高中數(shù)學(xué) 2.3.3直線與平面垂直、平面與平面垂直的性質(zhì) 新人教A必修2

2．3.3直線與平面垂直、平面與平面垂直的性質(zhì).

學(xué)習(xí)目標(biāo)

預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)

典例精析

欄目鏈接.1．理解直線與平面垂直的性質(zhì)定理，平面與平面垂直的性質(zhì)定理，并能利用性質(zhì)定理解決有關(guān)問題．2．了解直線與平面，平面與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理間的相互聯(lián)系．.

學(xué)習(xí)目標(biāo)

預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)

典例精析

欄目鏈接典例精析.題型一線面垂直性質(zhì)的應(yīng)用

學(xué)習(xí)目標(biāo)

預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)

典例精析

欄目鏈接例1如右圖所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)．(1)求證：MN⊥CD；(2)若∠PDA＝45°，求證：MN⊥平面PCD..

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預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)

典例精析

欄目鏈接.

學(xué)習(xí)目標(biāo)

預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)

典例精析

欄目鏈接.

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預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)

典例精析

欄目鏈接?跟蹤訓(xùn)練1．如圖，已知直線a⊥α，直線b⊥β，且AB⊥a，AB⊥b，平面α∩β＝c.求證：AB∥c.證明：過點(diǎn)B引直線a′∥a，a′與b確定的平面設(shè)為γ，∵a′∥a，AB⊥a，∴AB⊥a′，又AB⊥b，a′∩b＝B，∴AB⊥γ.∵b⊥β，c?β，∴b⊥c.①∵a⊥α，c?α，∴a⊥c.又a′∥a，∴a′⊥c.②由①②可得c⊥γ，又AB⊥γ，∴AB∥c..題型二面面垂直性質(zhì)的應(yīng)用

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預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)

典例精析

欄目鏈接例2如圖，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E為垂足．(1)求證：PA⊥平面ABC；(2)當(dāng)E為△PBC的垂心時(shí)，求證：△ABC是直角三角形．.

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典例精析

欄目鏈接證明：利用線面垂直的判定、面面垂直的性質(zhì)來解．(1)如圖，在平面ABC內(nèi)取一點(diǎn)D，作DF⊥AC于F.∵平面PAC⊥平面ABC，且交線為AC，∴DF⊥平面PAC，PA?平面PAC，∴DF⊥AP.作DG⊥AB于G.同理可證DG⊥AP.DG，DF都在平面ABC內(nèi)，且DG∩DF＝D，∴PA⊥平面ABC.(2)如圖，連接BE并延長(zhǎng)交PC于H.∵E是△PBC的垂心，.

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預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)

典例精析

欄目鏈接∴PC⊥BE.又已知AE是平面PBC的垂線，∴PC⊥AE.又∵BE∩AE＝E，∴PC⊥平面ABE.∴PC⊥AB.又∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB.又∵PC∩PA＝P.∴AB⊥平面PAC.∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．點(diǎn)評(píng)：證明線面垂直、面面垂直、線線垂直不要局限于一個(gè)方面，有時(shí)需考慮多種情況的綜合．.

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典例精析

欄目鏈接?跟蹤訓(xùn)練2．如圖所示，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，點(diǎn)E在線段PC上，PC⊥平面BDE.(1)證明：BD⊥平面PAC；(2)若PA＝1，AD＝2，求二面角BPCA的正切值．.

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典例精析

欄目鏈接證明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD.∵PC⊥平面BDE，∴PC⊥BD.又∵PA∩PC＝P，BD?平面PAD.∴BD⊥平面PAC.(2)設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，連接OE，∵PC⊥平面BDE，∴PC⊥OE.又∵BO⊥平面PAC，∴PC⊥BO.∴PC⊥平面BOE.∴PC⊥BE.∵OE∩BO＝O∴∠BEO為二面角BPCA的平面角．∵BD⊥平面PAC，∴BD⊥AC，∴四邊形ABCD為正方形.

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欄目鏈接.題型三綜合應(yīng)用

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欄目鏈接例3如右圖所示，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且邊長(zhǎng)為a的菱形，側(cè)面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，(1)求證：AD⊥PB；(2)若E為BC邊的中點(diǎn)，能否在棱上找到一點(diǎn)F，使平面DEF⊥平面ABCD，并證明你的結(jié)論．.

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欄目鏈接

(1)證明：設(shè)G為AD的中點(diǎn)，連接PG，∵△PAD為正三角形，∴PG⊥AD.在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G為AD的中點(diǎn)，∴BG⊥AD.又BG∩PG＝G，∴AD⊥平面PGB.∵PB?平面PGB，∴AD⊥PB.(2)解析：當(dāng)F為PC的中點(diǎn)時(shí)，滿足平面DEF⊥平面ABCD.取PC的中點(diǎn)F，連接DE，EF，DF，.

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欄目鏈接在△PBC中，F(xiàn)E∥PB.在菱形ABCD中，GB∥DE，而FE?平面DEF，DE?平面DEF，EF∩DE＝E.PB?平面PGB，GB?平面PGB，PB∩GB＝B，∴平面DEF∥平面PGB.由(1)得PG⊥平面ABCD，而PG?平面PGB，∴平面PGB⊥平面ABCD，∴平面DEF⊥平面ABCD.點(diǎn)評(píng)：空間問題化成平面問題是解決立體幾何問題的一個(gè)基本原則，解題時(shí)要抓住幾何圖形自身的特點(diǎn)，如等腰(邊)三角形的三線合一、中位線定理、菱形的對(duì)角線互相垂直等等，還可以通過解三角形，產(chǎn)生一些題目所需要的條件．對(duì)于一些較復(fù)雜的問題，注意應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想解決問題．.

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典例精析

欄目鏈接?跟蹤訓(xùn)練3．如圖，在三棱錐PABC中，△PAB是等邊三角形，∠PAC＝∠PBC＝90°.(1)證明：AB⊥PC；(2)若PC＝4，且平面PAC⊥平面PBC，求三棱錐PABC的體積．.

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典例精析

欄目鏈接證明：(1)因?yàn)椤鱌AB是等邊三角形，所以PB＝PA，因?yàn)椤螾AC＝∠PBC＝90°，PC＝PC，所以Rt△PBC≌Rt△PAC，所以AC＝BC.如圖，取AB中點(diǎn)D，連接PD，CD，則PD⊥AB，CD⊥AB，又因?yàn)镻D∩CD＝D，所以AB⊥平面PDC，所以AB⊥PC..

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典例精析

欄目鏈接

(2)解析：作BE⊥PC，垂足為E，連接AE.因?yàn)镽t△PBC≌Rt△PAC，所以AE⊥PC，AE＝BE.由已知，平面PAC⊥平面PBC，故∠AEB＝90°.因?yàn)椤螦EB＝90°，∠PEB