矩陣在常系數(shù)遞推關(guān)系中的應(yīng)用分析研究 應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)

目錄TOC\o"1-3"\h\u1760內(nèi)容摘要 110626關(guān)鍵詞 1239431引言 1169381.1研究現(xiàn)狀 1217271.2研究意義 21.3研究思路及研究方法21208 2212082矩陣相關(guān)知識(shí) 237972.1矩陣的加法和數(shù)與矩陣的乘法 2288242.2矩陣的乘法 3212082.3矩陣對(duì)角化 4212082.4可對(duì)角化矩陣的性質(zhì) 53矩陣在常系數(shù)線性遞推關(guān)系中的應(yīng)用1692 73.1矩陣在常系數(shù)線性齊次遞推關(guān)系(組)的應(yīng)用31490 83.1.1應(yīng)用矩陣表示常系數(shù)線性齊次遞推關(guān)系31490 83.1.2矩陣方法求解常系數(shù)線性齊次遞推關(guān)系31490 9282483.2矩陣在常系數(shù)線性非齊次遞推關(guān)系(組)的應(yīng)用 11212083.2.1應(yīng)用矩陣表示常系數(shù)線性非齊次遞推關(guān)系 113.2.2矩陣方法求解常系數(shù)線性非齊次遞推關(guān)系21208 124應(yīng)用矩陣方法求解常系數(shù)線性遞推關(guān)系的優(yōu)劣21208 13212085結(jié)論 1521208參考文獻(xiàn) 1621208Abstract 16Keywords21208 16矩陣在常系數(shù)線性遞推關(guān)系中的應(yīng)用【內(nèi)容摘要】本文在前人的研究基礎(chǔ)上，對(duì)應(yīng)用矩陣的相關(guān)知識(shí)與常系數(shù)線性遞推關(guān)系進(jìn)行研究.首先，歸納出一些矩陣的相關(guān)知識(shí).其次，應(yīng)用矩陣來(lái)表示常系數(shù)線性遞推關(guān)系.然后再應(yīng)用矩陣求解常系數(shù)線性遞推關(guān)系，介紹矩陣方法如何應(yīng)用.最后，舉出簡(jiǎn)單的遞推關(guān)系的問(wèn)題，用一般方法和矩陣方法分別對(duì)這些問(wèn)題進(jìn)行解答，并比較這些方法在解決實(shí)際問(wèn)題中的優(yōu)劣之處，提出一些自己的建議.將遞推關(guān)系組與矩陣相結(jié)合，用矩陣對(duì)角化及特征值理論求解一類遞推關(guān)系組，并給出通解.【關(guān)鍵詞】矩陣的加法；可對(duì)角化；應(yīng)用矩陣；遞推關(guān)系；1引言1.1研究現(xiàn)狀遞推關(guān)系不僅對(duì)組合論有重要意義，而且?guī)缀鯇?duì)一切數(shù)學(xué)分支都有重要意義.求解常系數(shù)線性遞推關(guān)系的最有效的常見(jiàn)的方法是母函數(shù)法和特征根法，而本文將用矩陣進(jìn)行求解，其基本思想為：對(duì)于某些遞推關(guān)系定義的數(shù)列,根據(jù)矩陣特征值理論，將數(shù)列的一般項(xiàng)表為含有對(duì)角陣的矩陣乘法形式，在此基礎(chǔ)上推出數(shù)列的通項(xiàng)公式.楊振生在《組合數(shù)學(xué)及其算法》[1]中提到常系數(shù)線性齊次遞推關(guān)系以及常系數(shù)線性非齊次遞推關(guān)系的求解，通過(guò)對(duì)不同形式的遞推關(guān)系問(wèn)題采用不同的方法進(jìn)行求解歸納，以及簡(jiǎn)單的應(yīng)用.岳嶸在《利用矩陣對(duì)角化求數(shù)列通項(xiàng)》[2]中提出利用矩陣求解具有特殊性質(zhì)的數(shù)列的通項(xiàng)公式；尹飛，楊方，趙天玉在《用矩陣對(duì)角化求解一類遞推關(guān)系組》[3]中把遞推關(guān)系與矩陣相結(jié)合，用矩陣對(duì)角化來(lái)求解一類遞推關(guān)系組；鄭華盛，徐偉在《矩陣對(duì)角化的應(yīng)用》[4]中利用矩陣對(duì)角化求解一類具有遞推關(guān)系式的數(shù)列的通項(xiàng)與極限及一類三對(duì)角線行列式，這是矩陣在求解遞推關(guān)系問(wèn)題中知識(shí)的延拓與提升.通過(guò)文獻(xiàn)整理可知，目前矩陣在常系數(shù)線性遞推關(guān)系中的應(yīng)用只是簡(jiǎn)單的利用矩陣對(duì)角化解決常系數(shù)線性遞推關(guān)系問(wèn)題.對(duì)矩陣方法在常系數(shù)線性遞推關(guān)系中的應(yīng)用沒(méi)有具體說(shuō)明該怎么用，為什么要這么用或是為什么要用矩陣方法來(lái)解決，只是草草地給出定義以及引理，并沒(méi)有深入去研究應(yīng)用矩陣解決常系數(shù)線性遞推關(guān)系問(wèn)題可以帶來(lái)怎么樣的方便，只是簡(jiǎn)單地說(shuō)明了應(yīng)用矩陣解遞推關(guān)系問(wèn)題的方便之處在于將常系數(shù)線性遞推關(guān)系問(wèn)題簡(jiǎn)單化、統(tǒng)一化，降低了思維難度.1.2研究意義矩陣在求解一類具有遞推關(guān)系式中占有非常重要的作用，通過(guò)矩陣的對(duì)角化將數(shù)列的一般項(xiàng)表示為含有對(duì)角陣的矩陣乘法形式，運(yùn)用矩陣相關(guān)知識(shí),并且結(jié)合數(shù)學(xué)思想與方法，并與高等數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)知識(shí)融為一體，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力及創(chuàng)新能力，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.矩陣在常系數(shù)線性遞推關(guān)系中的相關(guān)研究是符合當(dāng)代大學(xué)生的一項(xiàng)研究.研究的目的在于通過(guò)一系列研究得出矩陣對(duì)角化解法在某類遞推關(guān)系中是具體優(yōu)勢(shì)的，讓學(xué)生能夠在解題中明白知識(shí)是環(huán)環(huán)相扣的.1.3研究思路及研究方法本文研究的基本思路：首先收集資料進(jìn)行綜合分析，歸納整理，了解當(dāng)前研究的背景及其現(xiàn)狀.基于目前研究矩陣的現(xiàn)狀，提出研究的意義.然后，對(duì)矩陣的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行分析.將矩陣知識(shí)與常系數(shù)線性遞推關(guān)系進(jìn)行結(jié)合，應(yīng)用矩陣表示常系數(shù)線性遞推關(guān)系；用滿足矩陣可對(duì)角化的條件，證明常系數(shù)線性遞推關(guān)系.由矩陣知識(shí)用到某些復(fù)雜的遞推關(guān)系問(wèn)題上，綜合比較常規(guī)的解題方法總結(jié)出各自的優(yōu)缺點(diǎn)以及適用情況.在掌握了矩陣方法解決常系數(shù)線性遞推關(guān)系問(wèn)題的一般步驟后，對(duì)矩陣方法應(yīng)用于常系數(shù)線性遞推關(guān)系進(jìn)行進(jìn)一步研究，分析得出用矩陣方法解題所適合的情況及其優(yōu)劣之處.基于對(duì)文獻(xiàn)資料的分析上，歸納出應(yīng)用矩陣在求解常系數(shù)線性遞推關(guān)系的技巧與方法.最后，對(duì)文章進(jìn)行總結(jié).本研究首先采用文獻(xiàn)研究法，根據(jù)所研究的論文題目，通過(guò)查閱相關(guān)文獻(xiàn)，從而能夠正確的了解掌握所要研究的問(wèn)題.在研究矩陣在常系數(shù)線性遞推關(guān)系中的研究現(xiàn)狀上運(yùn)用文獻(xiàn)研究法，能形成關(guān)于研究對(duì)象的印象.然后采用比較研究法，通過(guò)縱橫比較，對(duì)矩陣方法與常規(guī)方法進(jìn)行利弊分析，最后總結(jié)矩陣方法是否實(shí)用.2矩陣相關(guān)知識(shí)2.1矩陣的加法和數(shù)與矩陣的乘法定義2.1[5]兩個(gè)行列矩陣，對(duì)應(yīng)位置元素相加得到的行列矩陣，稱為矩陣與矩陣的和，記為，即.例2.1.1設(shè)矩陣,,求.解：注1只有對(duì)于兩個(gè)行數(shù)、列數(shù)分別相等的矩陣（即同型矩陣），加減法運(yùn)算才有意義，即加減運(yùn)算是可行的.定義2.2以數(shù)乘矩陣的每一個(gè)元素所得到的矩陣，稱為數(shù)與矩陣的積，記作.如果，那么.例2.1.2設(shè),求.解：2.2矩陣的乘法定義2.3設(shè)矩陣的數(shù)列與矩陣的行數(shù)相同,則由元素構(gòu)成的行列矩陣稱為矩陣與矩陣的積，記為或.這個(gè)定義說(shuō)明，如果矩陣的列數(shù)等于矩陣的行數(shù)，則與的乘積中第行第列的元素，等于矩陣的第行元素與矩陣的第列對(duì)應(yīng)元素乘積的和，并且矩陣的行數(shù)等于矩陣的行數(shù)，矩陣的列數(shù)等于矩陣的列數(shù).例2.2.1設(shè)矩陣,，計(jì)算.解：是的矩陣.設(shè)它為，那么.注2(1)只有當(dāng)左矩陣的列數(shù)等于右矩陣的行數(shù)時(shí)，兩個(gè)矩陣才可以相乘；(2)乘積矩陣的行數(shù)等于左矩陣的行數(shù)，列數(shù)等于右矩陣的列數(shù)；(3)乘積矩陣的第行第列的元素等于左矩陣的第行與右矩陣的第列的對(duì)應(yīng)元素的乘積之和.2.3矩陣對(duì)角化定義2.4[6]設(shè),為階矩陣，如果有階可逆矩陣存在，使得成立，則稱矩陣與相似，記為.例2.3.1,,則,,所以,即.通俗地說(shuō)就是經(jīng)過(guò)矩陣的一系列行、列變換（初等變換）后，能得到一個(gè)只有主對(duì)角線上元素不全為零，而且其他位置全為零的另一個(gè)矩陣（這個(gè)矩陣稱為對(duì)角陣），這個(gè)過(guò)程叫做矩陣的對(duì)角化，并不是所有的矩陣都能對(duì)角化.矩陣可對(duì)角化在求矩陣的高次冪中有重要作用，矩陣的對(duì)角化有多種判別方法.本節(jié)對(duì)矩陣對(duì)角化作一點(diǎn)討論.例2.3.2矩陣是否能對(duì)角化？如果能，將其對(duì)角化.解：先求的特征值和特征向量.特征方程為則的特征值為，.把代入，求得特征向量；把代入，求得特征向量.由于特征值都是單根，所以矩陣是可對(duì)角化的.取,則,于是有.注3(1)當(dāng)矩陣的特征值全部是單根時(shí)，是可對(duì)角化的.(2)當(dāng)矩陣的特征值是重根時(shí)，只要每一個(gè)重根的特征值所對(duì)應(yīng)的全部線性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)都等于特征值的重?cái)?shù)，則是可對(duì)角化的；當(dāng)有一個(gè)重根的特征值所對(duì)應(yīng)的全部線性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)小于特征值的重?cái)?shù)時(shí)，則不能對(duì)角化.引理2.3.1設(shè)，且,則存在可逆矩陣,使可同時(shí)對(duì)角化.引理2.3.2如果有個(gè)互不相同的對(duì)角元素，對(duì)某個(gè)，則當(dāng)且僅當(dāng)本身是對(duì)角陣.2.4可對(duì)角化矩陣的性質(zhì)定理2.4.1設(shè)是數(shù)域上的一個(gè)可對(duì)角化的階矩陣,是的互不相同的特征根，則存在階矩陣，使；,為單位矩陣；；,,為零矩陣，其中.證明1)由可對(duì)角化,則存在上的一個(gè)階可逆矩陣,使得其中的重?cái)?shù)為,由于既,所以記,其中故.2)由每個(gè)為對(duì)角形冪等陣，則，,故.3)由，則故.4)當(dāng)時(shí),；為零矩陣故,.矩陣在常系數(shù)線性遞推關(guān)系中的應(yīng)用常系數(shù)線性遞推關(guān)系分為常系數(shù)線性齊次遞推關(guān)系和常系數(shù)線性非齊次遞推關(guān)系兩種情況.定義3.1常系數(shù)線性齊次遞推關(guān)系，其形如或這里全部是常數(shù).例如就是一個(gè)常系數(shù)線性齊次遞推關(guān)系.定義3.2常系數(shù)線性非齊次遞推關(guān)系，其形如這里全部是常數(shù).例如都是常系數(shù)線性非齊次遞推關(guān)系.那么對(duì)于非常系數(shù)非線性遞推關(guān)系的求解一般是非常困難的，目前的求解方法還不夠成熟，因此我們只考慮求解常系數(shù)線性齊次遞推關(guān)系以及常系數(shù)線性非齊次遞推關(guān)系這兩類特殊的遞推關(guān)系.3.1矩陣在常系數(shù)線性齊次遞推關(guān)系(組)的應(yīng)用3.1.1應(yīng)用矩陣表示常系數(shù)線性齊次遞推關(guān)系遞推數(shù)列形如[7]對(duì)此情形的數(shù)列，通過(guò)觀察等式，可等價(jià)給出方程組該方程組可表示為矩陣形式.(1)例3.1.1[8]構(gòu)造數(shù)列且滿足遞推關(guān)系現(xiàn)在考慮將數(shù)列采用矩陣的形式表示.因?yàn)樗?.1.2矩陣方法求解常系數(shù)線性齊次遞推關(guān)系令,,,則式(1)可以寫(xiě)成.由該式遞推得.那么求的問(wèn)題就轉(zhuǎn)為求矩陣,也就是求解矩陣.若矩陣可以對(duì)角化，即存在可逆矩陣,使得為對(duì)角形矩陣，則問(wèn)題變得更方便求解.例3.1.2已知數(shù)列滿足.求數(shù)列的通項(xiàng)公式.解：由原數(shù)列可得也即.可令,則存在,使得.從而,綜上所述.小結(jié)：對(duì)于該題的求解,我們可以發(fā)現(xiàn)矩陣方法解決此類型題比較簡(jiǎn)便，首先我們應(yīng)用矩陣方法求出矩陣,進(jìn)而求出可逆矩陣，在求解矩陣的逆矩陣時(shí)，使用矩陣的乘法需要細(xì)心，避免求解錯(cuò)誤，運(yùn)用矩陣方法可避免了構(gòu)造新的數(shù)列難點(diǎn)，更突出了矩陣方法方便、快捷的優(yōu)點(diǎn).例3.1.3有遞推關(guān)系求解這個(gè)常系數(shù)線性齊次遞推關(guān)系.解：該遞推關(guān)系的遞推定義方式可以看成是由與的聯(lián)立方程組，作矩陣向量,則上述聯(lián)立方程組可表為：,記,則的特征多項(xiàng)式,故的特征根為，.故可對(duì)角化,令,,可得.又由于,故有：,可得即.小結(jié)：類似上題的斐波那契數(shù)列也是一類常系數(shù)線性齊次遞推關(guān)系，在求解時(shí)用矩陣的加減法求出，進(jìn)而利用矩陣對(duì)角化方法，將遞推關(guān)系的定義方式看成聯(lián)立的方程組，作出矩陣向量，避免了母函數(shù)構(gòu)造新數(shù)列的復(fù)雜操作，使得求解方便快捷.3.2矩陣在常系數(shù)線性非齊次遞推關(guān)系(組)的應(yīng)用3.2.1應(yīng)用矩陣表示常系數(shù)線性非齊次遞推關(guān)系情況3.2.1遞推數(shù)列形如，由此數(shù)列可得寫(xiě)成矩陣形式表示為情況3.2.2雙遞推數(shù)列形如(為常數(shù)).對(duì)此數(shù)列,可寫(xiě)成矩陣形式.因此原遞推關(guān)系問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求解冪矩陣問(wèn)題，從而可求出數(shù)列和的通項(xiàng)公式.3.2.2矩陣方法求解常系數(shù)線性非齊次遞推關(guān)系對(duì)于遞推數(shù)列將其寫(xiě)成矩陣形式進(jìn)而對(duì)其求解即.由此原問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求矩陣運(yùn)算，進(jìn)而可求出通項(xiàng)公式.例3.2.1設(shè)數(shù)列滿足求數(shù)列的通項(xiàng)公式.解：將遞推關(guān)系變形后寫(xiě)成矩陣形式易求得矩陣的特征根和對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量分別為則存在使得所以從而可知小結(jié)：這個(gè)問(wèn)題的正常思路是通過(guò)構(gòu)造型的常數(shù)列來(lái)求解，但是卻不容易易想得到，應(yīng)用矩陣方法可以避開(kāi)這些難點(diǎn)，因此問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求解矩陣的問(wèn)題.例3.2.2設(shè)數(shù)列和滿足.求證：是完全平方數(shù).解：有已知條件容易推知記矩陣.易求得矩陣的特征根為則存在可逆矩陣使得.于是可由.求得的通項(xiàng)公式形如將代入上式可求得于是有.小結(jié):雙遞推數(shù)列問(wèn)題在使用一般方法解決的過(guò)程中較為繁雜，類似此題，需要構(gòu)造新的數(shù)列再使用特征方程的方法求解.若用矩陣方法求解,可達(dá)到事半功倍的效果.應(yīng)用矩陣方法求解常系數(shù)線性遞推關(guān)系的優(yōu)劣求解常系數(shù)線性遞推關(guān)系最有效的常見(jiàn)的方法是母函數(shù)法和特征根法，而本文用矩陣方法進(jìn)行求解，那么矩陣方法又存在怎樣的優(yōu)勢(shì)以及局限性，以下對(duì)三種方法進(jìn)行一下討論.例4.1.1設(shè)邊界條件，,,求解該遞推關(guān)系.解法一：(母函數(shù)法)設(shè)則存在所以易求得又有所以解法二：(特征根法)該遞推關(guān)系的特征方程為：，所以,從而，又由可得解得因此.解法三：(矩陣方法)由原數(shù)列可得也即,可令,則存在,使得,從而所以.小結(jié)：母函數(shù)法需要構(gòu)造新的數(shù)列，操作比較復(fù)雜，但是能夠有效的解決遞推關(guān)系問(wèn)題.特征根法求解便捷，類似這一道題，如果在遇到有重根的問(wèn)題時(shí)會(huì)對(duì)求解遞推關(guān)系帶來(lái)不便.矩陣方法求解遞推關(guān)系時(shí)，如果能夠?qū)⑦f推關(guān)系寫(xiě)成矩陣形式，并且該矩陣能夠?qū)腔?，進(jìn)而求解冪矩陣，那么求解遞推關(guān)系就很方便了.例4.2.1設(shè)邊界條件，，，求該遞推關(guān)系.解法一：(母函數(shù)法)設(shè)則存在所以易求得又有所以綜上所述.解法二：(特征根法)該遞推關(guān)系的特征方程為提公因式得解得所以因?yàn)樗运跃C上所述.解法三：(矩陣方法)將遞推關(guān)系變形后寫(xiě)為矩陣形式易求得矩陣的特征根和對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量分別為因?yàn)樵摼仃嚨奶卣鞣匠逃邢嗤奶卣鞲⑶姨卣飨蛄烤€性相關(guān)，因此無(wú)法求出對(duì)角化矩陣，無(wú)法應(yīng)用矩陣方法求解.小結(jié)：母函數(shù)方法能夠有效求解遞推關(guān)系，但是需要構(gòu)造新的數(shù)列，操作比較復(fù)雜，特征根法求解便捷，但是如果在遇到有重根的問(wèn)題時(shí)會(huì)對(duì)求解遞推關(guān)系帶來(lái)不便.而矩陣方法則可避免重新構(gòu)造數(shù)列，但是類似上題，通過(guò)變形求解得出兩個(gè)特征向量線性相關(guān)，無(wú)法求出對(duì)角化矩陣，因此應(yīng)用矩陣方法求解遞推關(guān)系具有一定的局限性.5結(jié)論矩陣的對(duì)角化將數(shù)列的一般項(xiàng)表示為含有對(duì)角陣的矩陣乘法形式，避免了類似母函數(shù)一樣需要構(gòu)造新的數(shù)列，解決問(wèn)題時(shí)較為方便快捷，至于特征根法，對(duì)于有重根的特征方程求解不方便，我們利用矩陣方法時(shí)，列出矩陣，求出矩陣可對(duì)角化,再得出可逆矩陣，進(jìn)而求出冪矩陣，最終求解出遞推關(guān)系式.本文在研究中也存在很多不足之處：對(duì)于某些方陣不可對(duì)角化時(shí)，矩陣方法存在很大的局限性；對(duì)于階數(shù)較大的方陣不便于求解.并且由于研究水平能力有限等原因，因此，本文對(duì)矩陣方法應(yīng)用于常系數(shù)線性遞推關(guān)系中只是初步的研究，實(shí)踐中還有需進(jìn)一步驗(yàn)證和總結(jié).

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