D反常積分合工大

會(huì)計(jì)學(xué)1D反常積分合工大則定義(c

為任意取定的常數(shù))只要有一個(gè)極限不存在,就稱發(fā)散.無(wú)窮限的反常積分也稱為第一類反常積分.并非不定型,說(shuō)明:上述定義中若出現(xiàn)它表明該反常積分發(fā)散.第1頁(yè)/共16頁(yè)引入記號(hào)則有類似牛–

萊公式的計(jì)算表達(dá)式:第2頁(yè)/共16頁(yè)例1.計(jì)算反常積分解:思考:分析:原積分發(fā)散!注意:

對(duì)反常積分,只有在收斂的條件下才能使用“偶倍奇零”的性質(zhì),否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.第3頁(yè)/共16頁(yè)例2.證明第一類p

積分證:當(dāng)p=1時(shí)有當(dāng)p≠1時(shí)有當(dāng)

p>1時(shí)收斂;p≤1

時(shí)發(fā)散.因此,當(dāng)p>1時(shí),反常積分收斂,其值為當(dāng)p≤1時(shí),反常積分發(fā)散.第4頁(yè)/共16頁(yè)例3.計(jì)算反常積分解:第5頁(yè)/共16頁(yè)二、無(wú)界函數(shù)的反常積分引例:曲線所圍成的與x軸,y軸和直線開(kāi)口曲邊梯形的面積可記作其含義可理解為第6頁(yè)/共16頁(yè)定義2.設(shè)而在點(diǎn)a

的右鄰域內(nèi)無(wú)界,存在,這時(shí)稱反常積分收斂;如果上述極限不存在,就稱反常積分發(fā)散.類似地,若而在b

的左鄰域內(nèi)無(wú)界,若極限數(shù)f(x)在[a,b]上的反常積分,記作則定義則稱此極限為函第7頁(yè)/共16頁(yè)若被積函數(shù)在積分區(qū)間上僅存在有限個(gè)第一類說(shuō)明:而在點(diǎn)c

的無(wú)界函數(shù)的積分又稱作第二類反常積分,無(wú)界點(diǎn)常稱鄰域內(nèi)無(wú)界,為瑕點(diǎn)(奇點(diǎn)).例如,間斷點(diǎn),而不是反常積分.則本質(zhì)上是常義積分,則定義第8頁(yè)/共16頁(yè)注意:若瑕點(diǎn)的計(jì)算表達(dá)式:則也有類似牛–萊公式的若b為瑕點(diǎn),則若a為瑕點(diǎn),則若a,b都為瑕點(diǎn),則則可相消嗎?第9頁(yè)/共16頁(yè)下述解法是否正確:,∴積分收斂例4.計(jì)算反常積分解:顯然瑕點(diǎn)為a,所以原式例5.討論反常積分的收斂性.解:所以反常積分發(fā)散.第10頁(yè)/共16頁(yè)例6.證明反常積分證:當(dāng)q=1時(shí),當(dāng)q<1時(shí)收斂;q≥1

時(shí)發(fā)散.當(dāng)q≠1

時(shí)所以當(dāng)

q<1時(shí),該廣義積分收斂,其值為當(dāng)q≥1時(shí),該廣義積分發(fā)散第11頁(yè)/共16頁(yè)例7.解：：求的無(wú)窮間斷點(diǎn),故

I為反常積分.和為第12頁(yè)/共16頁(yè)內(nèi)容小結(jié)1.反常積分積分區(qū)間無(wú)限被積函數(shù)無(wú)界常義積分的極限2.兩個(gè)重要的反常積分第13頁(yè)/共16頁(yè)說(shuō)明:(1)有時(shí)通過(guò)換元,反常積分和常義積分可以互相轉(zhuǎn)化.例如,(2)當(dāng)一題同時(shí)含兩類反常積分時(shí),應(yīng)劃分積分區(qū)間,