足夠重視.22.（13分）已知橢圓=1（a＞b＞c＞0，a2=b2+c2）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，若以F2為圓心，b﹣c為半徑作圓F2，過橢圓上一點P作此圓的切線，切點為T，且|PT|的最小值不小于（a﹣c）．（1）證明：橢圓上的點到點F2的最短距離為a﹣c；（2）求橢圓的離心率e的取值范圍；（3）設橢圓的短半軸長為1，圓F2與x軸的右交點為Q，過點Q作斜率為k（k＞0）的直線l與橢圓相交于A、B兩點，若OA⊥OB，求直線l被圓F2截得的弦長s的最大值．參考答案：考點： 直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的簡單性質；橢圓的應用．專題： 計算題；證明題；壓軸題．分析： （1）設橢圓上任一點Q的坐標為（x0，y0），根據(jù)Q點到右準線的距離和橢圓的第二定義，求得x0的范圍，進而求得橢圓上的點到點F2的最短距離（2）可先表示出|PT|，進而可知當且僅當|PF2|取得最小值時|PT|取得最小值，根據(jù)≥（a﹣c）求得e的范圍．（3）設直線的方程為y=k（x﹣1），與拋物線方程聯(lián)立方程組消去y得，根據(jù)韋達定理可求得x1+x2和x1x2，代入直線方程求得y1y2，根據(jù)OA⊥OB，可知=0，∴k=a，直線的方程為ax﹣y﹣a=0根據(jù)圓心F2（c，0）到直線l的距離，進而求得答案．解答： 解：（1）設橢圓上任一點Q的坐標為（x0，y0），Q點到右準線的距離為d=﹣x0，則由橢圓的第二定義知：=，∴|QF2|=a﹣，又﹣a≤x0≤a，∴當x0=a時，∴|QF2|min=a﹣c．（2）依題意設切線長|PT|=∴當且僅當|PF2|取得最小值時|PT|取得最小值，∴≥（a﹣c），∴0＜≤，從而解得≤e＜，故離心率e的取值范圍是解