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文檔簡介
2002年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試卷一、選擇題〔此題總分值36分,每題6分〕此題共有6小題,每題均給出〔A〕、〔B〕、〔C〕、〔D〕四個(gè)結(jié)論,其中有且僅有一個(gè)是正確的.請(qǐng)將正確答案的代表字母填在題后的括號(hào)內(nèi).每題選對(duì)得6分;不選、選錯(cuò)或選出的字母超過一個(gè)〔不管是否寫在括號(hào)內(nèi)〕,一律得0分.1.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是〔A〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕2.假設(shè)實(shí)數(shù)滿足,那么的最小值為〔B〕〔A〕2〔B〕1〔C〕〔D〕3.函數(shù)〔A〕〔A〕是偶函數(shù)但不是奇函數(shù)〔B〕是奇函數(shù)但不是偶函數(shù)〔C〕既是偶函數(shù)又是奇函數(shù)〔D〕既不是偶函數(shù)也不是奇函數(shù)4.直線與橢圓相交于、兩點(diǎn),該橢圓上點(diǎn),使得△的面積等于3.這樣的點(diǎn)共有〔A〕1個(gè)〔B〕2個(gè)〔C〕3個(gè)〔D〕4個(gè)解:設(shè)〔〕,即點(diǎn)在第一象限的橢圓上,如圖,考慮四邊形面積∴〔此時(shí)〕∵∴的最大值為,∴點(diǎn)不可能在直線的上方,顯然在直線的下方有兩個(gè)點(diǎn).5.兩個(gè)實(shí)數(shù)集合與,假設(shè)從到的映射使得中每個(gè)元素都有原象,且,那么這樣的映射共有〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕解:不妨設(shè),將中元素按順序分為非空的50組.定義映射,使第組的元素在之下的象都是〔〕.易知這樣的映射滿足題設(shè)要求,每個(gè)這樣的分組都一一對(duì)應(yīng)滿足條件的映射,于是滿足題設(shè)要求的映射的個(gè)數(shù)與按足碼順序分為50組的分法數(shù)相等,而的分法數(shù)為,那么這樣的映射共有.6.由曲線,,,圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積為;滿足,,的點(diǎn)組成的圖形軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積為,那么〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕解:如圖,兩圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體夾在兩相距為8的平行平面之間.用任意一個(gè)與軸垂直的平面截這兩個(gè)旋轉(zhuǎn)體,設(shè)截面與原點(diǎn)距離為,那么所得截面面積,,∴,由祖暅原理知,兩幾何體體積相等,∴二、填空題〔此題總分值54分,每題9分,此題共有6個(gè)小題,要求直接將答案寫在橫線上.〕7.復(fù)數(shù),滿足,.假設(shè)它們所對(duì)應(yīng)的向量的夾角為,那么.8.將二項(xiàng)式的展開式按降冪排列,假設(shè)前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列,那么該展開式中的冪指數(shù)是整數(shù)的項(xiàng)共有3個(gè).9.點(diǎn)分別是四面體的頂點(diǎn)或棱的中點(diǎn),那么在同一平面上的四點(diǎn)組〔〕有33個(gè).10.是定義在上的函數(shù),且對(duì)任意都有假設(shè),那么.解:由,得,所以即,∴∴即是周期為1的周期函數(shù),又,故11.假設(shè),那么的最小值是.解:由對(duì)稱性只考慮,因?yàn)?,所以只須求的最小值.令公代入,有.這是一個(gè)關(guān)于的二次方程顯然有實(shí)根,故,∴當(dāng),時(shí),.故的最小值為12.使不等式對(duì)一切恒成立的負(fù)數(shù)的取值范圍是.解:原不等式可化為∵,,∴當(dāng)時(shí),函數(shù)有最大值,從而有,整理得∴或,又,∴三、解答題〔此題總分值60分,每題20分〕13.點(diǎn)和拋物線上兩點(diǎn)使得,求點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍.解:設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為,點(diǎn)坐標(biāo)為.顯然,故由于,所以從而,消去,注意到得:由解得:或.當(dāng)時(shí),點(diǎn)的坐標(biāo)為;當(dāng)時(shí),點(diǎn)的坐標(biāo)為,均滿足是題意.故點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍是或.14.如圖,有一列曲線.所圍成的圖形是面積為1的等邊三角形,是對(duì)進(jìn)行如下操作:將的每條邊三等分,以每邊中間局部的線段為邊,向外作等邊三角形,再將中間局部的線段去掉〔〕.記為曲線所圍成圖形的面積.〔1〕求數(shù)列的通項(xiàng)公式;〔2〕求.解:〔1〕對(duì)進(jìn)行操作,容易看出的每條邊變成的4條邊,故的邊數(shù)為;同樣,對(duì)進(jìn)行操作,的每條邊變成的4條邊,故的邊數(shù)為,從而不難得到的邊數(shù)為.的面積為,比擬與.容易看出在的每條邊上增加了一個(gè)小等邊三角形,其面積為,而有3條邊,故再比擬與,可知在的每條邊上增加了一個(gè)小等邊三角形,其面積為,而有條邊,故類似地有:于是有以下用數(shù)學(xué)歸納法證明成立.時(shí),由上面等式成立假設(shè)時(shí),有當(dāng)時(shí),易知第次操作后,比擬與,在的每條邊上增加了一個(gè)小等邊三角形,其面積為,而有條邊,故綜上,由數(shù)學(xué)歸納法知成立.〔2〕.15.設(shè)二次函數(shù)〔〕滿足條件:〔1〕當(dāng)時(shí),,且;〔2〕當(dāng)時(shí),;〔3〕在上的最小值為0.求最大的〔〕,使得存在,只要,就有.解:∵,∴函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱,∴,由〔3〕知,時(shí),,即,由〔1〕得,由〔2〕得∴,即,又=0∴,,,∴假設(shè)存在,只要,就有.取有.即,解得.對(duì)固定的,取,有,即,化簡有,,解得于是有當(dāng)時(shí),對(duì)任意的,恒有.所以的最大值為9.2002年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試試卷一、〔此題總分值50分〕如圖,在△中,,,點(diǎn)是外心,兩條高、交于點(diǎn).點(diǎn)、分別在線段、上,且滿足.求的值.解:在上取,邊接.由三角形外心的性質(zhì)知,由三角形垂心的性質(zhì)知∴∴四點(diǎn)共圓.,又,,∴△≌△∵,∴,觀察△,,那么;又∵,,∴∴,故.二、〔此題總分值50分〕實(shí)數(shù)和正數(shù)使得有三個(gè)實(shí)根,且滿足〔1〕;〔2〕.求的最大值.解:由于所以是方程的兩個(gè)根,由〔1〕可得,即再由〔2〕可得,且易知由可得由,得記,那么,且令,那么,且由于所以于是,由此得取,,,,那么有根,,0,顯然假設(shè)條件成立,且.綜上可知,的最大值為.三、〔此題總分值50分〕在世界杯足球賽前,國教練為了考察,這七名隊(duì)員,準(zhǔn)備讓他們?cè)谌龍鲇?xùn)練比賽〔每場90分鐘〕都上場.假設(shè)在比賽的任何時(shí)刻,這些隊(duì)員中有且僅有一人在場上,并且每人上場的總時(shí)間〔以分鐘為單位〕均被7整除,每人上場的總時(shí)間〔以分鐘為單位〕均被13整除.如果每場換人次數(shù)不限,那么按每名隊(duì)員上場的總時(shí)間計(jì)算,共有多少種不同的情況.解:設(shè)第名隊(duì)員上場的時(shí)間為分鐘〔〕,問題即求不定方程〔1〕在條件〔〕且〔〕下的正整數(shù)解的組數(shù).假設(shè)是滿足條件〔1〕的一組正整數(shù)解,那么應(yīng)有,,于是是不定方程〔2〕在條件且下的一組正整數(shù)解由于令,,有〔3〕所以,求〔2〕滿足條件,的正整數(shù)解等價(jià)于求〔3〕的非負(fù)整數(shù)解.易觀察到于是有即是〔3〕的整數(shù)特解,從而〔3〕的整數(shù)通解為令,解得.取,得到〔3〕滿足條件的三組非負(fù)整數(shù)解:從而得到〔2〕滿足條件的三組正整數(shù)解:①在,時(shí),顯然僅有一種可能;又設(shè)〔〕,于是由不定方程有組正整數(shù)解.可
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