高中數(shù)學(xué)常用公式定理

第第頁高中數(shù)學(xué)常用公式定理1.元素與集合的關(guān)系,.2.包含關(guān)系3．集合A中有n個(gè)元素，則集合A的所有不同子集個(gè)數(shù)共有個(gè)；真子集有–1個(gè)；非空子集有–1個(gè)；非空的真子集有–2個(gè).4.二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸方程是，頂點(diǎn)坐標(biāo)是二次函數(shù)的解析式的三種形式:(1)一般式;(2)頂點(diǎn)式;(3)零點(diǎn)式.5.解連續(xù)不等式常有以下轉(zhuǎn)化形式：6.方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖象與x軸有交點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn).零點(diǎn)存在性定理:函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)的，且，那么函數(shù)在區(qū)間上至少有一個(gè)零點(diǎn).即存在，使得，這個(gè)c也就是方程的根.7.閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值只能在處及區(qū)間的兩端點(diǎn)處取得.8.邏輯連接詞有“或”、“且”和“非”：真值表：ｐｑ非ｐｐ或ｑｐ且ｑ真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假9.命題中常見結(jié)論的否定形式：原結(jié)論反設(shè)詞原結(jié)論反設(shè)詞是不是至少有一個(gè)一個(gè)也沒有都是不都是至多有一個(gè)至少有兩個(gè)大于不大于至少有個(gè)至多有（）個(gè)小于不小于至多有個(gè)至少有（）個(gè)對(duì)所有，成立存在某，不成立或且對(duì)任何，不成立存在某，成立且或10.四種命題的相互關(guān)系原命題互逆逆命題若ｐ則ｑ若ｑ則ｐ互互互為為互否否逆逆否否否命題逆否命題若非ｐ則非ｑ互逆若非ｑ則非ｐ注意：全稱命題與存在命題的否定關(guān)系。11.充要條件：（1）充分條件：若，則是充分條件.（2）必要條件：若，則是必要條件.（3）充要條件：若，且，則是充要條件.注：如果甲是乙的充分條件，則乙是甲的必要條件；反之亦然.12.函數(shù)的單調(diào)性(1)設(shè)那么上是增函數(shù)；上是減函數(shù).(2)設(shè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果，則為增函數(shù)；如果，則為減函數(shù).13.如果函數(shù)和都是減函數(shù),則在公共定義域內(nèi),和函數(shù)也是減函數(shù);如果函數(shù)和在其對(duì)應(yīng)的定義域上都是減函數(shù),則復(fù)合函數(shù)是增函數(shù).復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性口訣:同增異減.14．奇偶函數(shù)的圖象特征奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱;反過來，如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，那么這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)；如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，那么這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)．15.若函數(shù)是偶函數(shù)，則；若函數(shù)是偶函數(shù)，則.16.對(duì)于函數(shù)(),恒成立,則函數(shù)的對(duì)稱軸是函數(shù);兩個(gè)函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.17.函數(shù)的圖象的對(duì)稱性:①函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.②函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線(即軸)對(duì)稱.18．多項(xiàng)式函數(shù)的奇偶性多項(xiàng)式函數(shù)是奇函數(shù)的偶次項(xiàng)(即奇數(shù)項(xiàng))的系數(shù)全為零.多項(xiàng)式函數(shù)是偶函數(shù)的奇次項(xiàng)(即偶數(shù)項(xiàng))的系數(shù)全為零.19.函數(shù)的圖象的對(duì)稱性函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.20.若將函數(shù)的圖象右移、上移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象；若將曲線的圖象右移、上移個(gè)單位，得到曲線的圖象.21.幾個(gè)函數(shù)方程的周期(約定a>0)（1），則的周期T=a；（2），或，或,則的周期T=2a；22.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：(1)（，且）.(2)（，且）.23．根式的性質(zhì)：（1）.（2）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，.24．有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：(1).(2).(3).注：若a＞0，p是一個(gè)無理數(shù)，則ap表示一個(gè)確定的實(shí)數(shù)．上述有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)于無理數(shù)指數(shù)冪都適用.25.指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化式：.26.對(duì)數(shù)的換底公式(,且,,且,).推論(,且,,且,,).若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，則(1);(2);(3).27.設(shè)函數(shù),記.若的定義域?yàn)?則，且;若的值域?yàn)?則，且.對(duì)于的情形,需要單獨(dú)檢驗(yàn).28.平均增長率的問題如果原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N，平均增長率為，則對(duì)于時(shí)間的總產(chǎn)值，有.29.數(shù)列的同項(xiàng)公式與前n項(xiàng)的和的關(guān)系(數(shù)列的前n項(xiàng)的和為).30.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；其前n項(xiàng)和公式為.31.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；其前n項(xiàng)的和公式為或.32.若m、n、p、q∈N，且，那么：當(dāng)數(shù)列是等差數(shù)列時(shí)，有；當(dāng)數(shù)列是等比數(shù)列時(shí)，有。33.弧長公式：（是圓心角的弧度數(shù)，>0）；扇形面積公式：；34．三角函數(shù)的定義:以角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，在角的終邊上任取一個(gè)異于原點(diǎn)的點(diǎn)，點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離記為，則sin=，cos=，tan=，符號(hào)法則:全STC.35.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式:平方關(guān)系：，”1”的代換.商數(shù)關(guān)系:=，弦化切互化.36.正弦、余弦的誘導(dǎo)公式:概括為：奇變偶不變，符號(hào)看象限。(n為偶數(shù))(n為奇數(shù))(n為偶數(shù))(n為奇數(shù))(n為偶數(shù))(n為奇數(shù))(n為偶數(shù))(n為奇數(shù))３７.和角與差角公式：;;.(平方正弦公式);.注意：二化一(輔助角)公式=(輔助角所在象限由點(diǎn)的象限決定,).3８.二倍角公式：...注意:半角公式是：sin=cos=tan===。升冪公式是：。降冪公式是：。39.三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是；的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是，的遞增區(qū)間是40.三角函數(shù)的周期公式:函數(shù)，x∈R及函數(shù)，x∈R(A,ω,為常數(shù)，且A≠0，ω＞0)的周期；函數(shù)，(A,ω,為常數(shù)，且A≠0，ω＞0)的周期.函數(shù)的最大值是，最小值是，周期是，頻率是，相位是，初相是；其圖象的對(duì)稱軸是直線，凡是該圖象與直線的交點(diǎn)都是該圖象的對(duì)稱中心。41.正弦定理:

.42.余弦定理:;第一形式，;第二形式，cosB=.43.面積定理：（1）（分別表示a、b、c邊上的高）.（2）.=3\*GB3③；=4\*GB3④；=5\*GB3⑤；=6\*GB3⑥44.三角形內(nèi)角和定理:在△ABC中，有.△ABC中：，，45.平面向量運(yùn)算性質(zhì)：：坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)，則設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2），則.46.實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律:設(shè)λ、μ為實(shí)數(shù)，那么(1)結(jié)合律：λ(μa)=(λμ)a;(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.坐標(biāo)表示：設(shè)，則λ，47.平面向量的數(shù)量積:定義：，.運(yùn)算律:(1)a·b=b·a（交換律）;(2)（a）·b=（a·b）=a·b=a·（b）;(3)（a+b）·c=a·c+b·c.(4),坐標(biāo)運(yùn)算:設(shè),則（５）a·b的幾何意義:數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積．48.平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．其中不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．49．兩個(gè)向量平行的充要條件坐標(biāo)表示:，則三點(diǎn)共線.50.兩個(gè)非零向量垂直的充要條件坐標(biāo)表示:，則51.兩向量的夾角公式:a=,b=則.52.平面兩點(diǎn)間的距離公式:A，B則AB.53.線段的定比分公式：設(shè)，，是線段的分點(diǎn),且,是實(shí)數(shù)，則則。中點(diǎn)坐標(biāo)公式54.三角形的重心坐標(biāo)公式：△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、、,則△ABC的重心的坐標(biāo)是.55.常用不等式：（1）(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“=”號(hào))．（2）兩個(gè)正數(shù)的平均值不等式是：(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“=”號(hào))．（3）雙向絕對(duì)值不等式：左邊：時(shí)取得等號(hào)。右邊：時(shí)取得等號(hào)。56.平均值定理用來求最值：已知都是正數(shù)，則有（1）若積是定值，則當(dāng)時(shí)和有最小值；（2）若和是定值，則當(dāng)時(shí)積有最大值.推廣：已知，則有（1）若積是定值,則當(dāng)最大時(shí),最大；當(dāng)最小時(shí),最小.（2）若和是定值,則當(dāng)最大時(shí),最??；當(dāng)最小時(shí),最大.57.一元二次不等式，如果與同號(hào)，則其解集在兩根之外；如果與異號(hào)，則其解集在兩根之間.簡言之：同號(hào)兩根之外，異號(hào)兩根之間.；.58.含有絕對(duì)值的不等式：當(dāng)a>0時(shí)，有.或.59.指數(shù)不等式與對(duì)數(shù)不等式(1)當(dāng)時(shí)：;.(2)當(dāng)時(shí)：;60.斜率公式:直線斜率的定義為:k=tan,兩點(diǎn)、則.61.同一坐標(biāo)軸上兩點(diǎn)距離公式：62.直線的五種方程（1）點(diǎn)斜式:(直線過點(diǎn)，且斜率為)．（2）斜截式(b為直線在y軸上的截距).（3）兩點(diǎn)式()(、()).(4)截距式(分別為直線的橫、縱截距，)（5）一般式(其中A、B不同時(shí)為0).63.兩條直線的平行和垂直(1)若，①;②.(2)若,,且A1、A2、B1、B2都不為零,①；②；64．四種常用直線系方程(1)定點(diǎn)直線系方程：經(jīng)過定點(diǎn)的直線系方程為(除直線),其中是待定的系數(shù);經(jīng)過定點(diǎn)的直線系方程為,其中是待定的系數(shù)．(2)共點(diǎn)直線系方程：經(jīng)過兩直線,的交點(diǎn)的直線系方程為，其中λ是待定的系數(shù)．(3)平行直線系方程：直線中當(dāng)斜率k一定而b變動(dòng)時(shí)，表示平行直線系方程．與直線平行的直線系方程是()，λ是參變量．(4)垂直直線系方程：與直線(A≠0，B≠0)垂直的直線系方程是,λ是參變量．65.點(diǎn)到直線的距離(點(diǎn),直線：).兩平行直線距離66.或所表示的平面區(qū)域設(shè)直線，則或所表示的平面區(qū)域是：若，當(dāng)與同號(hào)時(shí)，表示直線的上方的區(qū)域；當(dāng)與異號(hào)時(shí)，表示直線的下方的區(qū)域.簡言之,同號(hào)在上,異號(hào)在下.若，當(dāng)與同號(hào)時(shí)，表示直線的右方的區(qū)域；當(dāng)與異號(hào)時(shí)，表示直線的左方的區(qū)域.簡言之,同號(hào)在右,異號(hào)在左.67.圓的四種方程（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）圓的一般方程(＞0).68.圓系方程(1)過點(diǎn),的圓系方程是,其中是直線的方程,λ是待定的系數(shù)．(2)過直線:與圓:的交點(diǎn)的圓系方程是,λ是待定的系數(shù)．(3)過圓:與圓:的交點(diǎn)的圓系方程是,λ是待定的系數(shù)．69.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有三種若，則點(diǎn)在圓外;點(diǎn)在圓上;點(diǎn)在圓內(nèi).70.直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系有三種:;;其中..注意:研究圓與直線的位置關(guān)系最常用的方法有兩種：=1\*GB3①代數(shù)法（判別式法）：Δ>0，=0，<0，等價(jià)于直線與圓相交、相切、相離；=2\*GB3②幾何法（圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系）：距離大于半徑、等于半徑、小于半徑，等價(jià)于直線與圓相離、相切、相交。71.兩圓位置關(guān)系的判定方法:設(shè)兩圓圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，;;;;.72.橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是，準(zhǔn)線方程是，離心率是，通徑的長是。其中。73.橢圓焦半徑公式和.74．橢圓的的內(nèi)外部（1）點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部.（2）點(diǎn)在橢圓的外部.75.雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式是：和。雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是，準(zhǔn)線方程是，離心率是，通徑的長是，漸近線方程是。其中。76.雙曲線的焦半徑公式，.77.雙曲線的內(nèi)外部(1)點(diǎn)在雙曲線的內(nèi)部.(2)點(diǎn)在雙曲線的外部.78.雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系(1）若雙曲線方程為漸近線方程：.(2)若漸近線方程為雙曲線可設(shè)為.(3)若雙曲線與有公共漸近線，可設(shè)為（，焦點(diǎn)在x軸上，，焦點(diǎn)在y軸上）.與雙曲線共焦點(diǎn)的雙曲線系方程是。79.拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的四種形式是：拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是：，準(zhǔn)線方程是：。，過該拋物線的焦點(diǎn)且垂直于拋物線對(duì)稱軸的弦（通徑）的長：。80.拋物線的焦半徑公式:點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，則點(diǎn)P到拋物線的焦點(diǎn)的距離（稱為焦半徑）：PF=過焦點(diǎn)弦長.81.拋物線上的動(dòng)點(diǎn)可設(shè)為P或P，其中.82.二次函數(shù)的圖象是拋物線：（1）頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）焦點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）準(zhǔn)線方程是.83.直線與圓錐曲線相交的弦長公式若直線與圓錐曲線交于兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則弦長為；若直線與圓錐曲線交于兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則弦長為。84.圓錐曲線的兩類對(duì)稱問題（1）曲線關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱的曲線是.（2）曲線關(guān)于直線成軸對(duì)稱的曲線是.一、有關(guān)平行的證明1、線∥線⑴公理4⑵⑶⑷l1∥l2l1∥αα∥βl1∥l3l1∥l2l1∥l2l1∥l2l2∥l3α∩β=l2線∥線線∥線線∥面線∥線面∥面線∥線同垂直于一個(gè)平面線∥線2、線∥面⑴⑵α∥βa∥αa∥βa∥b線∥線線∥面面∥面線∥面3、面∥面⑴⑵α∥βα∥βa∥αb∥β線∥面面∥面同垂直于一直線面∥面二、有關(guān)垂直的證明1、線⊥線⑴（線⊥面線⊥線）2、線⊥面⑴⑵⑶⑷a∥bα∥β(線⊥線線⊥面)3、面⊥面（線⊥面面⊥面）85．證明直線與直線的平行的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為判定共面二直線無交點(diǎn)；（2）轉(zhuǎn)化為二直線同與第三條直線平行；（3）轉(zhuǎn)化為線面平行；（4）轉(zhuǎn)化為線面垂直；（5）轉(zhuǎn)化為面面平行.86．證明直線與平面的平行的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為直線與平面無公共點(diǎn)；（2）轉(zhuǎn)化為線線平行；（3）轉(zhuǎn)化為面面平行.87．證明平面與平面平行的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為判定二平面無公共點(diǎn)；（2）轉(zhuǎn)化為線面平行；（3）轉(zhuǎn)化為線面垂直.88．證明直線與直線的垂直的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為相交垂直；（2）轉(zhuǎn)化為線面垂直；89．證明直線與平面垂直的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)任一直線垂直；（2）轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)相交二直線垂直；（3）轉(zhuǎn)化為該直線與平面的一條垂線平行；（4）轉(zhuǎn)化為該直線垂直于另一個(gè)平行平面；（5）轉(zhuǎn)化為該直線與兩個(gè)垂直平面的交線垂直.90．證明平面與平面的垂直的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為判斷二面角是直二面角；（2）轉(zhuǎn)化為線面垂直.91.球的半徑是R，則其體積,其表面積．92.球的組合體(1)球與長方體的組合體:長方體的外接球的直徑是長方體的體對(duì)角線長.(2)球與正方體的組合體:正方體的內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長,正方體的棱切球的直徑是正方體的面對(duì)角線長,正方體的外接球的直徑是正方體的體對(duì)角線長.(3)球與正四面體的組合體:棱長為的正四面體的內(nèi)切球的半徑為,外接球的半徑為.93．體積公式：直棱柱：，錐體：，球體：。94.側(cè)面積：直棱柱側(cè)面積：，；正棱錐側(cè)面積：，，球的表面積：。95.比例的幾個(gè)性質(zhì)比例基本性質(zhì)：；反比定理：更比定理：；合比定理；分比定理：；合分比定理：合比定理：等比定理：若，，則。96.等可能性事件的概率:.97.互斥事件A，B分別發(fā)生的概率的和:若事件