上海教育發(fā)展研究院附屬中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析

上海教育發(fā)展研究院附屬中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.有以下四個(gè)命題：①若，則.②若有意義,則.③若,則.④若,則.則是真命題的序號(hào)為(

)

A．①②

B．①③

C．②③

D．③④參考答案：A2.若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則下列命題：

（1）若數(shù)列是遞增數(shù)列，則數(shù)列也是遞增數(shù)列；

（2）數(shù)列是遞增數(shù)列的充要條件是數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)；

（3）若是等差數(shù)列（公差），則的充要條件是

（4）若是等比數(shù)列，則的充要條件是

其中，正確命題的個(gè)數(shù)是

（

）

A．0個(gè)

B．1個(gè)

C．2個(gè)

D．3個(gè)參考答案：B3.設(shè)，不等式的解集是，則等于（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B4.已知函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．，在上是增函數(shù)B．，在上是減函數(shù)C．，是上的常函數(shù)D．，是上的單調(diào)函數(shù)參考答案：D函數(shù)的定義域?yàn)?。?dāng)時(shí)，。當(dāng)時(shí)，函數(shù)為奇函數(shù)。，若，則，所以函數(shù)在區(qū)間和上，函數(shù)遞增。若，則，所以函數(shù)在區(qū)間和上，函數(shù)遞減。所以D正確，選D.5.已知集合M={y|y=2x，x＞0}，N={x|y=lg（2x﹣x2）}，則M∩N為（）A．（1，2） B．（1，+∞） C．[2，+∞） D．[1，+∞）參考答案：A【考點(diǎn)】1E：交集及其運(yùn)算．【分析】通過(guò)指數(shù)函數(shù)的值域求出M，對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域求出集合N，然后再求M∩N．【解答】解：M={y|y＞1}，N中2x﹣x2＞0∴N={x|0＜x＜2}，∴M∩N={x|1＜x＜2}，故選A6.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是(

)A．

B．

C．

D．參考答案：D略7.當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：C略8.右圖是一個(gè)幾何體的正（主）視圖和側(cè)（左）視圖,其俯視圖是面積為8的矩形,則該幾何體的表面積是（

）A．20+8 B．24+8C．8 D．16參考答案：A【知識(shí)點(diǎn)】空間幾何體的三視圖和直觀圖G2此幾何體是一個(gè)三棱柱，且其高為，由于其底面是一個(gè)等腰直角三角形，直角邊長(zhǎng)為2，所以其面積為×2×2=2，又此三棱柱的高為4，故其側(cè)面積為，（2+2+2）×4=16+8，表面積為：2×2+16+8=20+8．【思路點(diǎn)撥】由三視圖及題設(shè)條件知，此幾何體為一個(gè)三棱柱，底面是等腰直角三角形，且其高為，故先求出底面積，求解其表面積即可．9.某三棱錐的三視圖如圖所示，則該棱錐的表面積為（

）A.B.C.D.參考答案：A【分析】通過(guò)三視圖的特點(diǎn),還原為三棱錐,然后計(jì)算三棱錐面積.【詳解】由三視圖可知三棱錐為如圖所示，在△中,,；在△中,,；在△中,,；在△中,,；故表面積為.【點(diǎn)睛】本題考查了三視圖的還原問(wèn)題以及三棱錐表面積的計(jì)算,關(guān)鍵是根據(jù)三視圖特點(diǎn)還原為三棱錐.10.函數(shù)y=的圖象大致是（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象．【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域，取值范圍和取值符號(hào)，進(jìn)行排除即可．【解答】解：函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠0}，排除A．當(dāng)x→﹣∞時(shí)，y→+∞，排除B，當(dāng)x→+∞時(shí)，x3＜3x﹣1，此時(shí)y→0，排除D，故選：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，E是C的準(zhǔn)線上位于x軸上方的一點(diǎn)，直線EF與C在第一象限交于點(diǎn)M，在第四象限交于點(diǎn)N，且|EM|=2|MF|=2，則點(diǎn)N到y(tǒng)軸的距離為．參考答案：【考點(diǎn)】K8：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】由題意可知丨FM丨=1，|EM|=2，丨EF丨=3，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可求得p的值，由丨EN丨=2丨DN丨，根據(jù)拋物線的定義，即可求得丨DN丨=3，點(diǎn)N到y(tǒng)軸的距離為丨DN丨﹣．【解答】解：過(guò)M，N做MH⊥l，ND⊥l，垂足分別為H，D，由拋物線的定義可得丨FM丨=丨MH丨，丨FN丨=丨DN丨|EM|=2|MF|=2，則丨FM丨=1，|EM|=2，丨EF丨=3，∴∠EMH=，∠MEH=，∴p=，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=3x，在Rt△EDN中，sin∠MED=，則丨EN丨=2丨DN丨，即丨EM丨+丨MF丨+丨DN丨=2丨DN丨，則丨DN丨=3，點(diǎn)N到y(tǒng)軸的距離為丨DN丨﹣=3﹣=，故答案為：．12.如左下圖所示，是某校高三年級(jí)文科60名同學(xué)參加謀科考試所得成績(jī)（分?jǐn)?shù)均為整數(shù)）整理后得出的頻率分布直方圖，根據(jù)該圖這次考試文科60分以上的同學(xué)的人數(shù)為_(kāi)___________.參考答案：45略13.若函數(shù)在內(nèi)有極小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________．參考答案：略14.如圖是某幾何體的三視圖（單位：cm），則該幾何體的表面積是

cm2，體積為

cm3．參考答案：14+2，4。考點(diǎn)：由三視圖求面積、體積．專題：計(jì)算題；空間位置關(guān)系與距離．分析：判斷得出該幾何體是三棱錐，利用題中數(shù)據(jù)，即可求解幾何體的表面積、體積．解答： 解：根據(jù)三視圖得出：該幾何體是三棱錐，AB=2，BC=3，DB=5，CD=4，AB⊥面BCD，BC⊥CD，∴幾何體的表面積是+++=14+2其體積：×S△CBD×AB==4，故答案為：14+2；4．點(diǎn)評(píng)：本題考查了三棱錐的三視圖的運(yùn)用，仔細(xì)閱讀數(shù)據(jù)判斷恢復(fù)直觀圖，關(guān)鍵是確定幾何體的形狀，屬于中檔題．15.已知集合|，若，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

參考答案：16.已知雙曲線的左、右端點(diǎn)分別為，點(diǎn)，若線段的垂直平分線過(guò)點(diǎn)，則雙曲線的離心率為_(kāi)_________．參考答案：由題意可得，為正三角形，則，所以雙曲線的離心率.17.的展開(kāi)式中只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開(kāi)式中的第2項(xiàng)為_(kāi)_______．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿分13分）已知函數(shù).(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在，上的最大值、最小值；(Ⅱ)令，若在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案：解:(Ⅰ)時(shí),，由

，可以看出在取得極小值,在取得極大值…5分而由此,在上,在處取得最小值,在處取得最小值…6分(Ⅱ)…7分在上恒有考察的對(duì)稱軸為(i)當(dāng),即時(shí)，應(yīng)有解得:，所以時(shí)成立…………9分(ii)當(dāng),即時(shí)，應(yīng)有即:

ks5u解得…………12分綜上：實(shí)數(shù)的取值范圍是…13分19.（本小題滿分14分）如圖，矩形ABCD中，，E為邊AB的中點(diǎn)，將△ADE沿直線DE翻折成△A1DE（1）設(shè)M為線段A1C的中點(diǎn)，求證：BM//平面A1DE；（2）當(dāng)平面A1DE⊥平面BCD時(shí)，求直線CD與平面A1CE所成角的正弦值．

參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】直線與平面所成的角；直線與平面平行的判定．G4G11

【答案解析】（1）見(jiàn)解析；（2）解析：（1）取的中點(diǎn)F，連結(jié)MF，則MF//CD，且MFCD，即MF∕∕BE，MF=BE，故四邊形BEFM是平行四邊形，則BM//EF，BM平面A1DE，EF平面A1DE，所以BM//平面A1DE；…………7分（2）由矩形ABCD中，AB=2BC=4，E為邊AB的中點(diǎn)，可得ED2=22+22=8=CE2，CD2=42=16，∴CE2+ED2=CD2，∴∠CED=90°，∴CE⊥ED．又∵平面A1DE⊥平面BCD，∴CE⊥平面A1DE，∴CE⊥DA1．又∵DA1⊥A1E，A1E∩EC=E，∴DA1⊥平面A1CE，∴∠A1CE即為直線CD與平面A1CE所成的角．在Rt△A1CD中，sin∠A1CD，即直線CD與平面A1CE所成角的正弦值為．

……………14分【思路點(diǎn)撥】（1）取CD中點(diǎn)N，并連接MN，BN，容易證明平面BMN∥平面A1DE，所以便得到BM∥平面A1DE；（2）容易說(shuō)明CE⊥平面A1DE，所以DA1⊥CE，又DA1⊥A1E，所以DA1⊥平面A1CE，所以∠A1CD便是直線CD與平面A1CE所成角，所以該角的正弦值為．20.設(shè)a、b、c∈R+，且a+b+c=1．（Ⅰ）求證：2ab+bc+ca+；（Ⅱ）求證：．參考答案：【考點(diǎn)】不等式的證明．【專題】證明題；整體思想；綜合法；作差法；不等式的解法及應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）作差法化簡(jiǎn)1﹣2（2ab+bc+ca+）=（a+b+c）2﹣（4ab+2bc+2ca+c2），從而證明；（Ⅱ）易知+b≥2a，+b≥2c，+c≥2b，+c≥2a，+a≥2c，+a≥2b；從而證明．【解答】證明：（Ⅰ）∵1﹣2（2ab+bc+ca+）=（a+b+c）2﹣（4ab+2bc+2ca+c2）=a2+b2﹣2ab=（a﹣b）2≥0，∴2（2ab+bc+ca+）≤1，∴2ab+bc+ca+；（Ⅱ）∵+b≥2a，+b≥2c，+c≥2b，+c≥2a，+a≥2c，+a≥2b；∴+b++b++c++c++a++a≥4（a+b+c），即+++2（a+b+c）≥4（a+b+c），故++≥2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查不等式的證明方法的應(yīng)用，應(yīng)用了作差法．21.設(shè)函數(shù)f(x)=x3－x2+ax，a∈R．（Ⅰ）若x=2是f（x）的極值點(diǎn)，求a的值，并討論f（x）的單調(diào)性；（Ⅱ）已知函數(shù)g(x)=f(x)－ax2+，若g（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)有零點(diǎn)，求a的取值范圍；（Ⅲ）設(shè)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，試討論過(guò)兩點(diǎn)（x1，f（x1）），（x2，f（x2））的直線能否過(guò)點(diǎn)（1，1），若能，求a的值；若不能，說(shuō)明理由．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（I）f′（x）=x2﹣x+a，由x=2是f（x）的極值點(diǎn)，可得f′（2）=0，解得a=﹣2．代入f′（x）進(jìn)而得出單調(diào)性．（II）=﹣+ax+，g′（x）=x2﹣（1+a）x+a=（x﹣1）（x﹣a）．對(duì)a與1的大小關(guān)系分類討論可得a的取值范圍．（III）不能，原因如下：設(shè)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，則f′（x）=x2﹣x+a有兩個(gè)不同的零點(diǎn)．△＞0，解得a＜，且x1，x2，為方程x2﹣x+a=0的兩根．則﹣x1+a=0，可得=x1﹣a，可得f（x1）=x1+a，同理可得：f（x2）=x2+a．由此可得：過(guò)兩點(diǎn)（x1，f（x1）），（x2，f（x2））的直線方程為：y=x+a．進(jìn)而判斷出結(jié)論．【解答】解：（I），a∈R．f′（x）=x2﹣x+a，∵x=2是f（x）的極值點(diǎn)，∴f′（2）=4﹣2+a=0，解得a=﹣2．代入f′（x）=x2﹣x﹣2=（x+1）（x﹣2），令f′（x）=0，解得x=﹣1，或x=2．令f′（x）＞0，解得x＞2或x＜﹣1，∴f（x）在x∈（﹣∞，﹣1），（2，+∞）時(shí)單調(diào)遞增；令f′（x）＜0，解得﹣1＜x＜2，∴f（x）在x∈（﹣1，2）時(shí)單調(diào)遞減．（II）=﹣+ax+，g′（x）=x2﹣（1+a）x+a=（x﹣1）（x﹣a）．①當(dāng)a≥1時(shí)，x∈（0，1）時(shí)，g′（x）＞0恒成立，g（x）單調(diào)遞增，又g（0）=＞0，因此此時(shí)函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)．②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，x∈（0，a）時(shí)，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，x∈（a，1）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，又g（0）=＞0，因此要使函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)有零點(diǎn)．必有g(shù)（1）＜0，∴（1+a）+a+＜0，解得a＜﹣1．舍去．③當(dāng)a≤0時(shí)，x∈（0，1）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，又g（0）=＞0，因此要使函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)有零點(diǎn)．必有g(shù)（1）＜0，解得a＜﹣1．滿足條件．綜上可得：a的取值范圍是（﹣∞，﹣1）．（III）不能，原因如下：設(shè)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，則f′（x）=x2﹣x+a有兩個(gè)不同的零點(diǎn)．∴△=1﹣4a＞0，解得a＜，且x1，x2，為方程x2﹣x+a=0的兩根．則﹣x1+a=0，可得=x1﹣a，∴f（x1）=﹣+ax1=﹣+ax1=+=﹣（x1﹣a）+=x1+a，同理可得：f（x2）=x2+a．由此可得：過(guò)兩點(diǎn)（x1，f（x1）），（x2，f（x2））的直線方程為：y=x+a．若上述直線過(guò)點(diǎn)（1，1），則：1=+a．解得a=．上述已知得出：若f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x