廣東省佛山市石門實驗學(xué)校2022高二數(shù)學(xué)理模擬試題含解析

廣東省佛山市石門實驗學(xué)校2022高二數(shù)學(xué)理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.從甲乙兩個城市分別隨機抽取16臺自動售貨機，對其銷售額進行統(tǒng)計，統(tǒng)計數(shù)據(jù)用莖葉圖表示（如圖所示），設(shè)甲乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為，，中位數(shù)分別為m甲，m乙，則（）A．，m甲＞m乙 B．，m甲＜m乙C．，m甲＞m乙 D．，m甲＜m乙參考答案：B【考點】莖葉圖；眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)．【分析】直接求出甲與乙的平均數(shù)，以及甲與乙的中位數(shù)，即可得到選項．【解答】解：甲的平均數(shù)甲==，乙的平均數(shù)乙==，所以甲＜乙．甲的中位數(shù)為20，乙的中位數(shù)為29，所以m甲＜m乙故選：B．2.若拋物線y2=8x上一點P到其焦點的距離為9，則點P的坐標(biāo)為（）A．（7，±） B．（14，±） C．（7，±2） D．（﹣7，±2）參考答案：C【考點】K8：拋物線的簡單性質(zhì)．【分析】設(shè)P的坐標(biāo)為（m，n），根據(jù)拋物線的定義得m+2=9，解出m=7，再將點P（7，n）代入拋物線方程，解之可得n=±2，由此得到點P的坐標(biāo)．【解答】解：設(shè)P（m，n），則∵點P到拋物線y2=8x焦點的距離為9，∴點P到拋物線y2=8x準(zhǔn)線x=﹣2的距離也為9，可得m+2=9，m=7∵點P（7，n）在拋物線y2=8x上∴n2=8×7=56，可得n=±2，因此，可得點P的坐標(biāo)為（7，±2），故選C．3.平面幾何中，有邊長為的正三角形內(nèi)任一點到三邊距離之和為定值，類比上述命題，棱長為的正四面體內(nèi)任一點到四個面的距離之和為

（

）Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．參考答案：C4.甲乙兩人一起去游園，他們約定，各自獨立地從1到6號景點中任選4個進行游覽，每個景點參觀1小時，則最后一小時他們同在一個景點的概率是

(

)A.

B.

C.

D.參考答案：D5.直線的傾斜角是（

）A．120°

B．150°

C．30°

D．60°參考答案：D直線的斜率為，設(shè)傾斜角為，故選D

6.在正項等比數(shù)列中，Sn是其前n項和，若S10=10，S30=130，則S20的值為（

）

A．50

B．40

C．30

D．

參考答案：B7.已知為的導(dǎo)數(shù)，若對于任意的都成立，則

A．

B．

C．

D．和的大小關(guān)系不確定參考答案：B略8.若偶函數(shù)滿足，則不等式的解集是A.

B.

C.

D.參考答案：D略9.已知函數(shù)在區(qū)間(1,2)上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.參考答案：A【分析】對函數(shù)求導(dǎo)，將問題轉(zhuǎn)化成在恒成立，從而求出的取值范圍．【詳解】∵，∴．∵在區(qū)間上是減函數(shù)，∴在上恒成立，即上恒成立．∵，∵，∴．∴實數(shù)的取值范圍為．故選A．【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及一元二次不等式的解法，是高考中的熱點問題，解題的關(guān)鍵是將函數(shù)在給定區(qū)間上是減函數(shù)轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)小于等于零恒成立，屬于基礎(chǔ)題．10.過點C（2，﹣1）且與直線x+y﹣3=0垂直的直線是（）A．x+y﹣1=0 B．x+y+1=0 C．x﹣y﹣3=0 D．x﹣y﹣1=0參考答案：C【考點】直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系．【分析】根據(jù)已知，與直線x+y﹣3=0垂直的直線的斜率為1，從而可求出直線方程．【解答】解：設(shè)所求直線斜率為k，∵直線x+y﹣3=0的斜率為﹣1，且所求直線與直線x+y﹣3=0垂直∴k=1．又∵直線過點C（2，﹣1），∴所求直線方程為y+1=x﹣2，即x﹣y﹣3=0．故選C．【點評】本題考查直線的點斜式方程以及兩直線相互垂直的性質(zhì)等知識，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)，則=

參考答案：2略12.如圖，正方形ABCD所在平面與正方形ABEF所在平面成60°的二面角，則異面直線AD與BF所成角的余弦值是．參考答案：【考點】異面直線及其所成的角．【分析】由題意得，CB⊥AB，AB⊥BE．可得正方形ABCD所在平面與正方形ABEF的二面角即∠CBE=60°，同時也得AB⊥平面BCE，即AB⊥CE，即是EF⊥CE．進而求出CF、FB、BC，即可求出異面直線AD與BF所成角的余弦值．【解答】解：由題意得，CB⊥AB，AB⊥BE．可得正方形ABCD所在平面與正方形ABEF的二面角即∠CBE=60°，同時也得AB⊥平面BCE，即AB⊥CE，即三角形CEF為直角三角形和三角形CBE為等邊三角形；即是EF⊥CE．設(shè)AB=1，則CE=1，CF=，F(xiàn)B=，利用余弦定理，得．故異面直線AD與BF所成角的余弦值是．13.如果橢圓的弦被點(4，2)平分，則這條弦所在的直線方程是_______。參考答案：14.已知圓的圓心是雙曲線的一個焦點，則此雙曲線的漸近線方程為_____________.參考答案：15.已知盒中有大小相同的3個紅球和個白球，從盒中一次性取出3個球，取到白球個數(shù)的期望為，若每次不放回的從盒中取一個球，一直到取出所有白球時停止抽取，則停止抽取時恰好取到兩個紅球的概率為

參考答案：

16.已知平行六面體，與平面，交于兩點。給出以下命題，其中真命題有________(寫出所有正確命題的序號)①點為線段的兩個三等分點；②；③設(shè)中點為，的中點為，則直線與面有一個交點；④為的內(nèi)心；⑤若,則三棱錐為正三棱錐，且.參考答案：①⑤17.設(shè)變量滿足約束條件，則的取值范圍是

.

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)

（1）若對任意的恒成立，求實數(shù)的最小值.（2）若且關(guān)于的方程在上恰有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍；參考答案：（1）；

（2）19.（18分）如圖，已知PA⊥正方形ABCD所在平面，E、F分別是AB，PC的中點，∠PDA=45°．（1）求證：EF∥面PAD．（2）求證：面PCE⊥面PCD．參考答案：【考點】平面與平面垂直的判定；直線與平面平行的判定．【專題】證明題．【分析】（1）取PD中點為G，證明EFGA為平行四邊形，由EF∥AG，證明EF∥面PAD．（2）由線面垂直的判定定理證明AG⊥面PCD，從而得到EF⊥面PCD，面PCE⊥面PCD．【解答】解：（1）取PD中點為G，連FG、AG，∵F，G分別為中點，∴FG∥CD，且FG=CD．AE∥CD，且AE=CD，即四邊形EFGA為平行四邊形，∴EF∥AG，又EF?面PAD，AG?面PAD，∴EF∥面PAD．（2）PA⊥面ABCD∴PA⊥AD，PA⊥CD∴Rt△PAD中，∠PDA=45°∴PA=AD，AG⊥PD，又CD⊥AD，CD⊥PA，且PA∩AD=A，∴CD⊥面PAD，∴CD⊥AG，又PD∩CD=D，∴AG⊥面PCD，由（1）知EF∥AG∴EF⊥面PCD，又EF?面PCE，∴面PCE⊥面PCD．【點評】本題考查兩個平面垂直的判定定理的應(yīng)用以及證明線面平行的方法．20.已知函數(shù).(Ⅰ)當(dāng)時,求曲線在點的切線方程;(Ⅱ)討論函數(shù)的單調(diào)性.參考答案：函數(shù)的定義域為,(Ⅰ)當(dāng)時,,,所以曲線在點的切線方程為(Ⅱ),(1)當(dāng)時,,在定義域為上單調(diào)遞增,(2)當(dāng)時,令,得(舍去),,當(dāng)變化時,,的變化情況如下:此時,在區(qū)間單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增;(3)當(dāng)時,令,得,(舍去),當(dāng)變化時,,的變化情況如下:此時,在區(qū)間單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增21.（本小題12分）為了豐富學(xué)生的課余生活，促進校園文化建設(shè)，我校高二年級通過預(yù)賽選出了6個班（含甲、乙）進行經(jīng)典美文頌讀比賽決賽．決賽通過隨機抽簽方式?jīng)Q定出場順序．求：（1）甲、乙兩班恰好在前兩位出場的概率；（2）決賽中甲、乙兩班之間的班級數(shù)記為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考答案：解：（1）設(shè)“甲、乙兩班恰好在前兩位出場”為事件，則

所以甲、乙兩班恰好在前兩位出場的概率為………………4分（2）隨機變量的可能取值為.，

，

，

……10分隨機變量的分布列為：01234因此，22.設(shè)直線l：y=k（x+1）（k≠0）與橢圓3x2+y2=a2（a＞0）相交于A、B兩個不同的點，與x軸相交于點C，記O為坐標(biāo)原點．（Ⅰ）證明：a2＞；（Ⅱ）若=2，求△OAB的面積取得最大值時的橢圓方程．參考答案：【考點】直線與圓錐曲線的關(guān)系；三角形的面積公式；平行向量與共線向量；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】（1）把直線l的方程代入橢圓方程，由直線與橢圓相交于A、B兩個不同的點可得△＞0，解出即可證明；（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）．利用根與系數(shù)的關(guān)系及向量相等得到y(tǒng)1，y2的關(guān)系及可用k來表示，再利用三角形的面積公式∴△OAB的面積及基本不等式的性質(zhì)即可得出取得面積最大值時的k的值，進而得到a的值．【解答】（1）證明：由y=k（x+1）（k≠0）得．并代入橢圓方程3x2+y2=a2消去x得（3+k2）y2﹣6ky+3k2﹣k2a2=0

①∵直線l與橢圓相