D定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用

會(huì)計(jì)學(xué)1D定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用例1.一個(gè)單(a<b),求電場(chǎng)力所作的功.解:當(dāng)單位正電荷距離原點(diǎn)r

時(shí),由庫(kù)侖定律電場(chǎng)力為則功的元素為所求功為說明:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束位正電荷沿直線從距離點(diǎn)電荷

a

處移動(dòng)到b處在一個(gè)帶+q電荷所產(chǎn)生的電場(chǎng)作用下,第1頁(yè)/共23頁(yè)例2.體,求移動(dòng)過程中氣體壓力所解:由于氣體的膨脹,把容器中的一個(gè)面積為S的活塞從點(diǎn)a

處移動(dòng)到點(diǎn)b

處(如圖),作的功.建立坐標(biāo)系如圖.由波義耳—馬略特定律知壓強(qiáng)

p

與體積V

成反比,即功元素為故作用在活塞上的所求功為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束力為在底面積為S

的圓柱形容器中盛有一定量的氣第2頁(yè)/共23頁(yè)例3.試問要把桶中的水全部吸出需作多少功?解:

建立坐標(biāo)系如圖.在任一小區(qū)間上的一薄層水的重力為這薄層水吸出桶外所作的功(功元素)為故所求功為(KJ

)設(shè)水的密度為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(KN)一蓄滿水的圓柱形水桶高為5m,底圓半徑為3m,第3頁(yè)/共23頁(yè)面積為A的平板二、液體側(cè)壓力設(shè)液體密度為深為h

處的壓強(qiáng):當(dāng)平板與水面平行時(shí),當(dāng)平板不與水面平行時(shí),所受側(cè)壓力問題就需用積分解決.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束平板一側(cè)所受的壓力為??第4頁(yè)/共23頁(yè)小窄條上各點(diǎn)的壓強(qiáng)例4.

的液體,

求桶的一個(gè)端面所受的側(cè)壓力.解:

建立坐標(biāo)系如圖.所論半圓的利用對(duì)稱性,側(cè)壓力元素端面所受側(cè)壓力為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束方程為一水平橫放的半徑為R

的圓桶,內(nèi)盛半桶密度為第5頁(yè)/共23頁(yè)說明:當(dāng)桶內(nèi)充滿液體時(shí),小窄條上的壓強(qiáng)為側(cè)壓力元素故端面所受側(cè)壓力為奇函數(shù)(P350公式67)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第6頁(yè)/共23頁(yè)三、引力問題質(zhì)量分別為的質(zhì)點(diǎn),相距r,二者間的引力:大小:方向:沿兩質(zhì)點(diǎn)的連線若考慮物體對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力,則需用積分解決.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第7頁(yè)/共23頁(yè)例5.設(shè)有一長(zhǎng)度為l,線密度為的均勻細(xì)直棒,其中垂線上距a

單位處有一質(zhì)量為

m

的質(zhì)點(diǎn)

M,試計(jì)算該棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力.解:

建立坐標(biāo)系如圖.細(xì)棒上小段對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力大小為故垂直分力元素為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束在第8頁(yè)/共23頁(yè)利用對(duì)稱性棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)引力的水平分力機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束故棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力大小為棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力的垂直分力為第9頁(yè)/共23頁(yè)說明:2)

若考慮質(zhì)點(diǎn)克服引力沿y

軸從a

處1)

當(dāng)細(xì)棒很長(zhǎng)時(shí),可視

l

為無(wú)窮大,此時(shí)引力大小為方向與細(xì)棒垂直且指向細(xì)棒.移到b

(a<b)處時(shí)克服引力作的功,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束則有第10頁(yè)/共23頁(yè)引力大小為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束注意正負(fù)號(hào)3)當(dāng)質(zhì)點(diǎn)位于棒的左端點(diǎn)垂線上時(shí),第11頁(yè)/共23頁(yè)四、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(補(bǔ)充)質(zhì)量為m

的質(zhì)點(diǎn)關(guān)于軸

l

的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為的質(zhì)點(diǎn)系若考慮物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,則需用積分解決.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束關(guān)于軸

l

的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為第12頁(yè)/共23頁(yè)例6.⑴

求圓盤對(duì)通過中心與其垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;⑵

求圓盤對(duì)直徑所在軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.解:

⑴建立坐標(biāo)系如圖.設(shè)圓盤面密度為.小圓環(huán)質(zhì)量對(duì)應(yīng)于的小圓環(huán)對(duì)軸l

的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為故圓盤對(duì)軸l

的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束設(shè)有一個(gè)半徑為R,質(zhì)量為M

的均勻圓盤,第13頁(yè)/共23頁(yè)平行y軸的細(xì)條關(guān)于y

軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量元素為細(xì)條質(zhì)量:故圓盤對(duì)y

軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束⑵取旋轉(zhuǎn)軸為

y

軸,建立坐標(biāo)系如圖.第14頁(yè)/共23頁(yè)內(nèi)容小結(jié)(1)先用微元分析法求出它的微分表達(dá)式dQ一般微元的幾何形狀有:扇、片、殼等.(2)然后用定積分來(lái)表示整體量

Q,并計(jì)算之.1.用定積分求一個(gè)分布在某區(qū)間上的整體量Q

的步驟:2.定積分的物理應(yīng)用:變力作功,側(cè)壓力,引力,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束條、段、環(huán)、帶、第15頁(yè)/共23頁(yè)(99考研)思考與練習(xí)提示:

作x軸如圖.1.為清除井底污泥,用纜繩將抓斗放入井底,泥后提出井口,纜繩每在提升過程中污泥以20N/s

的速度從抓斗縫隙中漏掉,現(xiàn)將抓起污泥的抓斗提升到井口,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度為3m/s,問克服重力需作多少焦耳(J)功?已知井深30m,抓斗自重400N,將抓起污泥的抓斗由機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束抓起污x

提升dx

所作的功為

米重50N,第16頁(yè)/共23頁(yè)提升抓斗中的污泥:井深30m,抓斗自重400N,纜繩每米重50N,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度為3m∕s,

污泥以20N∕s的速度從抓斗縫隙中漏掉克服纜繩重:抓斗升至x

處所需時(shí)間:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束克服抓斗自重:第17頁(yè)/共23頁(yè)2.設(shè)星形線上每一點(diǎn)處線密度的大小等于該點(diǎn)到原點(diǎn)距離的立方,提示:

如圖.在點(diǎn)O處有一單位質(zhì)點(diǎn),求星形線在第一象限的弧段對(duì)這質(zhì)點(diǎn)的引力.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第18頁(yè)/共23頁(yè)同理故星形線在第一象限的弧段對(duì)該質(zhì)點(diǎn)的習(xí)題課目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束引力大小為第19頁(yè)/共23頁(yè)習(xí)題課目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束作業(yè)

P2912,3,5,9,12第20頁(yè)/共23頁(yè)交成的銳角取多大時(shí),薄板所受的壓力P

最大.備用題斜邊為定長(zhǎng)的直角三角形薄板,垂直放置于解:

選取坐標(biāo)系如圖