《基本不等式》同步練習 一等獎

《基本不等式》同步練習1．已知a，b∈R＋，則下列不等式不一定成立的是()A．a(chǎn)＋b＋eq\f(1,\r(ab))≥2eq\r(2)B．(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))≥4\f(a2＋b2,\r(ab))≥a＋b\f(2ab,\r(a＋b))≥eq\r(ab)解析取a＝eq\f(1,4)，b＝1試驗知D不成立．答案D2．已知a>0，b>0，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋2eq\r(ab)的最小值是()A．2 B．2eq\r(2)C．4 D．5解析∵a>0，b>0，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥eq\f(2,\r(ab))，當且僅當a＝b時取等號，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋2eq\r(ab)≥eq\f(2,\r(ab))＋2eq\r(ab)≥4，當且僅當eq\f(2,\r(ab))＝2eq\r(ab)，即ab＝1，∴當a＝b＝1時，eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋2eq\r(ab)有最小值4.答案C3．若對x>0，y>0，有(x＋2y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)＋\f(1,y)))≥m恒成立，m的取值范圍是()A．m≤8 B．m>8C．m<0 D．m≤4解析(x＋2y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)＋\f(1,y)))＝2＋eq\f(4y,x)＋eq\f(x,y)＋2≥4＋2eq\r(\f(4y,x)·\f(x,y))＝8.∴m≤8.答案A4．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，則()A．a(chǎn)b≤eq\f(1,2) B．a(chǎn)b≥eq\f(1,2)C．a(chǎn)2＋b2≥2 D．a(chǎn)2＋b2≤3解析∵a＋b＝2，∴a2＋b2＝a2＋(2－a)2＝2a2－4a＋4＝2(a－1)2＋2，a∈[0,2]．∴a2＋b答案C5．某工廠第一年產(chǎn)量為A，第二年的增長率為a，第三年的增長率為b，這兩年的平均增長率為x，則()A.x＝eq\f(a＋b,2) B．x≤eq\f(a＋b,2)C．x>eq\f(a＋b,2) D．x≥eq\f(a＋b,2)解析依題意，可得(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋a＋1＋b,2)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(a＋b,2)))2，∴1＋x≤1＋eq\f(a＋b,2).即x≤eq\f(a＋b,2).答案B6．若實數(shù)a，b滿足a＋b＝2，則3a＋3b解析3a＋3b≥2eq\r(3a·3b)＝2eq\r(3a＋b)＝6.當且僅當a＝b＝1時，取等號．答案67．設x，y，z為正實數(shù)，滿足x－2y＋3z＝0，則eq\f(y2,xz)的最小值是________．解析由x－2y＋3z＝0，得y＝eq\f(x＋3z,2)，代入eq\f(y2,xz)，得eq\f(x2＋9z2＋6xz,4xz)≥eq\f(6xz＋6xz,4xz)＝3，當且僅當x＝3z時取“＝”．答案38．函數(shù)y＝loga(x＋3)－1(a>0，a≠1)的圖象恒過定點A，若A在直線mx＋ny＋1＝0上，其中mn>0，則eq\f(1,m)＋eq\f(2,n)的最小值為________．解析函數(shù)y＝loga(x＋3)－1的圖象恒過定點A(－2，－1)．又∵點A在直線mx＋ny＋1＝0上，∴2m＋n∴eq\f(1,m)＋eq\f(2,n)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)＋\f(2,n)))(2m＋n)＝4＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,m)＋\f(4m,n)))≥4＋2eq\r(4)＝8，當且僅當eq\f(n,m)＝eq\f(4m,n).∵mn>0，∴n＝2m∴當m＝eq\f(1,4)，n＝eq\f(1,2)時，eq\f(1,m)＋eq\f(2,n)有最小值8.答案89．已知x，y∈R＋，且滿足eq\f(x,3)＋eq\f(y,4)＝1，則xy的最大值為________．解析∵x>0，y>0，∴1＝eq\f(x,3)＋eq\f(y,4)≥2eq\r(\f(x,3)·\f(y,4))＝eq\r(\f(xy,3))，∴xy≤3，當且僅當eq\f(x,3)＝eq\f(y,4)，即x＝eq\f(3,2)，y＝2時，xy有最大值3.答案310．如圖所示，將一矩形花壇ABCD擴建成一個更大的矩形花壇AMPN，要求B點在AM上，D點在AN上，且對角線MN過C點，已知|AB|＝3m，|AD|＝2m.(1)要使矩形AMPN的面積大于32m2，則AN(2)當AN的長度是多少時，矩形AMPN的面積最??？并求出最小值．解設AN的長為xm(x>2)，則由eq\f(|DN|,|AN|)＝eq\f(|DC|,|AM|)得|AM|＝eq\f(3x,x－2).所以S矩形AMPN＝|AN|·|AM|＝eq\f(3x2,x－2).(1)由S矩形AMPN>32，得eq\f(3x2,x－2)>32.又x>2，所以3x2－32x＋64>0，解得2<x<eq\f(8,3)，或x>8.所以AN的長度的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(8,3)))∪(8，＋∞)．(2)因為S矩形AMPN＝eq\f(3x2,x－2)＝eq\f(3x－22＋12x－2＋12,x－2)＝3(x－2)＋eq\f(12,x－2)＋12≥2eq\r(3x－2·\f(12,x－2))＋12＝24，當且僅當3(x－2)＝eq\f(12,x－2)，即x＝4時，等號成立．所以當AN的長度是4m時，矩形AMPN的面積最小，最小值為24m211．圍建一個360m2的矩形場地，要求矩形場地的一面利用舊墻(利用的舊墻需維修)，其他三面圍墻要新建，在舊墻對面的新墻上要留一個寬度為2m的進出口，如圖所示．已知舊墻的維修費用為45元/m，新墻的造價為180元/m.設利用的舊墻長度為x(單位：m)，修建此矩形場地圍墻的總費用為y(1)將y表示為x的函數(shù)；(2)試確定x，使修建此矩形場地圍墻的總費用最小，并求出最小總費用．解(1)如圖，設矩形的另一邊長為am，則y＝45x＋180(x－2)＋180·2a＝225x＋360由已知xa＝360，得a＝eq\f(360,x).∴y＝225x＋eq\f(3602,x)－360(x>0)．(2)∵x>0，∴225x＋eq\f(3602,x)≥2eq\r(225×3602)＝10800.∴y＝225x＋eq\f(3602,x)－360≥10440.當且僅當225x＝eq\f(3602,x)時，等號成立．即當x＝24m時，修建圍墻的總費用最小，最小總費用是10440元．12．設f(x)＝eq\f(2x＋4,4x＋8).(1)求f(x)的最大值；(2)證明：對任意實數(shù)a，b恒有f(a)<b2－3b＋eq\f(21,4).解(1)f(x)＝eq\f(2x＋4,4x＋8)＝eq\f(16·2x,2x2＋8)＝eq\f(16,2x＋\f(8,2x))≤eq\f(16,2\r(2x·\f(8,2x)))＝2eq\r(2)，當且僅當2x＝eq\f(8,2x)時，即x＝eq\f(3,2)時等號成立．∴f(x)的最大值為2eq\r(2).(2)證明：∵b2